3. Základné metódy riešenia elektrických

obvodov

• Úvod
• Metódy riešenia
• Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov
• Metóda stavových premenných

3-2

Podľa linearity prvkov

Podľa časových

priebehov napätia a

prúdu

Elektrické obvody (EO)

So sústredenými parametrami

S rozloženými parametrami

Lineárne

Nelineárne

Stacionárne

Periodické

Neperiodické

Harmonické

Neharmonické

So sústredenými parametrami

Lineárne

Stacionárne

Nelineárne

So sústredenými parametrami

Stacionárne

Náplň predmetu Elektrické obvody I

Problematika teórie a riešenia elektrických obvodov (EO) je príliš rozsiahla na možnosti náplne jedného
semestra. V predmete Elektrické obvody I sa preto budeme zaoberať len niektorými vybranými oblasťami.

Periodické

Harmonické

So sústredenými parametrami

Lineárne

Obsahom predmetu Elektrické obvody I budú tri tématické celky:
1. Lineárne EO v ustálenom stacionárnom stave
2. Nelineárne EO v ustálenom stacionárnom stave
3. Lineárne EO v ustálenom harmonickom stave

3-3

3. Metódy riešenia elektrických obvodov

Pod pojmom riešenie elektrického obvodu najčastejšie myslíme určenie všetkých neznámych napätí
a/alebo prúdov - tzv. analýzu elektrického obvodu. Niekedy je problém formulovaný opačne: v určitých
úsekoch obvodu požadujeme isté hodnoty napätia a prúdu a úlohou je nájsť také zapojenie prvkov obvodu,
ktorým tieto hodnoty dosiahneme. V takomto prípade hovoríme o syntéze elektrického obvodu.

• Prúdy cez všetky rezistory (resp. napätia na všetkých rezistoroch)

• Prúdy (príp. napätia) cez všetky induktory

• Napätia (príp. prúdy) na všetkých kapacitoroch

• Prúdy cez všetky ideálne zdroje napätia

• Napätia na všetkých ideálnych zdrojoch prúdu

Formulácia matematického modelu elektrického obvodu vychádza z I. a II. Kirchhoffovho zákona a
terminálových vzťahov pre jednotlivé dvojpóly (resp. n-póly). Najjednoduchšou (pokiaľ ide o postup pri
zostavovaní sústavy rovníc) a najvšeobecnejšou metódou je metóda priamej aplikácie Kirchhoffových záko

nov, resp. metóda stavových premenných. Táto metóda však zvyčajne nie je najvýhodnejšia z hľadiska
počtu rovníc a „prácnosti“ pri výpočte. Existuje preto viacero iných metód (metóda uzlových (vetvových)
napätí, slučkových (tetivových) prúdov, riešenie použitím rôznych transformácií (Fourierova,
Laplaceova ...)), ktoré podľa konkrétneho typu obvodu zjednodušujú a urýchľujú výpočet.

Pri analýze elektrického obvodu postupujeme tak, že najprv definujeme všetky neznáme veličiny, potom
sformulujeme matematický model (sústavu rovníc potrebných na určenie všetkých neznámych) a
nakoniec použijeme vhodnú matematickú metódu na vyriešenie tejto sústavy rovníc.

V úlohách, ktoré budeme riešiť, pôjde predovšetkým o analýzu elektrických obvodov. Pre obvody
pozostávajúce z elementárnych ideálnych dvojpólov to znamená určiť:

Tieto veličiny umožňujú vypočítať všetky výkony v obvode.

3-4

3.1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (1/2)

Pri metóde priamej aplikácie Kirchhoffových zákonov zostavíme rovnice na analýzu obvodu použitím
len I. a II. KZ a terminálových vzťahov pre jednotlivé n-póly. Postup ukážeme na jednoduchom príklade -
obvod na obrázku.

R

1

u

z(t)

R

2

L

C

i

R(t)

i

L(t)

u

C(t)

Úlohou je určiť prúdy i

R(t), iL(t) a napätie uC(t) - spolu 3 neznáme veličiny – pri známych hodnotách R1, R2,

L, C a zadanom časovom priebehu u

z(t).

Predpokladajme najprv, že napíšeme rovnice I. KZ pre všetky uzly a II. KZ pre všetky slučky. V obvode
sú 2 uzly a 3 slučky - spolu 5 rovníc. Je zrejmé, že dve rovnice sú „navyše“ - sústava rovníc je lineárne
závislá a preto nesprávne zostavená.

Pri analýze ľubovoľného elektrického obvodu je preto v prvom rade potrebné nájsť správny počet rovníc
a následne tieto rovnice zostaviť správnym spôsobom.

