6. Metódy riešenia lineárnych sietí

• Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete
• Základné pojmy z topológie elektrických obvodov
• Metódy riešenia zložitých lineárnych sietí obsahujúcich

zdroje prúdu, napätia a rezistory:

Metóda vetvových napätí
Metóda tetivových prúdov
Metóda uzlových napätí
Metóda slučkových prúdov

6-2

6.1. Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete

R1

R4

R5

R6

IZ3

UZ2

U3

UZ5

I6

I4

I2

I1

I

5

Začnime typickým príkladom analýzy rozľahlejšiej siete.
Je známe zapojenie a hodnoty parametrov všetkých prvkov (zdrojov a rezistorov).
Úlohou je nájsť všetky neznáme napätia a prúdy. Problém formulácie podmienečných rovníc zložitej siete.

Nájsť riešenie každej elektrickej siete je vždy možné pomocou rovníc
• 1. Kirchhoffovho zákona
• 2. Kirchhoffovho zákona
• Ohmovho zákona

R

1 = 10, UZ2 = –5V, IZ3 = 0,5A, R4 = 5, UZ5 = 7,5V, R5 = 5,

R

6 = 2,5.

Neznáme sú I

1, I2, I4, I5, I6 a U3.

Skúsime pre daný obvod napísať takéto rovnice.

6-3

6.1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (1/2)

V každej sieti môžeme napísať
• 1. Kirchhoffov zákon pre každý uzol
• 2. Kirchhoffov zákon pre každú slučku
• Ohmov zákon pre každý rezistor.

V našom prípade bolo možné nájsť
• 7 slučiek (S

1 až S7) a

• 4 uzly (1 až 4).

1

0

6

2

1









I

I

I

1:

2

0

4

3

2







I

I

I

Z

2:

3

0

6

5

4







I

I

I

3:

4

0

5

3

1







I

I

I

Z

4:

S

1

0

3

2

1

1







U

U

I

R

Z

S

1:

S

3

0

4

4

6

6

2







I

R

I

R

U

Z

S

3:

S

4

0

3

4

4

6

6

1

1









U

I

R

I

R

I

R

S

4:

S

5

0

5

5

5

6

6

2

3













Z

Z

U

I

R

I

R

U

U

S

5:

S

6

0

5

5

5

6

6

1

1









Z

U

I

R

I

R

I

R

S

6:

S

7

0

1

1

5

5

5

4

4

1













I

R

U

I

R

I

R

U

Z

Z

S

7:

R1

R4

R5

R6

IZ3

UZ2

U3

UZ5

I6

I4

I2

I1

I

5

Neznáme sú len prúdy I

1, I2, I4, I5, I6 a napätie U3. Zamená to, že na ich výpočet by sme potrebovali 6

rovníc o 6 neznámych, my ich však máme 13. Ľahko však zistíme, že napríklad z rovníce 1 až 4 je jedna
lineárne nezávislá. Podobne by sa dalo zistiť, že z rovníc S

1 až S7 sú len niektoré lineárne nezávislé!

S

2

S

2:

0

5

5

5

4

4

3











Z

U

I

R

I

R

U

6-4

6.1. Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov (2/2)

Vynárajú sa teda otázky:

V tomto prípade máme 6 neznámych veličín. Znamenalo by to riešiť sústavu 6 rovníc o 6 neznámych, čo nie je práve
najpríjemnejšia procedúra. Nedali by sa dajakým spôsobom tieto veličiny nájsť na viac krokov, pričom by sme
nemuseli naraz počítať tak veľkú sústavu rovníc?

Má vôbec úloha riešenie? Ako to zistiť?

Ako nájsť správny počet lineárne nezávislých rovníc, pomocou ktorých vypočítame neznáme veličiny?

Dva Kirchhoffove zákony za pomoci Ohmovho zákona postačujú na riešenie akejkoľvek siete. Problém je, že ich
písaním dostaneme (mnohokrát zbytočne) veľký počet rovníc, z ktorých niektoré môžu byť lineárne závislé. Na
uvedenom príklade vidno, že v prípade rozsiahlejších sietí sa už nedá spoľahnúť na intuitívne písanie množstva
rovníc. Potrebujeme mať exaktné metódy, ktoré dajú jednoznačný postup pri písaní rovníc Kirchhoffových
zákonov a odpovedia na predošlé otázky. Takéto metódy samozrejme existujú a vopred prezraďme, že
v prípade uvedenej siete netreba riešiť sústavu rovníc väčšiu, ako 2. stupňa. Sú to

• metóda tetivových prúdov
• metóda vetvových napätí
• metóda slučkových prúdov

• metóda uzlových napätí

6-5

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (1/6)

Úplný strom je minimálna množina úsekov, ktorá navzájom prepája všetky uzly. Úplný strom nesmie tvoriť

slučku.

Pripomeňme si:

Uzol je miesto, do ktorého vchádza
najmenej jeden úsek. Ak do uzla
vchádza N úsekov, hovoríme, že uzol je
N - tého rádu.

Úsek je časť siete pozostávajúca
z ľubovoľného

počtu

sériovo

zapojených

prvkov

(dvojpólov)

zapojená medzi dvojicu uzlov.

Zvýraznené sú úseky patriace do úplného stromu.

Voľba úplného stromu v sieti nemusí byť jednoznačná.

6-6

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (2/6)

Pravý strom je úplný strom, ktorý navyše spĺňa nasledujúce pravidlá:
•

obsahuje všetky úseky, v ktorom je jeden alebo viac zdrojov napätia bez sériových rezistorov,

•

neobsahuje ani jeden úsek, v ktorom je ideálny zdroj prúdu.

