TAR2_20120315 04 Spojitý Kalmanov filter

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na návrh pozorovačov plného a redukovaného rádu, kde bolo potrebné voliť maticu spätnej väzby L tak, aby výsledná matica bola stabilná, no bez presného návodu na optimálnu voľbu jej hodnôt. Ako riešenie sa zavádza spojitý Kalmanov filter – algoritmus na optimálny odhad stavu systému zaťaženého šumom, používaný všeobecne na odšumovanie signálov (napríklad v telefónii či audiotechnike). Model uvažuje stavovú rovnicu zaťaženú bielym šumom s nulovou strednou hodnotou a kovariančnou maticou Q, neistú počiatočnú podmienku s kovarianciou P0 a výstupnú rovnicu zaťaženú šumom merania s kovarianciou R. Úloha návrhu optimálneho filtra sa formuluje ako minimalizácia účelovej funkcie zloženej z váhovaných kvadratických chýb počiatočného odhadu, stavového šumu a chyby merania, kde váhy sú dané inverziami príslušných kovariančných matíc. Táto úloha sa následne rieši metódami variačného počtu (Hamiltonián, Euler-Lagrangeove rovnice) s pevným začiatočným a koncovým časom a voľnou počiatočnou podmienkou, s cieľom odvodiť optimálnu časovo premennú maticu zosilnenia L Kalmanovho filtra.

• - Kalmanov filter rieši optimálny návrh matice L pozorovača namiesto len zabezpečenia stability.
• - Používa sa všeobecne na rekonštrukciu signálu zo zašumených meraní (telefónia, audiotechnika, odhad koncentrácií).
• - Stavová rovnica je zaťažená bielym šumom s nulovou strednou hodnotou a kovariančnou maticou Q.
• - Počiatočná podmienka je neistá s kovarianciou P0, výstup je zaťažený šumom merania s kovarianciou R.
• - Kovariančná matica opisuje rozptyly (diagonála) a krížové závislosti (mimo diagonály) náhodného vektora.
• - Účelová funkcia váhuje chyby počiatočného odhadu, stavového šumu a merania inverziami ich kovariančných matíc.
• - Optimalizačná úloha sa rieši ako variačný problém pomocou Hamiltoniánu a Euler-Lagrangeových rovníc s pevným časom a voľným počiatočným stavom.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.