Pravidlá pri určovaní rovníc vychádzajú z topologického rozboru elektrického obvodu a budú detailnejšie
objasnené neskôr. Na tomto mieste len uvedieme, že rovnice I. KZ je potrebné napísať pre všetky
nezávislé uzly a rovnice II. KZ pre všetky nezávislé slučky. Pri ich voľbe platia nasledujúce pravidlá:

Počet nezávislých uzlov = počet všetkých uzlov

 1 (jeden (ľubovoľne zvolený) uzol je lineárne závislý)

Počet nezávislých slučiek= počet všetkých úsekov

 počet nezávislých uzlov

alebo

= počet jednoduchých slučiek („oká“ elektrického obvodu)

Nezávislé slučky môžeme zvoliť ľubovoľne, nutnou podmienkou však je, aby každý úsek obvodu bol
zahrnutý aspoň v jednej slučke.

3-5

Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (2/2)

Podľa uvedených pravidiel dostaneme pre analyzovaný obvod:

R

1

u

z(t)

R

2

L

C

Počet nezávislých uzlov (I. KZ) = 1

Počet nezávislých slučiek (II. KZ) = 2

Použitím terminálových vzťahov pre pasívne dvojpóly a po úprave získame:

čo sú 3 lineárne nezávislé (diferenciálne) rovnice na výpočet 3. neznámych veličín i

R(t), iL(t) a uC(t).

Matematické (t.j. analytické, resp. numerické) riešenie výslednej sústavy rovníc vyžaduje okrem znalosti R

1,

R

2, L, C a uz(t) aj hodnotu napätia na kapacitore a prúdu cez induktor v čase, ktorý zvolíme ako začiatok

riešenia - teda počiatočné podmienky u

C(0) a iL(0).

i

R(t)

i

L(t)

i

C(t)

R

1

u

z(t)

R

2

L

C

u

C(t)

u

R1(t)

u

R2(t)

u

L(t)

3-6

3.2. Metóda stavových premenných

Kvôli zjednodušeniu ďalej označme x

1  iR(t), x2  uC(t), x3  iL(t) a x  d x(t)/d t, čím dostaneme

Z matematického pohľadu pritom nejde o sústavu 3 diferenciálnych rovníc, pretože ani v jednej z nich
nevystupuje derivácia x



1. Ak vyjadríme z prvej rovnice x1 a dosadíme do druhej, dostaneme:

čo je sústava dvoch diferenciálnych rovníc (prvého rádu) pre x

2 a x3. Týmto spôsobom sme zostavili

sústavu diferenciálnych rovníc pre stavové veličiny obvodu, ktorými sú v prípade elektrických obvodov
pozostávajúcich z elementárnych dvojpólov napätia na kapacitoroch (v našom prípade x

2) a prúdy

induktormi (v našom prípade x

3). Táto metóda riešenia sa nazýva metóda stavových premenných.

Uvedený príklad slúžil len ako ilustrácia tejto metódy; problematika riešenia elektrických obvodov pomocou
metódy stavových premenných je podstatne rozsiahlejšia a záujemcom odporúčame napr. [3]. Táto metóda
je vhodná predovšetkým pre numerické metódy riešenia, keďže numerické algoritmy riešenia sústav
diferenciálnych rovníc (či už lineárnych, alebo nelineárnych) sú v sučasnosti všeobecne známe a zahrnuté
prakticky v každom matematickom programovom balíku (Mathematica, MatLab, Maple, MathCad atď.).

3-7

3.2.1. Ukážka výsledkov riešenia

Na záver tejto kapitoly ukážeme výsledky pre analyzovaný obvod, získané numericky pomocou štandardnej
numerickej metódy Runge-Kutta. Počiatočné podmienky u

C(0) = 0 a iL(0) = 0 zodpovedajú nenabitému

kapacitoru a induktoru s nulovým prúdom – riešime priebeh napätí a prúdov po pripojení zdroja napätia.

u

z(t)

R

1

R

2

L

C

i

R(t)

i

L(t)

u

C(t)

R

1 = 50, R2 = 40

C = 100

F, L = 0,5H

u

z(t) = 200V

zdroj konštantného napätia

u

z(t) = 200 sin(2ft)

zdroj harmonického napätia s frekvenciou f = 60Hz

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0

20

40

60

80

100

120

140

i [A]

u [V]

t [s]

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-4

-2

0

2

4

-120

-80

-40

0

40

80

120

i [A]

u [V]

t [s]

i

L(t)

i

L(t)

u

C(t)

u

C(t)

i

R(t)

i

R(t)