2. Štruktúra elektrických obvodov

• Elekrické obvody – základné pojmy
• Klasifikácia elektrických obvodov
• Schéma elektrického obvodu a jej topologické časti:

- uzol
- úsek
- slučka

• Kirchhoffove zákony (I. Kirchoffov a II. Kirchhoffov zákon)
• Prvky elektrického obvodu
• Ideálne dvojpóly (zdroj napätia, zdroj prúdu, rezistor, kapacitor, indukt

or)

• Sériové a paralelné zapojenie dvojpólov
• Vzájomná indukčnosť

2-2

2.1. Elektrické obvody – základné pojmy

V predmetoch teoretickej elektrotechniky sa budeme zaoberať vzájomnými vzťahmi medzi napätiami a prúd

mi (ako integrálnymi veličinami – nebudeme uvažovať detailné priestorové rozloženie elektromagnetického
poľa). Tieto vzťahy budeme vyšetrovať v sústave zariadení na výrobu, rozvod a spotrebu elektrickej
energie, ktorú nazývame elektrický obvod - elektrická sieť (obr. A). Zariadenia na výrobu elektrickej
energie nazývame zdroje, zariadenia na rozvod elektrickej energie nazývame vedenie a zariadenia na
spotrebu elektrickej energie nazývame spotrebiče.

V užšom slova zmysle pod pojmom elektrický obvod rozumieme viac, či menej zidealizovaný model
reálnej elektrickej siete (obrázok B). V teórii elektrických obvodov budeme mať na mysli väčšinou tento
význam.

zdroj

vedenie

spotrebič

B

A

zdroj

vedenie

spotrebič

2-3

2.2. Klasifikácia elektrických obvodov

V elektrických obvodoch so sústredenými parametrami sú skutočné, priestorovo ohraničené časti
obvodu nahradené elementárnymi prvkami (súčiastkami), ktoré svojimi parametrami reprezentujú
vlastnosti jednotlivých častí obvodu. V takýchto obvodoch zanedbávame konečnú rýchlosť šírenia sa
elektromagnetického signálu a predpokladáme, že všetky deje prebiehajú vo všetkých prvkoch
súčasne. V týchto obvodoch sú napätia a prúdy len funkciou času: u(t), i(t).

V predmete Elektrické obvody I sa budeme zaoberať výhradne elektrickými obvodmi so
sústredenými parametrami.

Elektrické obvody môžeme podľa ich vlastností v prvom rade rozdeliť na dve hlavné skupiny:

• Elektrické obvody so sústredenými parametrami

• Elektrické obvody s rozloženými parametrami

V elektrických obvodoch s rozloženými parametrami uvažujeme rýchlosť šírenia sa signálu a
vyšetrujeme priestorovo-časovú závislosť napätia u(x,y,z,t), resp. prúdu i(x,y,z,t).

Častým prípadom pri riešení je použitie kombinácie oboch typov obvodov – niektoré časti (bloky) obvodu
sú nahradené prvkami (obvody so sústredenými parametrami), pričom tieto bloky sú prepojené
vedeniami (obvody s rozloženými parametrami).

2-4

Schémou (zapojením) nazývame jednoduché a prehľadné nakreslenie ciest elektrického prúdu.

2.3. Schéma elektrického obvodu

Elektrický prúd označujeme pomocou šípky na vodiči.

Schéma je vytvorená pospájaním obvodových prvkov (označených pomocou dohodnutých
elektrotechnických značiek) pomocou vodičov. Tieto vodiče predstavujú ideálne vodivé prepojenia a
neovplyvňujú vlastnosti elektrického obvodu.

Vodivé spojenia vodičov nazývame uzly, miesta pripojenia prvkov póly alebo svorky (póly zvyčajne v
schéme nevyznačujeme).

prvok

vodič

napätie

uzol

pól

Elektrické napätie označujeme pomocou šípky medzi dvoma bodmi (uzlami, svorkami, svorkou a uzlom
atď).

prúd

Voľba orientácie prúdov a napätí je pri
formulácii úlohy ľubovoľná (okrem veličín,
ktoré sú zadané – t.j. napätí, resp. prúdov z

drojov). Zvyčajne sa však snažíme zvoliť
orientáciu

danej

veličiny

v

jej

predpokladanom kladnom smere.

Po výpočte príslušnej veličiny vieme potom
na základe znamienka hodnoty napätia
(prúdu) určiť jeho skutočnú orientáciu.

2-5

2.3.1. Uzol

Uzol v elektrickej schéme je vodivé spojenie troch alebo viacerých vodičov. Podľa počtu vodičov
vychádzajúcich z daného uzla potom hovoríme o ráde uzla.

I keď v technických aplikáciach sa uvažujú prakticky len uzly 3. a vyšších rádov, v teórii elektrických
obvodov svoju úlohu hrajú aj uzly nižších rádov (prvého a druhého). V špeciálnych metódach sa dokonca
používa aj pojem uzla nultého rádu – ide o vzťažný bod zvolený mimo elektrickej schémy.

Ak sa v úseku medzi dvoma uzlami nachádza len vodič, tento úsek môžeme považovať za jeden uzol.
V takomto úseku je možné síce vypočítať prúd, ale tento prúd nie je pre výpočet prúdov a napätí v
ostatných úsekoch zvyčajne zaujímavý. Niekedy však (napr. pri použití princípu náhradného aktívneho
dvojpólu) potrebujeme práve vypočítať prúd medzi dvomi uzlami spojenými vodičom (tzv. prúd nakrátko).

uzol 3. rádu

uzol 4. rádu

nevodivé križovanie vodičov

2-6

2.3.2. Úsek

Úsek elektrického obvodu je časť elektrického obvodu medzi dvomi (susednými) uzlami, resp. pólom a
uzlom. Zvyčajne obsahuje aspoň jeden prvok, za úsek však v niektorých špeciálnych prípadoch môžeme
považovať aj prepojenie dvoch uzlov vodičom (ak je úlohou vypočítať prúd v tomto prepojovacom vodiči).

