TAR2_20120215 02 Funkcie, diferenciály, variácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška vysvetľuje rozdiel medzi funkciou a funkcionálom, pričom funkcionál priraďuje celej trajektórii (nie bodu) jedno číslo, typicky pomocou integrálu. Zavádza pojem variácie ako analógie derivácie pre funkcionály, kde extrém nastáva pri nulovej variácii. Odvodzuje vzťah medzi diferenciálom a variáciou premennej pri súčasnej zmene času aj stavu, a ukazuje postup výpočtu variácie určitého integrálu vrátane príspevku od pohyblivých hraníc. Na záver je načrtnutý postup riešenia úloh optimálneho riadenia s podmienkami v tvare rovnosti pomocou Hamiltoniánu, ktorý vedie k Euler-Lagrangeovým rovniciam ako nutným podmienkam optimality a k Legendrovým-Clebschovým podmienkam ako podmienkam postačujúcim.

• - Funkcia priraďuje číslo bodu, funkcionál priraďuje číslo celej trajektórii (funkcii), zvyčajne cez integrál.
• - Extrém funkcie nastáva pri nulovej derivácii, extrém funkcionálu pri nulovej variácii.
• - Diferenciál veličiny súvisí s jej deriváciou (dy = y' · dx), obdobne sa definuje pre funkcie viacerých premenných cez totálny diferenciál a Taylorov rozvoj.
• - Ak sa mení aj čas, celková zmena stavu (diferenciál) sa skladá z variácie (zmena pri pevnom čase) a člena zohľadňujúceho posun času (x' · δt).
• - Variácia funkcionálu (integrálu) zahŕňa integrál variácie podintegrálnej funkcie plus hraničné členy pri pohyblivých koncových časoch T0 a Tf.
• - Pri úlohách optimálneho riadenia s podmienkami v tvare rovnosti sa vytvorí Hamiltonián pridaním obmedzení k účelovej funkcii.
• - Vynulovaním prvej variácie Hamiltoniánu sa odvodia Euler-Lagrangeove rovnice ako nutné podmienky optimality, doplnené Legendrovými-Clebschovými podmienkami postačujúcimi na minimum.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.