Úseky siete, ktoré patria do úplného stromu, nazývame vetvy.

Úseky siete, ktoré nepatria do úplného stromu, nazývame tetivy.

U

Z

Takýto úsek musí byť
vetvou.

U

Z

R

R

Takéto úseky môžu byť vetvami aj tetivami.

U

Z

Takýto úsek musí byť
tetivou.

Ak sa v sieti podarí násť pravý strom, úloha má riešenie.

6-7

Q

2

Jordanova krivka

Ohraničená oblasť

Q

1

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (3/6)

Ak x je počet úsekov a u je počet uzlov siete, potom počet vetiev v je

Počet tetív s je

1



u

v

1











u

x

v

x

s

Rez je množina úsekov, ktorými môže tiecť prúd do ohraničenej oblasti siete. Takáto oblasť vznikne v rovinnej
sieti ohraničením Jordanovou krivkou. Pre každý rez platí 1. Kirchhoffov zákon.

Príklad niektorých rezov a príslušných rovníc 1. Kirchhoffovho zákona:

0

6

2

1









I

I

I

Q

1:

0

6

2

1







I

I

I

Q

2:

I

1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

6-8

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (4/6)

Ak je v sieti možné nájsť aj viac rôznych pravých stromov, všetky sú si navzájom rovnocenné (napríklad
z hľadiska počtu rovníc, na ktoré budú viesť jednotlivé metódy riešenia).

Ak v sieti zvolíme pravý strom, voľba nezávislých rezov a nezávislých slučiek je už jednoznačná.

Nezávislý rez obsahuje práve jednu vetvu, ostatné úseky sú tetivy. Pre každú vetvu vieme nájsť jeden
nezávislý rez. V sieti teda môžeme násť toľko nezávislých rezov, koľko má vetiev. Rovnice
1.Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy tvoria lineárne nezávislý systém.

Nezávislá slučka je taká slučka, ktorá obsahuje práve jednu tetivu, ostatné úseky slučky sú vetvy. Pre
každú tetivu vieme nájsť jednu nezávislú slučku. V sieti teda môžeme nájsť toľko nezávislých slučiek,
koľko má tetív. Rovnice 2.Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky tvoria lineárne nezávislý systém.

6-9

Príklad siete, ktorá nemá riešenie (1).

(Sieť, v ktorej neexistuje pravý strom)

R1

UZ3

IZ6

IZ4

!

R2

IZ5

1

2

3

4

R

1 = 10, R2 = 5, UZ3 = –5V, IZ4 = 1A, IZ5 = 0,5A, IZ6 = –1A

Jednou z vlastností pravého stromu je, že tvorí množinu úsekov,
ktorá spája navzájom všetky uzly. Znamená to, že do ľubovoľného
uzla siete musí byť možné dostať sa vetvami stromu. Vetvy pravého
stromu však nesmú obsahovať zdroje prúdu. Vidno, že do uzla 3 sa
nedostaneme, pretože do neho vchádzajú iba zdroje prúdu. V takejto
sieti teda nie je možné nájsť pravý strom.

V každej sieti musia platiť Kirchhoffove zákony. Skúsme napísať rovnicu 1. Kirchhoffovho zákona pre problematický
uzol 3 (označený výkričníkom)

čo v tomto prípade nie je pravda.

0

6

5

4







Z

Z

Z

I

I

I

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (5/6)

Ak by aj hodnoty I

Z4, IZ5, IZ6 boli zvolené tak, že by bol v uzle 3 splnený 1. Kirchhoffov zákon, úloha by mala

nekonečne veľa riešení v zmysle napätí na týchto troch zdrojoch prúdu.

6-10

R4

R5

R6

UZ2

UZ1

UZ3

!

U

Z1 = 10V, UZ2 = 10V, UZ3 = 5V, R4 = R5 = R6 =10.

Príklad siete, ktorá nemá riešenie (2).

(Sieť, v ktorej neexistuje pravý strom)

Jednou z vlastností pravého stromu je, že jeho vetvy nesmú tvoriť
slučku. Ak sa v sieti vyskytujú úseky obsahujúce iba zdroje napätia
bez sériových rezistorov, musia byť súčasťou pravého stromu. Vidno,
že úseky so zdrojmi U

Z1, UZ2 a UZ3 musia byť vetvami stromu, tvoria

však slučku. V takejto sieti teda nie je možné nájsť pravý strom.

V každej sieti musia platiť Kirchhoffove zákony.

Skúsme napísať rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku tvorenú zdrojmi U

Z1, UZ2 a UZ3

čo v tomto prípade neplatí.

0

3

2

1









Z

Z

Z

U

U

U

6.2. Základné pojmy z topológie elektrických sietí (6/6)

Ak by aj boli hodnoty U

Z1, UZ2 a UZ3 zvolené tak, že by 2. Kirchhoffov zákon v uvedenej slučke platil, úloha by mala

nekonečne veľa riešení v zmysle prúdov týmito tromi zdrojmi.

6-11

1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých rezov (Q

1, Q2, Q3) a nezávislých

slučiek (S

1, S2 a S3).

R

1

R

4

U

Z2

U

3

I

6

I

5

R

5

R

6

I

Z3

U

Z5

I

4

I

2

I

1

S

3

S

2

S

1

Q

1

Q

2

Q

3

Poznámka:

Ľahko sa dá presvedčiť, že aj v tejto sieti existuje viac,
ako jedna voľba pravého stromu. Všetky voľby
pravého stromu sú však z hľadiska počtu rovníc, ktoré
treba riešiť, rovnocenné.