úsek

Počet neznámych veličín v obvode najčastejšie určíme podľa počtu úsekov: počet úsekov = počet
neznámych veličín (bližšie vysvetlenie bude uvedené v kapitole 6).

2-7

2.3.3. Slučka

Slučka je taká uzavretá dráha v elektrickej schéme, pri ktorej – ak vychádzame z jedného bodu (napr.
uzla) a postupujeme pozdĺž úsekov – sa dostaneme do východzieho bodu bez toho, aby sme niektorý úsek
alebo uzol prešli viackrát; napríklad:

Jednoduchá slučka (tzv. „oko“ elektrickej schémy)
je taká slučka, vo vnútrajšku ktorej sa nenachádza
žiadny úsek.

Jednoduchá slučka je do značnej miery pojem
relatívny, pretože závisí od spôsobu nakreslenia
elektrickej schémy. Vidíme to napr. na
nasledujúcom

príklade,

kde

obidve

(zjednodušené) schémy a v nich zakreslené
slučky sú elektrotechnicky ekvivalentné, i keď v
prvom prípade ide o jednoduchú slučku a v
druhom nie.

slučka

jednoduchá

slučka

a

b

c

d

a

b

c

d

Ako uvidíme neskôr, v teórii elektrických
obvodov jednoduché slučky hrajú dôležitú rolu
pri niektorých metódach riešenia.

2-8

2.4. Kirchhoffove zákony

Teória elektrických obvodov je vybudovaná na dvoch zákonoch
platiacich pre prúd a napätie v elektrickom obvode. I. Kirchhoffov
(prúdový) zákon a II. Kirchhoffov (napäťový) zákon boli nazvané
podľa významného nemeckého fyzika Gustava Roberta Kirchhoffa
(1824-1887). Za mienku stojí, že Kirchhoff tieto zákony sformuloval v
roku 1845 (teda vo veku 21 rokov).

Aplikáciou I. KZ a II. KZ v danom elektrickom obvode je možné zostaviť
rovnice (resp. sústavu rovníc) pre všetky neznáme napätia a prúdy.

Všetky metódy riešenia elektrických obvodov sú založené

na platnosti Kirchhoffových zákonov.

2-9

0

6

5

3









i

i

i

0

6

5

2

1











i

i

i

i

2.4.1. I. Kirchhoffov zákon

I. Kirchhoffov zákon (Kirchhoffov prúdový zákon) je rovnicou kontinuity elektrického prúdu. Vzťahuje sa
na uzol elektrického obvodu a jeho matematická formulácia je:

Slovami: Súčet prúdov v uzle je nulový.

Je zrejmé, že pri písaní rovníc I. KZ treba znamienkom odlíšiť prúdy do
uzla vtekajúce a prúdy z uzla vytekajúce. Keďže na pravej strane (I. KZ)
je nula, je voľba znamienok vecou dohody - v našom prípade budeme
vtekajúce prúdy označovať znamienkom – (mínus) a vytekajúce
prúdy znamienkom + (plus).

I. KZ vyjadruje skutočnosť, že v uzle elektrického
obvodu sa nehromadí elektrický náboj; inými
slovami - v ustálenom stacionárnom stave je
potenciál uzla konštantný.

I. KZ môžeme aplikovať aj na tzv. zovšeobecnený
uzol elektrického obvodu, t.j. pre ľubovoľnú
uzavretú plochu v obvode.

i

1

i

2

i

3

i

4

0

4

3

2

1











i

i

i

i

i

1

i

2

i

3

i

4

i

5

i

6

(I. KZ)

2-10

0

3

5

6

7

4

1













u

u

u

u

u

u

2.4.2. II. Kirchhoffov zákon

II. Kirchhoffov zákon (Kirchhoffov napäťový zákon) vyjadruje skutočnosť, že práca vykonaná pri
premiestnení náboja po uzavretej dráhe v elektrickom poli je nulová (nezávisí ani od tvaru tejto dráhy).
Vzťahuje sa na slučku elektrického obvodu a jeho matematická formulácia je:

Slovami: Súčet napätí v slučke je nulový.

Pri zostavovaní rovnice pomocou II. KZ pre napätia v danej slučke musíme zvoliť zmysel (orientáciu)
danej slučky. Potom napätia, ktoré majú rovnakú orientáciu ako slučka uvažujeme so znamienkom +
(plus) a napätia s opačnou orientáciou uvažujeme so znamenkom – (mínus). Samozrejme, voľba
orientácie slučky je ľubovoľná, keďže na pravej strane (II. KZ) je nula (celú rovnicu môžeme vynásobiť -1).

u

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u

6

u

7

(II. KZ)

0

4

5

3

2









u

u

u

u

2-11

2.5. Prvky elektrického obvodu - rozdelenie

Prvky elektrického obvodu sú zidelizované modely častí elektrického obvodu. Do elektrického obvodu sú
prvky zapojené prostredníctvom pólov (vývodov, svoriek). Podľa počtu pólov hovoríme o dvojpóloch,
trojpóloch

, všeobecne potom o n-póloch.

Na úplný opis vlastností daného n-pólu potrebujeme vedieť, aký je vzťah medzi napätiami medzi
jednotlivými pólmi a prúdmi vtekajúcimi do jednotlivých pólov. Tieto vzťahy sa nazývajú terminálové
vzťahy.

