TAR2_20120308 03 Dynamické programovanie - diskrétna LQ regulácia

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje diskrétnu LQ reguláciu pomocou dynamického programovania ako obdobu spojitého prípadu. Rieši sa n-krokový problém s kvadratickou účelovou funkciou a lineárnymi diferenčnými rovnicami stavu, pričom optimálna hodnotová funkcia sa vyjadruje pomocou matice P (analogickej Riccatiho matici zo spojitého riadenia). Postupuje sa spätne od poslednej etapy N, kde je hodnota daná maticou QN, cez etapu N-1, kde sa dosadením a roznásobením výrazov a následnou deriváciou podľa riadenia u odvodí optimálne riadenie v tvare stavovej spätnej väzby u=-Kx. Následne sa vypočíta optimálna hodnota účelovej funkcie na etape N-1 dosadením optimálneho riadenia, čo pripraví rekurzívny krok pre ďalšie etapy smerom k N-2 a nižšie.

• - Dynamické programovanie rieši n-krokový diskrétny LQ problém spätným postupom od poslednej etapy.
• - Optimálna účelová funkcia má kvadratický tvar x^T P x, kde P je analógiou Riccatiho matice zo spojitého prípadu.
• - Na poslednej etape N platí J_N = x_N^T Q_N x_N, teda P_N = Q_N.
• - Dosadením stavovej rovnice x_{k+1}=Ax_k+Bu_k do Bellmanovej rovnice sa výraz roznásobí na kvadratické členy v x a u.
• - Optimálne riadenie sa nájde derivovaním výrazu podľa u a položením derivácie rovnej nule.
• - Výsledné optimálne riadenie má tvar spätnej väzby u_{N-1} = -K_{N-1} x_{N-1}, kde K = (B^T P_N B + R)^{-1} B^T P_N A.
• - Dosadením optimálneho u späť do účelovej funkcie sa získa hodnota J_{N-1}, potrebná na rekurzívny výpočet pre predchádzajúce etapy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.