6.3. Metóda vetvových napätí (1/4)

Sieť považujeme za vyriešenú vtedy, keď poznáme určitú množinu veličín (napätí, prúdov), z ktorých už každú
ďalšiu veličinu (napätie, prúd) sme schopní vypočítať z jednoduchých vzťahov bez použitia ďalších sústav rovníc.
Takouto množinou sú napätia na vetvách siete (vetvové napätia).

Podstata metódy vetvových napätí spočíva v tom, že za neznáme veličiny volíme napätia na vetvách siete. Riešime
lineárne nezávislý systém rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy siete.

Postup pri metóde vetvových napätí.

Neznámymi budú napätia na rezistoroch R

1 a R6 (napätia na vetvách). Vetvové napätie UZ2 je známe, teda bude treba

hľadať menej nezámych veličín.

6-12

2. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy (Q ‑ rovnice) a 2. Kirchhoffovho

zákona pre nezávislé slučky (S – rovnice).

3. V Q – rovniciach dosadíme za všetky prúdy rezistormi z Ohmovho zákona. Z S – rovníc

vyjadríme tetivové napätia.

Q

1:

0

5

3

1







I

I

I

Z

0

4

3

2







I

I

I

Z

0

6

5

4







I

I

I

0

1

2

3









R

Z

U

U

U

0

6

2

4







R

Z

R

U

U

U

0

1

6

5

5











R

R

R

Z

U

U

U

U

Q

2:

Q

3:

S

1:

S

2:

S

3:

Poznámka: Napätie U

RX na ľubovoľnom rezistore RX je definované ako

U

RX = RX.IX , kde IX je prúd pretekajúci rezistorom.

R

X

U

RX

I

X

0

5

5

3

1

1







R

U

I

R

U

R

Z

R

0

4

4

3

2







R

U

I

I

R

Z

0

6

6

5

5

4

4







R

U

R

U

R

U

R

R

R

1

2

3

R

Z

U

U

U





6

2

4

R

Z

R

U

U

U







1

6

5

5

R

R

Z

R

U

U

U

U







Q

1:

Q

2:

Q

3:

S

1:

S

2:

S

3:

6.3. Metóda vetvových napätí (2/4)

Každá S – rovnica obsahuje
práve jedno tetivové napätie,
ostatné sú vetvové. Každá
nezávislá slučka totiž obsahuje
práve jednu tetivu.

6-13

V sústave rovníc sú dva typy neznámych

6.3. Metóda vetvových napätí (3/4)

4. Do Q – rovníc dosadíme za tetivové napätia z S – rovníc.

1

5

1

1

1

R

U

R

R

















6

5

1

R

U

R



=

3

5

5

Z

Z

I

R

U





6

4

1

R

U

R





2

I



=

4

2

3

R

U

I

Z

Z 

1

5

1

R

U

R



6

6

5

4

1

1

1

R

U

R

R

R





















=

5

5

4

2

R

U

R

U

Z

Z





Q

2:

Q

3:

Q

1:

1

5

1

1

1

R

U

R

R





















6

5

1

R

U

R



=

3

5

5

Z

Z

I

R

U





1

5

1

R

U

R



6

6

5

4

1

1

1

R

U

R

R

R

























=

5

5

4

2

R

U

R

U

Z

Z





Q

1:

Q

3:

• napätia na vetvách siete (U

R1, UR6)

• prúdy vetvami so známym vetvovým napätím (I

2).

Takýto prúd sa bude vyskytovať vždy iba v
jednej rovnici (vyplýva to z voľby nezávislých
rezov, každý obsahuje iba jednu vetvu). Takéto
rovnice však môžeme v prvom kroku odložiť
zo sústavy nabok a riešiť len zvyšnú sústavu.

Rovnicu Q

2 s neznámou I2 môžeme dočasne

odložiť nabok, pretože I

2 sa v zvyšných

rovniciach nenachádza.

6-14

•

Riešením rovníc Q

1 a Q3 dostaneme UR1 = –7,5V, UR6 = 1,25V.

•

Dosadením do rovnice Q

2 za UR1 a UR6 dostaneme I2 = 1,25A.

Najvyšší počet rovníc, ktoré treba naraz riešiť je teda daný výrazom:

Počet vetiev – počet vetiev obsahujúcich zdroj napätia bez sériového rezistora.

6.3. Metóda vetvových napätí (4/4)

Poznáme napätia na vetvách, teda sieť môžeme považovať za vyriešenú. Každú ďalšiu veličinu už nájdeme bez

nutnosti riešiť ďalšiu sústavu rovníc. Postupujeme nasledovne v poradí:

V

5

,

2

1

2

3







R

Z

U

U

U

V

75

,

3

6

2

4









R

Z

R

U

U

U

V

25

,

1

1

6

5

5









R

R

Z

R

U

U

U

U

A

75

,

0

4

4

4





R

U

I

R

A

25

,

0

5

5

5





R

U

I

R

Tým je úloha vyriešená.



•

neznáme prúdy vetvami získame z Ohmovho zákona

A

R

U

I

R

75

,

0

1

1

1







A

R

U

I

R

5

,

0

6

6

6





•

z každej S – rovnice získame napätie na jednej

tetive

•

z Ohmovho zákona získame neznáme prúdy

tetivami

6-15

1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých rezov (Q

1, Q2, Q3) a nezávislých

slučiek (S

1, S2 a S3).

Poznámka:

Ľahko sa dá presvedčiť, že aj v tejto sieti existuje viac,
ako jedna voľba pravého stromu. Všetky voľby
pravého stromu sú však z hľadiska počtu rovníc, ktoré
treba riešiť, rovnocenné.