Z I. a II. Kirchhoffovho zákona vyplýva, že nie všetky prúdy a všetky napätia pre daný n-pól sú nezávislé
(niektoré sú vzájomne previazané). Dá sa ľahko ukázať, že pre n-pól existuje n-1 nezávislých napätí a n-1
nezávislých prúdov:

Najjednoduchším prípadom n-pólov sú dvojpóly, pre ktoré potrebujeme poznať závislosť u = u(i), resp. i =
i(u), tzv. Volt-Ampérovú (VA) charakteristiku. Túto charakteristiku môžeme zadať v tvare matematickej
funkcie, príp. pomocou tabuľkových hodnôt alebo grafickej závislosti. Pre n-póly vyšších stupňov sú
terminálové vzťahy vyjadrené pomocou sústavy n-1 rovníc. Vlastnosťami n-pólov sa však nebudeme zatiaľ
zaoberať.

závislé

nezávislé

dvojpól

trojpól

2-12

2.5.1. Pasívne a aktívne prvky

Z hľadiska spotreby, resp. dodávania energie do obvodu, môžeme prvky elektrického obvodu rozdeliť na:
• prvky aktívne - schopné trvale dodávať výkon (energiu)
• prvky pasívne - neschopné trvale dodávať výkon (energiu)

O tom, či daný prvok dodáva resp. odoberá energiu v určitom časovom okamihu, vieme rozhodnúť podľa
znamienka okamžitého výkonu p(t) (výkon v danom okamihu) na prvku. Ak

• p(t) > 0 (kladný) - prvok energiu spotrebúva (správa sa ako spotrebič)
• p(t) < 0 (záporný) - prvok energiu dodáva (správa sa ako zdroj)

Je potrebné rozlišovať medzi dvojicami pojmov pasívny prvok

 spotrebič a aktívny prvok  zdroj,

ktoré neznamenajú to isté. Aktívny prvok (napr. ideálny zdroj napätia) sa v určitom zapojení môže správať
ako spotrebič (nabíjanie akumulátora) a naopak pasívny prvok (napr. kapacitor) sa môže v istých časových
okamihoch správať ako zdroj (vybíjanie kondenzátora – odvzdávanie nazhromaždeného náboja).

Pre okamžitý výkon na dvojpóle platí:

i(t)

u(t)

i(t)

u(t)

Dvojpól sa teda správa ako spotrebič (p(t) > 0), ak je v danom okamihu kladný smer napätia aj prúdu
rovnaký.

2-13

2.5.2. Výkonová bilancia - Telegenova veta

V elektrickom obvode je súčet okamžitých výkonov na všetkých prvkoch obvodu nulový.

Výkonová bilancia je najspoľahlivejšou (ale zároveň aj najprácnejšou) metódou kontroly správnosti
výsledkov pri výpočte veličín elektrického obvodu.

Telegenova veta vyjadruje zákon zachovania energie a znie:

2-14

Ideálny dvojpól je dvojpól, ktorý môžeme opísať (charakterizovať) pomocou jedného parametra. Ak je
tento parameter nezávislý na veľkosti napätia, resp. prúdu, hovoríme o lineárnom dvojpóle.

Elementárne ideálne (lineárne) dvojpóly sú:

Ideálny rezistor

Ideálny induktor

Ideálny kapacitor

Pasívne

Aktívne

Ideálny zdroj napätia

Ideálny zdroj prúdu

R

L

C

i

z

u

z

R

v

L

C

p

kde sme okrem vlastnej indukčnosti L uvažovali aj odpor R

v vodiča a parazitnú kapacitu Cp medzi závitmi.

Ideálne dvojpóly sú samozrejme len zjednodušením reálnych dvojpólov (elektrotechnických prvkov); ich
význam je predovšetkym v tom, že reálne dvojpóly však môžeme modelovať rôznymi zapojeniami
ideálnych dvojpólov. Napr. reálny induktor (cievku) je možné opísať zapojením

2.6. Ideálne dvojpóly

2-15

Ideálny zdroj napätia je charakterizovaný svojim napätím u

z(t), ktoré je nezávislé od pretekajúceho prúdu.

Nejde teda o lineárny dvojpól v pravom slova zmysle (t.j. napätie nie je priamo úmerné prúdu).
Pri riešení obvodu je nutné poznať časový priebeh (funkčnú závislosť) u

z(t) pre všetky ideálne zdroje

napätia v obvode.

Elektrotechnickou značkou pre ideálny zdroj napätia je:

Okamžitý výkon na ideálnom zdroji napätia môže byť kladný, aj záporný, podľa orientácie prúdu, ktorý
ním preteká. Či je tento prúd kladný, resp. záporný, závisí od konkrétneho elektrického obvodu, do
ktorého je daný zdroj zapojen:.

Na označovanie zdrojov so stacionárnym
napätím (U

z = konšt.) sa niekedy používajú

aj značky:

U

z

U

z

5V

10V

10



20



-0,5A

0,1A

V elektrickom obvode na obrázku je výkon na ľavom zdroji kladný (správa sa ako spotrebič), kým na
pravom zdroji záporný (správa sa ako zdroj).

u

z

2.6.1. Ideálny zdroj napätia

Ak je u

z(t) nezávislá (zadaná) veličina, hovoríme o nezávislom (autonómnom) zdroji napätia. Niekedy

však môže byť toto napätie funkciou inej veličiny (riadené inou veličinou) v obvode (prúdom, resp. napätím).
Potom hovoríme o riadenom (neautonómnom) zdroji napätia.

