TAR2_20170502 02 Spojitý Kalmanov filter

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje spojitý Kalmanov filter pomocou variačného počtu ako úlohu optimálneho odhadu stavu lineárneho systému zaťaženého procesným šumom, chybou počiatočnej podmienky a šumom merania. Definuje sa kritérium optimality zložené z váženej odchýlky počiatočného odhadu stavu (váha P0⁻¹), váženej odchýlky stavovej rovnice (váha Q⁻¹) a váženej odchýlky merania od predpokladaného výstupu (váha R⁻¹). Vysvetľuje sa rozdiel medzi vyhladzovaním, filtráciou a predikciou podľa polohy odhadovaného času voči intervalu dostupných dát, pričom Kalmanov filter rieši úlohu filtrácie. Substitúciou sa funkcionál upraví na tvar bez derivácie a zostaví sa Hamiltonián, z ktorého sa pomocou podmienok optimality (∂H/∂u=0, λ̇=-∂H/∂x, transverzalitné podmienky) odvodzujú vzťahy pre optimálne riadenie u=-Qλ, diferenciálnu rovnicu pre λ a okrajové podmienky λ(0) a λ(tf)=0, vrátane vzťahu medzi X0 a λ0 cez maticu P0.

• - Model: stavová rovnica s aditívnym šumom s nulovou strednou hodnotou a kovariančnou maticou Q
• - Neistá počiatočná podmienka X0 s kovariančnou maticou P0 a neistoty merania s kovariančnou maticou R
• - Kritérium optimality kombinuje váženú odchýlku počiatočného stavu, stavovej rovnice a merania (váhy P0⁻¹, Q⁻¹, R⁻¹)
• - Rozlíšenie vyhladzovania, filtrácie a predikcie podľa polohy odhadovaného času; Kalmanov filter = filtrácia
• - Substitúcia u = ẋ - Ax odstráni deriváciu z funkcionálu a umožní zostaviť Hamiltonián
• - Z podmienok optimality (∂H/∂u=0, λ̇=-∂H/∂x) sa odvodí u = -Qλ a diferenciálna rovnica pre λ
• - Transverzalitné podmienky dávajú λ(tf)=0 a vzťah X0 = X0-čiarkou - P0·λ(0)

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.