Podstata metódy tetivových prúdov spočíva v tom, že za neznáme veličiny volíme prúdy tetivami siete. Riešime
lineárne nezávislý systém rovníc 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky siete.

Postup pri metóde tetivových prúdov.

Sieť považujeme za vyriešenú vtedy, keď poznáme určitú množinu veličín (napätí, prúdov), z ktorých už každú
ďalšiu veličinu (napätie, prúd) sme schopní vypočítať z jednoduchých vzťahov bez použitia ďalších sústav rovníc.
Takouto množinou sú prúdy vetivami siete (tetivové prúdy).

6.4. Metóda tetivových prúdov (1/4)

R

1

R

4

U

Z2

U

3

I

6

I

5

R

5

R

6

I

Z3

U

Z5

I

4

I

2

I

1

S

3

S

2

S

1

Q

1

Q

2

Q

3

Neznámymi budú prúdy tetivami I

4 a I5. Tetivový prúd IZ3 je známy, teda bude treba hľadať menej neznámych

veličín.

6-16

2. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy (Q ‑ rovnice) a 2. Kirchhoffovho

zákona pre nezávislé slučky (S – rovnice).

Q

1:

0

5

3

1







I

I

I

Z

0

4

3

2







I

I

I

Z

0

6

5

4







I

I

I

0

1

2

3









R

Z

U

U

U

0

6

2

4







R

Z

R

U

U

U

0

1

6

5

5











R

R

R

Z

U

U

U

U

Q

2:

Q

3:

S

1:

S

2:

S

3:

Každá Q – rovnica obsahuje
práve jeden vetvový prúd,
ostatné sú tetivové. Každý
nezávislý rez totiž obsahuje
práve jednu vetvu.

3. V S – rovniciach dosadíme za všetky napätia na rezistoroch z Ohmovho zákona. Z Q – rovníc

vyjadríme vetvové prúdy.

5

3

1

I

I

I

Z







4

3

2

I

I

I

Z





5

4

6

I

I

I





0

1

1

2

3









I

R

U

U

Z

0

6

6

2

4

4







I

R

U

I

R

Z

0

1

1

6

6

5

5

5











I

R

I

R

I

R

U

Z

Q

1:

Q

2:

Q

3:

S

1:

S

2:

S

3:

Poznámka: Napätie U

RX na ľubovoľnom rezistore RX je definované ako

U

RX = RX.IX , kde IX je prúd pretekajúci rezistorom.

R

X

U

RX

I

X

6.4. Metóda tetivových prúdov (2/4)

6-17

6.4. Metóda tetivových prúdov (3/4)

4. Do S – rovníc dosadíme za vetvové prúdy z Q – rovníc.

V sústave rovníc sú dva typy neznámych

3

U



5

1.I

R



=

3

1

2

.

Z

Z

I

R

U









4

6

4

.I

R

R



5

6.I

R



=

2

Z

U



4

6.I

R







5

6

5

1

.I

R

R

R







=

3

1

5

.

Z

Z

I

R

U



S

2:

S

3:

S

1:

Rovnicu S

1 s neznámou U3 môžeme dočasne

odložiť nabok, pretože U

3 sa v zvyšných

rovniciach nenachádza.

Takéto napätie sa bude vyskytovať vždy iba v
jednej rovnici (vyplýva to z voľby nezávislých
slučiek, každá obsahuje iba jednu tetivu).
Takéto rovnice však môžeme v prvom kroku
odložiť zo sústavy nabok a riešiť len zvyšnú
sústavu.

• prúdy tetivami siete (I

4, I5)

• napätia na tetivách so známym tetivovým prúdom (U

3).





4

6

4

.I

R

R



5

6.

I

R



=

2

Z

U



4

6.

I

R







5

6

5

1

.I

R

R

R







=

3

1

5

.

Z

Z

I

R

U



S

2:

S

3:

6-18

6.4. Metóda tetivových prúdov (4/4)

Najvyšší počet rovníc, ktoré treba naraz riešiť:

Počet tetív – počet zdrojov prúdu.

Riešením rovníc S

2 a S3 dostaneme I4 = 0,75A, I5 = 0,25A.

Dosadením do rovnice S

1 za I4 a I5 dostaneme U3 = 2,5V.

Poznáme prúdy tetivami, teda sieť môžeme považovať za vyriešenú. Každú ďalšiu veličinu už nájdeme bez nutnosti

riešiť ďalšiu sústavu rovníc. Postupujeme nasledovne v poradí:

•

Tým je úloha vyriešená.



A

75

,

0

5

3

1











I

I

I

Z

A

25

,

1

4

3

2







I

I

I

Z

A

5

,

0

5

4

6







I

I

I

z každej R – rovnice získame prúd jednou vetvou

6-19

Podstata metódy spočíva v tom, že ľubovoľnú sieť s danými parametrami obvodových prvkov môžeme považovať
za vyriešenú, keď poznáme potenciály všetkých jej uzlov. Keďže prúdové pomery v sieti sú závislé len od
rozdielov potenciálov uzlov a nie od ich absolútnych hodnôt, môžeme zvoliť potenciál jedného uzla (referenčného)
za nulový a určiť potenciály ostatných uzlov voči nemu. Ak u je počet uzlov siete, počet neznámych potenciálov
(uzlových napätí) potom bude (u – 1).
Rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly sú lineárne nezávislé. Počet rovníc bude teda rovný počtu
nezávislých uzlov.