2-16

Ideálny zdroj prúdu je charakterizovaný prúdom i

z(t), ktorý ním preteká (zdroj ho „vnucuje“ do obvodu) a

ktorý je nezávislý od napätia na tomto zdroji. Pri riešení obvodu je potom nutné poznať časový priebeh
(funkčnú závislosť) i

z(t) pre všetky ideálne zdroje prúdu v obvode.

Elektrotechnickou značkou pre ideálny zdroj prúdu je:

Okamžitý výkon na ideálnom zdroji prúdu môže byť kladný, aj záporný, podľa orientácie napätia na ňom.
Toto napätie závisí od konkrétneho zapojenia (zvyšku obvodu).

Niekedy je možné nájsť aj iné označenie:

i

z

V elektrickom obvode na obrázku je výkon na ľavom zdroji kladný (správa sa ako spotrebič), kým na
pravom zdroji záporný (správa sa ako zdroj).

i

z

0,5A

10V

10



25



-0,5A

1V

2.6.2. Ideálny zdroj prúdu

Ak je i

z(t) nezávislá (zadaná) veličina, hovoríme o nezávislom (autonómnom) zdroji prúdu. Niekedy však

môže byť i

z(t) funkciou inej veličiny (riadené inou veličinou) v obvode (prúdom, resp. napätím). Potom

hovoríme o riadenom (neautonómnom) zdroji prúdu.

2-17

Nulovanie ideálnych zdrojov

Pri niektorých metódach riešenia elektrických obvodov (princíp superpozície, princíp náhradného aktívneho
dvojpólu ...) sa používa tzv. nulovanie ideálnych zdrojov.

Vynulovať môžeme iba nezávislé (autonómne) zdroje. Neautonómne (riadené) zdroje nemožno
vynulovať.

Vynulovať ideálny zdroj napätia znamená predpísať nulové napätie.

Stavu s nulovým napätím zodpovedá stav nakrátko a preto:

u

z

Nulovanie ideálneho zdroja napätia

Nulovanie ideálneho zdroja prúdu

Vynulovať ideálny zdroj prúdu znamená predpísať nulový prúd.

Stavu s nulovým prúdom zodpovedá stav naprázdno a preto:

i

z

2-18

Ideálny rezistor je charakterizovaný parametrom elektrický odpor R, ktorého hodnota je v prípade
lineárneho rezistora konštantná a kladná.

Jednotkou elektrického odporu je Ohm [

] (Georg Simon Ohm, 1789-1854, nemecký vedec).

Elektrotechnickou značkou pre ideálny rezistor je:

Vzťah medzi napätím a prúdom na rezistore udáva Ohmov zákon, ktorý pri súhlasnej orientácii týchto
veličín má tvar:

R

pričom sa používajú aj iné označenia:

R

R

resp.

Tu sme zaviedli veličinu elektrická vodivosť G, s jednotkou Siemens [S], pričom S =

-1. Táto veličina

bola nazvaná podľa významného nemeckého elektrotechnika Wernera von Siemens (1816 – 1892).

R

u

R

i

R

2.6.3. Ideálny rezistor

G

Z tohoto dôvodu (jednoduchší zápis) používame v elektrických
obvodoch aj ideálny dvojpól s názvom ideálny konduktor a s
rovnakou elektrotechnickou značkou ako pre rezistor (i keď
„fyzicky“ ide samozrejme stále o rezistor).

2-19

Výkon a energia na rezistore

Okamžitý výkon na rezistore je daný vzťahom

a je teda vždy nezáporný (pre kladné hodnoty R, resp. G). Rezistor sa preto správa vždy ako spotrebič –
energia sa spotrebúva na pokrytie tepelných (Joulových) strát.

Pri konštantnom prúde i

r(t) = I0 = konšt. je energia premenená na teplo za čas t0 rovná:

R

u

R

i

R

2-20

Elektrický odpor

V polovici 20. rokov 19. storočia vykonal G.S. Ohm sériu experimentov, pri ktorých meral napätie U na
koncoch vodiča v závislosti od pretekajúceho prúdu I. Zistil pritom, že táto závislosť je pri konštantnej
teplote lineárna (pre rôzne materiály sa líši len koeficientom úmernosti) a dá sa opísať jednoduchým
vzťahom (neskôr nazvaným ako Ohmov zákon):

I

R

U





Koeficient úmernosti R nazývame elektrický odpor. Jeho hodnota závisí od typu použitého materiálu a od
geometrických rozmerov vodiča. Pre najjednoduchší prípad, vodič s konštantným prierezom S a dĺžkou l,
ktorým tečie prúd homogénne v celom priereze, je odpor rovný:

S

R

l







Koeficient

 [m] sa nazýva rezistivita (v starších učebniciach možno nájsť pomenovanie špecifický, príp.

merný odpor) a je to jeden zo základných materiálových parametrov (pri konštantnej teplote je to
konštanta). Rozsah možných hodnôt rezistivity je veľmi veľký, môže nadobúdať hodnoty od 1,63

10-8 m

(striebro pri 20°C), cez 1-100

m (polovodiče) až po hodnoty rádovo 1016 m (izolanty).

2-21

Ideálny kapacitor (ďalej aj „kapacitor“) je charakterizovaný parametrom kapacita C, ktorého hodnota je v
prípade lineárneho kapacitora konštantná a kladná.

Jednotkou kapacity je Farad [F] (Michael Faraday, 1791-1867, anglický fyzik).

Elektrotechnickou značkou pre ideálny kapacitor je:

Inverzný vzťah pre napätie je

V stacionárnom prípade (u(t) = U = konšt.) je prúd cez kapacitor nulový a kapacitor sa správa ako
rozpojený obvod (stav naprázdno).

