TAR2_20120301 02 Pontrjaginov princíp minima

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Pontrjaginov princíp minima (PMP) ako zovšeobecnenie variačného počtu pre prípady, keď je riadenie obmedzené na určitý interval hodnôt. Vysvetľuje sa, že namiesto podmienky nulovej derivácie Hamiltoniánu podľa riadenia sa vyžaduje priama minimalizácia Hamiltoniánu vzhľadom na prípustnú množinu riadení, čo zabezpečuje splnenie obmedzení aj optimalitu trajektórie. Na jednoduchom lineárno-kvadratickom príklade sa odvodzujú stavové a adjungované diferenciálne rovnice, okrajové podmienky a ukazuje sa, že orezanie neobmedzeného optimálneho riadenia nedáva správne riešenie, keďže zmena riadenia spätne ovplyvňuje trajektóriu stavov. Zároveň sa zavádza pojem afinnosti systému v riadení ako podmienka pre vznik tzv. bang-bang (releového) riadenia, ktoré sa pohybuje len medzi krajnými hodnotami.

• - PMP vytvoril Lev Pontrjagin v 60. rokoch ako alternatívu k variačnému počtu pre obmedzené riadenie, paralelne s Bellmanovým dynamickým programovaním.
• - Namiesto podmienky ∂H/∂u = 0 sa vyžaduje minimalizácia Hamiltoniánu H vzhľadom na riadenie z prípustnej množiny.
• - PMP je iba nutnou podmienkou optimality, nie postačujúcou.
• - Pri konštantnom Hamiltoniáne bez explicitnej závislosti od času a pevnom koncovom čase je H konštantné na celej trajektórii; pri voľnom koncovom čase je H rovné nule.
• - Na príklade sa odvodzujú stavové rovnice, adjungované rovnice a okrajové podmienky pre lambda pri voľnom koncovom stave.
• - Orezanie neobmedzeného optimálneho riadenia na hranice nedáva optimálne riešenie – treba riešiť úlohu s obmedzeniami priamo, lebo zmena riadenia ovplyvňuje trajektóriu stavov.
• - Bang-bang (releové) riadenie vzniká typicky vtedy, keď je systém afinný (lineárny) v riadení u.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.