6.5. Metóda uzlových napätí (1/6)

Ak zvolíme potenciál referenčného uzla za
nulový, potom platí



1



2



0

U

10

U

20

U

30

U

u-1,0



u-1

Uzol s potenciálom



0 je referenčný uzol.

Nezávislé uzly majú potenciály



1 až u-1. Medzi každým nezávislým

uzlom a referenčným uzlom je zavedené príslušné uzlové napätie (U

10,

U

20, ...)

0

1

0

,

1

0

2

20

0

1

10





























u

u

U

U

U



Uzlové potenciály sú v tomto prípade čo do hodnoty
rovnaké, ako uzlové napätia. Metóda uzlových napätí sa
niekedy nazýva aj metóda uzlových potenciálov. V tomto
prípade majú tieto dva názvy totožný význam.

1

0

,

1

2

20

1

10











u

u

U

U

U









0

0 



Všetky uzly okrem referenčného nazývame nezávislé uzly.

Pri metóde uzlových napätí riešime sústavu rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly.

6-20

6.5. Metóda uzlových napätí (2/6)

Postup pri metóde uzlových napätí.

1. V sieti zvolíme referenčný uzol. Ak sa v sieti vyskytujú úseky, v ktorých sa nachádza iba zdroj napätia bez

ďalších sériových prvkov (rezistorov), mali by vychádzať z referenčného uzla. Ak je v sieti takýchto úsekov
viac a nie sú navzájom súvislé, je výhodné použiť metódu vetvových napätí.

1

U

20

U

10

U

30

2

3

0

Poznámka: Voľba referenčného uzla nemusí byť jednoznačná:

0

3

2

1

3. Napíšeme rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly.

0

6

5

4







I

I

I

0

4

3

2







I

I

I

Z

0

5

3

1







I

I

I

Z

1.

2.

3.

R

1

R

4

R

5

R

6

I

Z3

U

Z2

U

3

U

Z5

I

6

I

4

I

2

I

1

I

5

2. Ostatné uzly (nezávislé) očíslujeme a zavedieme uzlové napätia.

6-21

6.5. Metóda uzlových napätí (3/6)

4. V úsekoch obsahujúcich rezistory vyjadríme prúdy pomocou Ohmovho zákona z uzlových napätí a napätí

zdrojov napätia.

Pre každý takýto úsek nájdeme slučku, ktorého je súčasťou a ktorá sa uzatvára uzlovými napätiami uzlov, medzi ktoré je
úsek zapojený. Pre takúto slučku napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona, pričom napätie na rezistore vyjadríme z
prúdu pomocou Ohmovho zákona. Na obrázku sú snázornené niektoré možné prípady.

0

X

Y

UZ

UX0

UY0

S

R

I

0

Z

UZ

R

I

S

UZ0

0

.

0

0











X

Y

Z

U

U

I

R

U

R

U

U

U

I

X

Y

Z

0

0 





Napíšeme teda rovnice

0

.

30

1

1



 U

I

R

1

30

1

R

U

I



0

.

10

6

6



 U

I

R

6

60

6

R

U

I





0

.

10

20

4

4







U

U

I

R

4

20

10

4

R

U

U

I





0

.

5

30

10

5

5









Z

U

U

U

I

R

5

5

10

30

5

R

U

U

U

I

Z







0

W

R

I

S

UW0

0

.

0







I

R

U

U

Z

Z

R

U

U

I

Z

Z

0







0

.

0 



W

U

I

R

R

U

I

W 0



1

U

20

U

10

U

30

2

3

0

R

1

R

4

R

5

R

6

I

Z3

U

Z2

U

3

U

Z5

I

6

I

4

I

2

I

1

I

5

6-22

6.5. Metóda uzlových napätí (4/6)

5. Rovnice pre prúdy z predošlého kroku dosadíme do rovníc 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé uzly.

Rovnice sú 3 a obsahujú 4 neznáme – uzlové napätia U

10, U20, U30 a prúd zdrojom napätia I2, ktorý v sústave rovníc

akoby ostal „navyše“. Je to zdroj, ktorý vo svojom úseku nemá sériový rezistor. Každý takýto zdroj však vnucuje buď
priamo jedno uzlové napätie (ak vychádza z referenčného uzla), alebo rozdiel dvoch napätí (ak je zapojený medzi dva
nezávislé uzly). K sústave teda môžeme pridať štvrtú rovnicu.

10

6

5

4

1

1

1

U

R

R

R























20

4

1

U

R





30

5

1

U

R





=

5

5

R

U

Z

10

4

1

U

R





20

4

1

U

R





2

I



=

0

10

5

1

U

R





30

5

1

1

1

U

R

R























=

5

5

3

R

U

I

Z

Z 



1.

2.

3.

2

20

Z

U

U



4.

Na obrázku je ilustrovaný všeobecný postup, ako získať takéto rovnice pre zdroj priamo vychádzajúci z referenčného
uzla a pre zdroj zapojený medzi dvojicu nezávislých uzlov.

X

Y

UZ

UX0

UY0

S

0

0

W

UZ

S

UW0

0

0

0









X

Y

Z

U

U

U

0

0

X

Y

Z

U

U

U





0

0 



W

Z

U

U

0

W

Z

U

U



6-23

6.5. Metóda uzlových napätí (5/6)

10

6

5

4

1

1

1

U

R

R

R























20

4

1

U

R





30

5

1

U

R





=

5

5

R

U

Z

10

4

1

U

R





20

4

1

U

R





2

I



=

0

10

5

1

U

R





30

5

1

1

1

U

R

R























=

5

5

3

R

U

I

Z

Z 



2

20

Z

U

U



4.