Prúd kapacitorom nie je vodivostného charakteru (medzi elektródami ideálneho kapacitora je ideálny
izolant – dielektrikum a náboje ním „neprechádzajú“), ale súvisí s časovou zmenou náboja (a teda
potenciálu) na elektródach kapacitora. Pri súhlasnej orientácii napätia a prúdu na kapacitore potom plati:

C

C

u

C

i

C

2.6.4. Ideálny kapacitor

Niekedy sa používa aj pojem ideálny kondenzátor; my budeme rozlišovať medzi modelovým prvkom
(kapacitor) a jeho technickým prevedením (kondenzátor).

u

C(0) je z matematického

hľadiska integračná

konštanta; z fyzikálneho

hľadiska je to napätie na

kapacitore v okamihu

začiatku integrovania – tzv.

počiatočná podmienka

2-22

Výkon a energia na kapacitore

Pre okamžitý výkon na kapacitore platí

Ak v čase t = 0 bolo na kapacitore nulové napätie, potom energia elektrického poľa v čase t

0 > 0 je:

Táto energia je daná len okamihovou hodnotou napätia. Napätie kapacitora určuje energetický stav
kapacitora a je jeho stavovovou veličinou.

Okamžitý výkon na kapacitore môže byť kladný, aj záporný: p

C(t) > 0 zodpovedá akumulácii (odoberaniu)

energie z obvodu, p

L(t) < 0 poklesu energie na kapacitore a dodávaniu energie do obvodu.

C

u

C

i

C

2-23

Kapacita

Prevrátená hodnota koeficienta úmernosti sa nazýva kapacita C a je závislá od
geometrických rozmerov elektródy a vlastností okolitého prostredia.

Týmto usporiadaním sme vytvorili kondenzátor (kapacitor). Podľa vzťahu (2) tento kapacitor bude mať
kapacitu 1 Farad [F], ak pri rozdiele potenciálov 1 Volt [V] je na ňom nazhromaždený náboj 1
Coulomb [C].

Po dosadení vzťahu (2) do (3) získame hľadanú závislosť medzi prúdom a napätím na kapacitore:

+

+

+

+

+

+

+

+Q

-

-

-

-

-

-

-

-Q





0

Q

C

u





1

(2)

t

Q

i

d

d



(3)

(4)

Predstavme si dobre elektricky vodivú (kovovú) elektródu, ktorá je umiestnená v nevodivom, lineárnom
prostredí (napr. vo vzduchu) a je na nej nazhromaždený náboj Q (napr. kladný), pričom elektróda má
potenciál

. Potom, ak zvýšime náboj na elektróde o Q, jej potenciál sa zvýši priamo úmerne o:

Uvažujme teraz druhú kovovú elektródu s konštantným potenciálom



0 (napr.

uzemnenú), ktorú priblížime k pôvodnej elektróde.

Náboj na elektródy kondenzátora môžeme privádzať, resp. odvádzať, pripojením kondenzátora do
elektrického obvodu. Ak za čas dt prívodným vodičom privedieme, alebo odvedieme náboj dQ, v tomto
vodiči bude tiecť prúd s veľkosťou:

Q

C











1

(1)

i

Na tejto elektróde sa vplyvom elektrostatických síl naindukuje náboj s opačnou
polaritou. Tento náboj bude pri zanedbaní rôznych okrajových efektov (napr. ak
budú rozmery elektród veľmi veľké vzhľadom na ich vzájomnú vzdialenosť) rovný
‑Q. Potom aj pre rozdiel potenciálov (napätie u) mezi elektródami bude platiť:

u

2-24

Kondenzátor

1 – elektródy
2 – PP vrstva

1

2

3

3

3 – elektrický kontakt

Al fólia

izolačná fólia

adhézna fólia

dielektrikum

(keramika)

elektródy

Al elektrolytický kondenzátor

MKP typ (metallized polypropylen (PP) film)

Keramický kondenzátor

Kapacita kondenzátora je daná geometrickými rozmermi elektród a vlastnosťami dielektrika medzi
elektródami. V prvom priblíženi je kapacita priamo úmerná ploche elektród, nepriamo úmerná
vzdialenosti elektród a priamo úmerná permitivite dielektrika. Pri návrhu kondenzátorov s
požadovanou kapacitou sa preto snažíme dosiahnúť maximálnu plochu elektród pri minimálnom objeme
(napr. stočením elektród z tenkej fólie, alebo použitím špeciálnych (poréznych) materiálov), použiť
materiály s vysokou hodnotou permitivity a minimalizovať vzdialenosť medzi elektródami (tu sme však
obmedzení tzv. elektrickou pevnosťou dielektrika – po zmenšení hrúbky dielektrika pod určitú kritickú
hodnotu pri danej hodnote napätia môže dôjsť k elektrickému prierazu). Niektoré možnosti usporiadania
elektród su na nasledujúcom obrázku.

Dosahované hodnoty kapacít kondenzátorov ležia v pomerne
širokom rozsahu: od pF (10-12

F) po mF (10

-3

F).

2-25

Ideálny induktor (ďalej aj „induktor“) je charakterizovaný parametrom indukčnosť L, ktorého hodnota je v
prípade lineárneho induktora konštantná a kladná.

Jednotkou indukčnosti je Henry [H] (Joseph Henry, 1797-1878, americký fyzik).

Elektrotechnickou značkou pre induktor je:

odkiaľ inverzný vzťah pre prúd je:

V stacionárnom prípade (i(t) = I = konšt.) je napätie na induktore nulové a tento sa správa sa ako skrat
(stav nakrátko).

L

Napätie na ideálnom induktore, nie je rezistívneho (ohmického) charakteru (ideálny induktor je ideálny
vodič s nulovým odporom), ale súvisí s časovou zmenou pretekajúceho prúdu i(t) a s ňou spojeným
javom elektromagnetickej indukcie. Pri súhlasnej orientácii napätia a prúdu na induktore potom platí:

L

u

L

i

L

2.6.5. Ideálny induktor

Niekedy sa používa aj pojem ideálna cievka; my však tieto pojmy budeme opäť rozlišovať – induktor je
modelový prvok, kým cievka je technická realizácia induktora.

i

L(0) je z fyzikálneho

hľadiska prúd tečúci cez

induktor v okamihu začiatku

integrovania

2-26

Výkon a energia na induktore

Okamžitý výkon môže byť kladný, aj záporný, podľa znamienka derivácie energie v danom okamihu. Ak
p

L(t) > 0, znamená to, že energia na induktore narastá – induktor akumuluje (odoberá) energiu.

Naopak, p

L(t) < 0 zodpovedá poklesu energie na induktore, čiže induktor do obvodu energiu dodáva.

Pre okamžitý výkon na induktore platí

Ak v čase t = 0 netiekol induktorom prúd, potom energia magnetického poľa v čase t

0 > 0 je:

Energia na induktore je daná len okamžitou hodnotou prúdu. Prúd induktorom určuje energetický stav
induktora – je jeho stavovovou veličinou.

L

u

L

i

L

2-27

Indukčnosť

Koeficient úmernosti sa nazýva (vlastná) indukčnosť L a je daná
geometrickým usporiadaním závitu a vlastnosťami okolitého
prostredia.

Vráťme sa ešte k vzťahu (1). Tento vzťah je v literatúre udávaný v tvare u =

d

/d

t (s opačným

znamienkom) Vieme však, že znamienko napätia závisí od jeho zvolenej orientácie. Znamienko mínus v
indukčnom zákone je vyjadrením tzv. Lenzovho zákona, podľa ktorého indukované napätie je
orientované tak, aby prúd, ktorý toto napätie v závite spätne vyvolá, pôsobil proti zmene
magnetického toku.

Po dosadení vzťahu (2) do (1) dostaneme

i

L







(2)

(3)

u

Napätie na ideálnom induktore súvisí s javom elektromagnetickej indukcie, prvýkrát pozorovanej M.
Faradayom v r. 1831. Ak do magnetického poľa vložíme závit z tenkého vodiča, na koncoch závitu
budeme pozorovať elektrické napätie, ktorého veľkosť je rovná časovej zmene magnetického toku



(magnetický tok udáva veľkosť magnetického poľa orientovanú kolmo na danú plochu vynásobenú
(integrovanú) touto plochou):

B



 





S

B





d

Magnetické pole v okolí závitu môžeme vyvolať napr. prúdom i
tečúcim cez tento závit. Ak je obklopujúce prostredie lineárne, veľkosť
magnetického toku je priamo úmerná veľkosti tohto prúdu:

Týmto usporiadaním sme vytvorili cievku (induktor). Induktor má
indukčnosť 1 H, ak pri prúde 1 A je celkový viazaný magnetický
tok 1 Wb (Webber).

V našom prípade bude preto indukované napätie u orientované tak, aby vyvolaný (indukovaný) prúd i

u

pôsobil proti budiacemu prúdu i. Na induktore sú potom indukované napätie u a budiaci prúd i
orientované súhlasne a preto sme aj vzťah (1) napísali s kladným znamienkom.

zdroj

i

u

L

i

u

t

u

d

d





(1)

i

2-28

Cievka

Magnetické jadro

Indukčnosť cievky je daná jej geometrickými usporiadaním (najčastejší prípad je navinutie vodiča na tzv.
jadro) a vlastnosťami materiálu tohoto jadra. V prvom priblíženi je indukčnosť priamo úmerná kvadrátu
počtu závitov (približne povedané N závitov vytvorí pole s N-násobnou veľkosťou a zároveň je
magnetický tok viazaný N krát, čiže výsledný efekt je N2), prierezu jadra a permeabilite jadra. Pri snahe
o dosahnutie vysokých hodnôt indukčnosti však toto prináša určité problémy. Veľké množstvo závitov
navinutých na jadro s veľkým prierezom znamená dlhý vodič a teda nezanedbateľný (ohmický) odpor.
Ďalej, materiály s vysokou permeabilitou (tzv. magneticky mäkké materiály – feromagnetiká,
ferimagnetiká atď.) sú zvyčajne lineárne iba pre malé hodnoty magnetického poľa (teda prúdu). Pri vyšších
hodnotách prúdu sa prejavujú rôzne (nežiadúce) nelineárne javy (navyše komplikované hysteréznymi
efektami) súvisiace s fyzikálnym pozadím magnetovania týchto materiálov.

Používané hodnoty indukčností cievok sú od
rádovo

H (10-6 H) až desiatky H.

2-29

Zhrnutie terminálových vzťahov ideálnych dvojpólov

Kapacitor

Induktor

Rezistor

ľubovoľné

Zdroj prúdu

ľubovoľný

Zdroj napätia

Prúd

Napätie

Ideálny dvojpól

 

 t

u

t

u

z



 

 t

i

t

i

z



 

 t

i

R

t

u





 

 t

u

G

t

i





 

 

t

t

i

L

t

u

d

d





 

  













d

1 t

u

L

t

i

 

 
t

t

u

C

t

i

d

d





 

  













d

1 t

i

C

t

u

Všimnime si, že z matematického hľadiska sme vyčerpali všetky lineárne operácie (násobenie
konštantou, integrácia a derivácia), ktorými sa dá vyjadriť vzťah medzi dvoma veličinami (v tomto prípade
prúdom a napätím). Znamená to, že na modelovanie ľubovoľného lineárneho obvodu (siete) môžeme
použiť ako pasívne prvky iba ideálne dvojpóly R, L, C. Všetky ostatné pasívne lineárne prvky (n-póly)
vieme potom opísať určitým zapojením R, L, C (náhradnou schémou).