1.

2.

3.

Riešením sústavy rovníc by sme dostali všetky neznáme. Nie je však nutné riešiť tak veľa rovníc súčasne. Prúd I

2 sa

nachádza len v rovnici 2, teda túto rovnicu môžeme odložiť nabok a v prvom kroku riešiť len zvyšok sústavy. Navyše
rovnica 4 je triviálna, takže ľahko vo všetkých ostatných rovniciach dosadíme U

Z2 namiesto neznámej U20. Ostáva nám

teda riešiť len sústavu dvoch rovníc (1, 3) o dvoch neznámych U

10 a U30.

10

6

5

4

1

1

1

U

R

R

R























30

5

1

U

R





=

4

2

5

5

R

U

R

U

Z

Z



10

5

1

U

R





+

30

5

1

1

1

U

R

R





















=

5

5

3

R

U

I

Z

Z 



1.

3.

6-24

6.5. Metóda uzlových napätí (6/6)

Riešením máme U

10 = –1,25V, U30 = –7,5V. Z rovnice 4 máme U20 = –5V. Dosadením do rovnice 2 vyjde I2 = 1,25A.

V tomto momente poznáme uzlové napätia, úloha je vyriešená. Každú ďalšiu veličinu vypočítame pomocou
jednoduchého vzťahu, bez nutnosti riešenia sústavy rovníc v nasledovnom poradí

• Prúdy úsekmi vypočítame z vyjadrení pomocou Ohmovho zákona

A

75

,

0

1

30

1







R

U

I

A

75

,

0

4

20

10

4







R

U

U

I

A

25

,

0

5

5

10

30

5









R

U

U

U

I

Z

A

5

,

0

6

60

6







R

U

I

• Napätie U

3 vypočítame z rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pomocou uzlových napätí U20 a U30

0

20

30

3







U

U

U

V

5

,

2

30

20

3







U

U

U

Tým je úloha vyriešená.



6-25

6.5.1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (1/3)

Výhodou metódy uzlových napätí je, že sa dajú sformulovať pravidlá, pomocou ktorých pri troche skúsenosti dokážeme
napísať výslednú sústavu podmienečných rovníc priamo, bez zdĺhavého odvodzovania. Nasledovný postup však nie je
určený pre siete, v ktorých úseky so zdrojmi napätia bez sériových rezistorov nevychádzajú z referenčného uzla!

1.

Všetky sériové kombinácie zdroja napätia a rezistora (technické zdroje napätia) nahradíme ekvivalentnými
paralelnými kombináciami zdroja prúdu a rezistora (technickými zdrojmi prúdu). Pomocou už známych
pravidiel v sieti zvolíme referenčný uzol, nezávislé uzly a zavedieme uzlové napätia. Všetky úseky so
zdrojmi napätia bez sériových rezistorov musia vychádzať z referenčného uzla!

Rýchly postup pri metóde uzlových napätí.

R1

R4

R5

R6

IZ3

UZ2

U3

IZ5

I6

I4

I2

I1

1

U20

U10

U30

2

3

0

I5

Zdroj U

Z2 nemá sériový rezistor, teda nie je

možná konverzia.

5

5

5

R

U

I

Z

Z



R1

R4

R5

R6

IZ3

UZ2

U3

UZ5

I6

I4

I2

I1

6-26

6.5.1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (2/3)

2. Pre nezávislé uzly, do ktorých nevchádza zdroj napätia, napíšeme podmienečné rovnice.

Nech má sieť N nezávislých uzlov a teda N uzlových napätí U

10 až UN0. Pre i – ty uzol bude mať rovnica tvar

ii

iN

iN

i

ii

i

i

I

U

g

U

g

U

g

U

g















.

.

.

.

0

20

2

10

1





g

ik – súčet vodivostí úsekov priamo zapojených medzi dvojicu nezávislých uzlov i a k ( ). Vodivosť zdroja prúdu

považujeme za nulovú. Ak nezávislé uzly nie sú pramo prepojené, g

ik = 0.

k

i



V našom prípade teda píšeme rovnice pre nezávislé uzly 1 a 3.

10

6

5

4

1

1

1

U

R

R

R























20

4

1

U

R





30

5

1

U

R





=

5

5

R

U

Z

10

5

1

U

R





+

30

5

1

1

1

U

R

R





















=

5

5

3

R

U

I

Z

Z 



1.

3.

g

ii – súčet vodivostí všetkých úsekov vchádzajúcich do i – teho nezávislého uzla

I

ii –

súčet prúdov všetkých zdrojov prúdu vchádzajúcich do i – teho nezávislého uzla. Ak prúd do uzla vchádza, má

kladnú orientáciu, inak zápornú.

6-27

6.5.1. Metóda uzlových napätí (rýchly postup) (3/3)

2

20

Z

U

U



Rovnicu pre uzol 2 sme nepísali, pretože do neho vchádza zdroj napätia. Takýto zdroj napätia ale priamo určuje uzlové
napätie U

20

Môžeme zaň do sústavy priamo dosadiť a príslušné členy ako známe preložiť na pravú stranu rovníc.

10

6

5

4

1

1

1

U

R

R

R























30

5

1

U

R





=

4

2

5

5

R

U

R

U

Z

Z



10

5

1

U

R





+

30

5

1

1

1

U

R

R





















=

5

5

3

R

U

I

Z

Z 



1.

3.