2-30

O sériovom zapojení dvojpólov hovoríme vtedy, keď sú tieto dvojpóly zapojené „za sebou“. Ak ide o
dvojpóly rovnakého typu, je možné toto zapojenie nahradiť jedným dvojpólom toho istého typu.

1

2

N

u

1

u

2

u

N

i

u

i

u

Vzťah pre parameter výsledného dvojpólu dostaneme z
II. Kirchoffovho zákona:







N

n

n

u

u

1

Napr. pre sériové zapojenie rezistorov

odkiaľ

Výsledný parameter pri sériovom zapojení dvojpólov

zdroj napätia

kapacitor

induktor

rezistor







N

n

n

R

R

1







N

n

n

L

L

1







N

n

n

C

C

1

1

1







N

n

n

u

u

1

z

z

Odvoďte uvedené vzťahy

?

2.6.6. Sériové zapojenie lineárnych dvojpólov

2-31

O paralelnom zapojení dvojpólov hovoríme vtedy, keď sú tieto dvojpóly zapojené „vedľa seba“. Ak ide o
dvojpóly rovnakého typu, je možné toto zapojenie nahradiť jedným dvojpólom toho istého typu.

Vzťah pre parameter výsledného dvojpólu dostaneme z
I. Kirchoffovho zákona:







N

n

n

i

i

1

Napr. pre paralelné zapojenie rezistorov

R

u

R

u

R

u

i

i

N

n

n

N

n

n

N

n

n























1

1

1

1

odkiaľ

Výsledný parameter pri paralelnom zapojení dvojpólov

Odvoďte uvedené vzťahy

?

resp.

zdroj prúdu

kapacitor

induktor

rezistor







N

n

n

R

R

1

1

1







N

n

n

C

C

1







N

n

n

i

i

1

z

z







N

n

n

L

L

1

1

1

i

u

1

i

u

2

N

i

1

i

2

i

N

2.6.7. Paralelné zapojenie lineárnych dvojpólov

2-32

2.6.8. Vzájomná indukčnosť (1/6)

V súvislosti s induktorom a indukčnosťou treba spomenúť aj ďalší jav: vzájomnú indukciu (magnetickú
väzbu) i keď vlastne nejde o prípad dvojpólu. Princíp tohto javu vysvetlíme na nasledujúcom príklade.

u

11

i

1

u

21

u

22

u

12

i

2

Videli sme, že ak cievkou (induktorom) s indukčnosťou L

1

tečie časovo meniaci sa púd i

1, vytvorí sa v jej okolí časovo

meniace sa magnetické pole a na svorkách cievky sa
indukuje napätie u

11 = L1di1/dt.

Priblížme teraz k tejto cievke inú cievku (napr. s indučnosťou
L

2). Časť magnetického poľa (toku), vytváraného cievkou L1,

je zachytená závitmi cievky L

2. Preto sa aj na svorkách

cievky L

2 naindukuje napätie (označíme ho u21).

t

u

d

d 21

21





kde



21 označuje časť magnetického toku vytvoreného cievkou L1 a zachyteného cievkou L2. Veľkosť

tohto magnetického toku bude v lineárnom prostredí opäť priamo úmerná veľkosti prúdu i

1:

1

21

21

i

L







odkiaľ:

L

12 je koeficient s rozmerom [H].

Presne rovnaký jav bude prebiehať, ak aj cievkou L

2 potečie prúd i2. Na cievke L2 sa naindukuje napätie

u

22 = L2di2/dt a na cievke L1 napätie u12 s veľkosťou:

L

21 je koeficient s rozmerom [H].

Dá sa ukázať (a môžeme to aj očakávať ako dôsledok symetrie), že L

12 a L21 sú rovnaké. Preto

Koeficient M nazývame vzájomná indukčnosť (Mutual inductance).

... pokračovanie

Orientáciu tohto napätia určuje Lenzov zákon a jeho veľkosť je:

2-33

Vzájomná indukčnosť (2/6)

Výsledné napätie u

1 na cievke L1 a u2 na cievke L2 bude:

Môže však nastať aj iná situácia, a to ak cievku L

2 „otočíme“. Kým orientácia „vlastných“ napätí (u11, u22)

zostané zachovaná (v smere prúdu), kladný zmysel „väzobných“ napätí (u

12, u12) sa zmení (vyplýva to z

Lenzovho zákona).

u

11

i

1

u

21

u

22

u

12

i

2

u

11

i

1

u

21

u

22

u

12

i

2

Hodnota vzájomnej indukčnosti M závisí od vlastných indukčností cievok L

1 a L2 a dá sa vyjadriť ako:

 nazývame faktor väzby a sú v ňom zahrnuté napr. priestorové usporiadanie cievok, vlastnosti prostredia

atď. Hodnota faktora väzby leží v intervale

0,1;  = 1 znamená, že celý magnetický tok jednej cievky je

viazaný aj druhou cievkou (napr. ak sú obe cievky navinuté na jadre s veľmi veľkou permeabilitou).

V takomto prípade dostaneme:

... pokračovanie

2-34

Vzájomná indukčnosť (3/6)

L

1

L

2

M

Videli sme však, že je potrebné vedieť nielen to, ktoré cievky sú magneticky viazané
a s akou hodnotou M, ale aj akým spôsobom sú cievky v priestore vzájomne
orientované, čo z ich elektrotechnických značiek nevyplýva. Na určenie orientácie
napätia indukovaného na induktore v dôsledku magnetickej väzby použijeme tzv.
referenčné značky („bodky“, niekedy nazývané aj začiatok vinutia).

Magnetickú väzbu medzi dvoma induktormi v elektrickej schéme označujeme nasledovným spôsobom:

Ak v induktore vteká prúd do referenčnej značky (bodky), v magneticky viazanom induktore je
napätie zodpovedajúce vzájomnej indukcii orientované v smere od referenčnej značky (bodky).

Dohodnutý význam týchto značiek je:

Ešte raz zopakujme, že napätie na induktore zodpovedajúce vlastnej indukčnosti je na induktore vždy
orientované v smere prúdu týmto induktorom. Orientácia napätia zodpovedajúceho vzájomnej
indukčnosti závisí od referenčných značiek a od smeru prúdu v druhom induktore.

L

1

L

2

M

L

1

L

2

M

L

1

L

2

M

L

1

L

2

M

Na ilustráciu niekoľko príkladov:

... pokračovanie

2-35

Vzájomná indukčnosť (4/6)

Pri riešení obvodov s magneticky viazanými induktormi musíme túto väzbu nejakým spôsobom „prepísať“ do
elektrotechnických značiek (určiť náhradnú schému obvodu s magnetickou väzbou). Pri tejto náhrade
vychádzame zo vťahov pre napätia na induktoroch, ktoré majú v prípade dvoch induktorov tvar:

Z týchto vzťahov potom vyplývajú dva spôsoby vytvorenia náhradnej schémy:

• pomocou riadených zdojov napätia

• pomocou indukčného T-článku

táto náhrada je všeobecná a dá sa použiť aj v prípade niekoľkých magneticky viazaných induktorov
(typickým príkladom je transformátor s viacerými vinutiami). Jej čiastočnou nevýhodou sú problémy pri
použití niektorých metód riešení obvodu (napr. nemôžeme použiť metódy využívajúce nulovanie zdrojov).

túto náhradu môžeme použiť iba pre dva viazané induktory, navyše s určitým obmedzením súvisiacim s
galvanickým prepojením týchto induktorov (vysvetlíme neskôr). Výhodou je však jej jednoduchosť.

... pokračovanie

2-36

Vzájomná indukčnosť (5/6)

• Náhradná schéma s riadenými zdrojmi napätia
Pri použití tejto náhrady vyjadríme magnetickú väzbu induktora s iným induktorom (induktormi) sériovým
zapojením riadeného zdroja (zdrojov) napätia k tomuto induktoru.

L

1

M

L

2

i

1

i

2

u

1

u

2

L

1

t

i

M

d

d 2

t

i

M

d

d 1

L

2

i

1

i

2

u

1

u

2

Jednoducho sa môžeme presvedčiť,
že pre obe zapojenia platia tie isté
rovnice:

Z náhradnej schémy vyplýva ďalšia „nepríjemná“ vlastnosť tohto spôsobu: pred jeho použitím musíme zvoliť
orientáciu prúdov cez jednotlivé induktory a táto orientácia musí zostať rovnaká v pôvodnej aj náhradnej
schéme.

M

31

M

12

M

23

i

1

L

1

L

2

L

3

i

2

i

3

L

1

i

1

t

i

M

d

d 3

31

t

i

M

d

d 2

12

L

2

i

2

t

i

M

d

d 3

23

t

i

M

d

d 1

12

t

i

M

d

d 2

23

t

i

M

d

d 1

31

i

3

L

3

... pokračovanie

Na druhej strane, touto náhradnou schémou môžeme riešiť ľubovoľné zapojenie; napr. aj prípad viacerých
viazaných induktorov:

2-37

Vzájomná indukčnosť (6/6)

• Náhradná schéma s indukčným T-článkom
Pri použití tejto náhrady nahrádzame magnetickú väzbu dvoch induktorov pomocou troch induktorov
zapojených do T-článku:

L

1

M

L

2

L

1

M

L

2

+
M

L

1 – M

L

2 – M

–M

L

1 + M

L

2 + M

Aj v tomto prípade pôvodnú a náhradnú
schému opisujú rovnaké rovnice. Na rozdiel
od náhrady riadenými zdrojmi tu však nie je
voľba smeru prúdov induktormi dôležitá
(preto sme ich v schémach ani nevyznačili).
Podstatné je niečo iné: kým v pôvodnej
schéme sú svorky na ľavej a pravej strane
galvanicky oddelené (nie sú prepojené
vodičom), v náhradnej schéme tomu tak nie je
a „dolné“ svorky sú spojené.

Od čoho teda závisí znamienko pri vzájomnej indukčnosti M? Pred samotným prekreslením schémy na T-
článok musíme najskôr dve svorky spojiť. Ak spojíme svorky s rovnakým označením (referenčnou značkou),
v náhradnej schéme bude v priečnom úseku +M a v zostávajúcich dvoch úsekoch –M (schéma a). Po spojení
svoriek s rôznym označením budú znamienka opačné (schéma b).

a)

b)

Tu sa dostávame k ďalšiemu obmedzeniu tejto náhradnej
schémy. Na to aby sme ju mohli použiť musí byť zabezpečené,
aby po spojení svoriek netiekol v prepojovacom vodiči prúd a
nesmú sa zmeniť ani ostatné obvodové veličiny. Samozrejme,
svorky induktorov môžu byť spojené už v pôvodnej schéme (čo
je „bezproblémový“ prípad). T-článok sa však nedá sa použiť
napr. v takomto zapojení:

M

?

?

T článok