Porovnaním zistíme, že sme dostali už známe rovnice. Ďalšie kroky sú už podobné s krokmi ako pri riadnom použití
metódy uzlových napätí s odvodením všetkých rovníc (strana 6.5.6). Riešením máme
U

10 = –1,25V, U30 = –7,5V, U20 = UZ2 = –5V. Z rovnice 1. Kirchhoffovho zákona pre uzol 2 vyjde I2 = 1,25A.

Prúdy ďalšími úsekmi vypočítame z uzlových napätí pomocou Ohmovho zákona, napätie U

3 pomocou 2. Kirchhoffovho

zákona

A

75

,

0

1

30

1







R

U

I

A

75

,

0

4

20

10

4







R

U

U

I

A

25

,

0

5

5

10

30

5









R

U

U

U

I

Z

A

5

,

0

6

60

6







R

U

I

V

5

,

2

30

20

3







U

U

U

Tým je úloha vyriešená.



6-28

6.6. Metóda slučkových prúdov (1/4)

Podstata metódy spočíva v tom, že ľubovoľnú sieť s danými parametrami obvodových prvkov môžeme považovať
za vyriešenú, keď poznáme prúdy v systéme nezávislých slučiek – slučkové prúdy. Ak má sieť x úsekov a u uzlov,
potom má s = x – u + 1 nezávislých slučiek a pri riešení treba hľadať s neznámych slučkových prúdov.
Pri metóde slučkových prúdov riešime sústavu rovníc 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky.
Rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky sú lineárne nezávislé. Počet rovníc bude teda rovný počtu
nezávislých slučiek.

Postup pri metóde slučkových prúdov.

1. V sieti nájdeme pravý strom a vyznačíme sústavu nezávislých slučiek (S

1, S2 a S3). Každej nezávislej slučke

priradíme fiktívny slučkový prúd, ktorý ňou cirkuluje (I

S1, IS2, IS3). Smer týchto prúdov je ľubovoľný.

R

1

R

4

U

Z2

U

3

I

6

I

5

R

5

R

6

I

Z3

U

Z5

I

4

I

2

I

1

I

S3

I

S2

I

S1

Q

1

Q

2

Q

3

6-29

6.6. Metóda slučkových prúdov (2/4)

R1

R4

R5

R6

IZ3

UZ2

U3

UZ5

I6

I4

I2

I1

S3

S2

S1

Q1

Q2

Q3

(IS1)

(IS2)

(IS3)

2. Vyjadríme prúdy úsekmi pomocou slučkových prúdov (napíšeme incidenčné rovnice). V úsekoch, ktoré patria

k jednej slučke (tetivy), sú úsekové prúdy totožné so slučkovými prúdmi. V úsekoch, ktoré patria viacerým
nezávislým slučkám (vetvy stromu), sú dané úsekové prúdy súčtom tých slučkových prúdov, ktorých slučiek
je daný úsek súčasťou (s ktorými inciduje). Znamienka v rovniciach závisia od vzájomnej orientácie prúdu
úsekom a slučkového prúdu. Takéto rovnice sa nazývajú incidenčné.

3

1

1

S

S

I

I

I







2

1

2

S

S

I

I

I





1

3

S

Z

I

I



2

4

S

I

I



3

5

S

I

I



3

2

6

S

S

I

I

I





Poznámka: Incidenčné vzťahy pre prúdy vetvami sú zhodné s rovnicami 1. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé rezy.

2. Napíšeme rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre nezávislé slučky. Napätia na rezistoroch vyjadríme pomocou

Ohmovho zákona.

0

.

1

1

2

3









I

R

U

U

Z

S

1.

0

.

1

1

2

3









I

R

U

U

Z

S

2.

0

.

.

.

1

1

6

6

5

5

5











I

R

I

R

I

R

U

Z

S

3.

6-30

6.6. Metóda slučkových prúdov (3/4)

3. Do rovníc S

1, S2, S3 dosadíme za prúdy z incidenčných rovníc.

Vznikla tak sústava rovníc s neznámymi dvoch typov

R1.IS1

+R1.IS3 –U3 = UZ2

+(R4+R6).IS2

–R6.IS3

= –UZ2

R1.IS1

–R6.IS2

+(R1+R5+R6).IS3

= UZ5

S

1.

S

2.

S

3.

S

4.

3

1

Z

S

I

I



Na prvý pohľad sme dostali sústavu 4 rovníc o 4 neznámych, avšak zdroj prúdu I

Z3 sa nachádza iba v slučke S1. Znamená

to, že napätie U

3 sa nachádza len v prvej rovnici, ktorú môžeme v prvom kroku dať nabok a riešiť zvyšok sústavy. Taktiež

vylúčenie neznámej I

S1 dosadením IS1 = IZ3 do zvyšných rovníc je triviálny krok. Ostávajú teda rovnice pre slučky S2 a S3 s

neznámymi slučkovými prúdmi I

S2 a IS3.

(R4+R6).IS2

–R6.IS3 = –UZ2

–R6.IS3

+(R1+R5+R6).IS3 = –IZ3.R1+UZ5

S

2.

S

3.

• slučkové prúdy (I

S1, IS2, IS3)

• napätia na zdrojoch prúdu (U

3)

Dostali sme 3 rovnice o 4 neznámych. Akoby „navyše“ vystupovala v rovniciach neznáma U

3 – napätie na zdroji prúdu.

Voľbou nezávislých slučiek sme si však zabezpečili, že takýto zdroj je v tetive a preteká ním práve jeden slučkový prúd,
ktorého hodnota je takto jednou incidenčnou rovnicou priamo určená. K sústave teda pridáme túto incidenčnú rovnicu.

6-31

6.6. Metóda slučkových prúdov (4/4)

Riešením rovníc S

2 a S3 dostaneme IS2 = 0,75A, IS3 = 0,25A, IS1 = IZ3 = 0,5A.

A

75

,

0

3

1

1











S

S

I

I

I

A

25

,

1

2

1

2







S

S

I

I

I

A

75

,

0

2

4





S

I

I

A

25

,

0

3

5





S

I

I

A

5

,

0

3

2

6







S

S

I

I

I

Tým je úloha vyriešená.



Poznámka: Pri rovinných sieťach je možné vynechať hľadanie nezávislých slučiek a slučkové prúdy viesť okami siete. Oko

siete je slučka, ktorej vnútrom neprechádza žiaden úsek. Oká siete tvoria výhodný systém, pretože jednotlivé
úseky siete sú obsiahnuté v minimálnom počte slučiek, pre ktoré píšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona.

(I

S1)

(I

S2)

(I

S3)

(I

S4)

(I

S5)

(I

S6)

• Ostatné prúdy vypočítame pomocou incidenčných rovníc.

• Dosadením do rovnice S

1 vypočítame U3 = 2,5V.

V

5

,

2

.

.

2

3

3

1

1

3









Z

S

S

U

I

R

I

R

U

6-32

6.6.1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (1/3)

Výhodou metódy slučkových prúdov je, že sa dajú sformulovať pravidlá, pomocou ktorých pri troche skúsenosti dokážeme
napísať výslednú sústavu podmienečných rovníc priamo, bez zdĺhavého odvodzovania.

1. V obvode nájdeme systém nezávislých slučiek a zavedieme slučkové prúdy (prípadne ich zavedieme

jednoducho okami siete, viď vyššie). Slučkové prúdy však musia byť zavedené tak, aby každým zdrojom
prúdu tiekol práve jeden slučkový prúd!

Rýchly postup pri metóde slučkových prúdov.

2. Pre slučky, ktoré neobsahujú zdroje prúdu, napíšeme podmienečné rovnice. Sú to vlastne rovnice 2.

Kirchhoffovho zákona, v ktorých vystupujú priamo slučkové prúdy. Nech má sieť N slučiek (nezávislé slučky
alebo oká siete) a teda N slučkových prúdov I

S1 až ISN. Pre slučku i bude mať rovnica tvar

ii

SN

iN

Si

ii

S

i

S

i

U

I

r

I

r

I

r

I

r















.

.

.

.

2

2

1

1





R

1

R

4

U

Z2

U

3

I

6

I

5

R

5

R

6

I

Z3

U

Z5

I

4

I

2

I

1

I

S3

I

S2

I

S1

Aby ostali zrejmé súvislosti, zaviedli sme slučkové
prúdy rovnako, ako v predošlom prípade. Nie je to
však pravidlo. Slučkové prúdy môžeme viesť
napríklad okami siete.

6-33

6.6.1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (2/3)

r

ik –

vzájomný odpor. Je daný odporom úsekov, ktoré sú spoločné i ‑ tej a k – tej slučke (so slučkovými prúdmi I

si a Isk).

Uvažujeme r

ik > 0, ak sú vzhľadom na uvažovaný úsek zmysly prúdov Isi a Isk vzájomne súhlasné, rik < 0 ak

nesúhlasné. Všeobecne platí r

ik = rki. Odpor zdroja napätia uvažujeme nulový. Ak slučky i a k nemajú spoločný úsek,

príslušný člen v rovnici chýba (akoby r

ik = 0).

ii

SN

iN

Si

ii

S

i

S

i

U

I

r

I

r

I

r

I

r















.

.

.

.

2

2

1

1





V našom prípade píšeme rovnice pre slučky S

2 a S3.

S

2

0.IS1

+(R4+R6).IS2

–R6.IS3 = –UZ2

R1.IS1

–R6.IS3 +(R1+R5+R6).IS3 = UZ5

S

1

Vznikla sústava 2 rovníc o 3 neznámych. Akoby „zodpovednou“ za to bola slučka S

1, pre ktorú sme nepísali rovnicu, lebo

obsahuje zdroj prúdu. Každým zdrojom prúdu ale preteká len jeden slučkový prúd, teda prúd I

S1 je priamo určený rovnicou

I

S1 = IZ3. Za IS1 teda môžeme dosadiť do rovníc pre slučky S2 a S3.

S

2.

S

3.

(R4+R6).IS2

–R6.IS3 = –UZ2

–R6.IS2 +(R1+R5+R6).IS3 = UZ5 – R1.IZ3

r

ii –

súčet odporov v i – tej slučke. Vždy bude r

ii > 0.

U

ii – súčet napätí zdrojov napätia (vnútených napätí) v i – tej slučke, pričom kladný zmysel napätia Uii bude totožný s

orientáciou slučkového prúdu.

6-34

6.6.1. Metóda slučkových prúdov (rýchly postup) (3/3)

Riešením rovníc S

2 a S3 dostaneme IS2 = 0,75A, IS3 = 0,25A, IS1 = IZ3 = 0,5A. Ostatné prúdy vypočítame pomocou

incidenčných rovníc.

A

75

,

0

3

1

1











S

S

I

I

I

A

25

,

1

2

1

2







S

S

I

I

I

A

75

,

0

2

4





S

I

I

A

25

,

0

3

5





S

I

I

A

5

,

0

3

2

6







S

S

I

I

I

Tým je úloha vyriešená.



Napätie U

3 vypočítame z rovnice 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S1.

0

.

1

1

2

3









I

R

U

U

Z

V

5

,

2

.

1

1

2

3







I

R

U

U

Z