8. Elektrické obvody s nelineárnymi prvkami

• Definícia a základné typy nelineárnych obvodových prvkov
• Veličiny charakterizujúce nelineárny rezistívny prvok a ich

vzťah ku voltampérovej (VA) charakteristike - statický
odpor, diferenciálny odpor

• Metódy riešenia obvodov s nelineárnymi rezistívnymi

prvkami

8-2

8.1. Definícia a základné typy nelineárnych prvkov

Pod pojmom nelineárny obvodový prvok rozumieme taký prvok elektrického obvodu, u
ktorého jeho charakteristická (určujúca) veličina (odpor R, indukčnosť L, kapacita C a pod.) nie
je konštantná, ale závisí od hodnoty obvodových veličín – napätí, resp. prúdov.

Medzi základné typy nelineárnych prvkov patrí napr.:

• nelineárny rezistor r

• nelineárny kapacitor c

• nelineárny induktor l

r

u

r(t)

i

r(t)

V nasledujúcich častiach sa zameriame iba na obvody s konštantnými veličinami (v

stacionárnom ustálenom stave), v ktorých sa uplatnia iba nelineárne rezistory.

Typickým predstaviteľom je obyčajná
žiarovka – elektrický odpor kovov s
rastúcou teplotou rastie, následkom
čoho je odpor žeravého vlákna
(vyrobeného z wolfrámu) podstatne
vyšší, ako odpor vlákna v studenom
stave – závisí teda od napätia, resp.
prúdu, ktorý tečie cez vlákno.

l

i

l(t)

u

l(t)

c

i

c(t)

u

c(t)

Sem

patrí

napr.

cievka

s

feromagnetickým jadrom – v dôsledku
zložitých magnetických javov vo
feromagnetických

materiáloch

je

indukčnosť takejto cievky taktiež
závislá od prúdu tečúceho vinutím
cievky. V tomto prípade sa situácia
navyše komplikuje aj hysteréziou
magnetických vlastností (hysterézne
slučky).

Reprezentantom je kapacitná dióda -
varikap,

u

ktorej

je

kapacita

polovodičového PN priechodu výrazne
ovplyvnená napätím na PN priechode.
Praktické využitie je napr. v
rádiotechnike na ladenie rôznych
prijímačov a vysielačov, kde úplne
nahradila

klasické

otočné

kondenzátory.

8-3

8.1.1. Nelineárny rezistor

r

U

r

I

r

Nelineárny rezistor je prvok elektrického obvodu charakterizovaný

nelineárnou závislosťou napätia od prúdu (prúdu od napätia) -

voltampérovou (VA) charakteristikou. Je to dôsledok skutočnosti,

že ohmický odpor takéhoto prvku je funkciou napätia, resp. prúdu

tečúceho cez obvodový prvok.

VA-charakteristiky nelineárnych rezistorov môžu byť vzhľadom na

počiatok súradnicovej sústavy tvorenej napäťovou a prúdovou

osou

• symetrické (napr. žiarovka)

• nesymetrické (napr. polovodičová dióda).

Pokiaľ VA-charakteristika prechádza iba 1. a 3. kvadrantom

súradnicovej sústavy, nelineárny rezistor je pasívny prvok (t. j. nie

je schopný trvale dodávať energiu).

Ak VA-charakteristika prechádza aj 2. alebo 4. kvadrantom, jedná sa

o aktívny prvok (správa sa ako trvalý zdroj energie) - fotodióda.

8-4

8.2. Veličiny charakterizujúce nelineárny rezistívny prvok

Ako už bolo spomenuté, v prípade nelineárnch obvodových prvkov jediný konštantný

parameter nepostačuje na opis ich vlastností. V dôsledku nelinearity VA-charakteristiky podiel

napätia a prúdu nie je konštantný. Z toho dôvodu nelineárny rezistívny prvok nie je

jednoznačne definovaný jediným parametrom (odporom R), ale celou VA-charakteristikou.

V každom bode P voltampérovej charakteristiky nelineárnych rezistorov možno definovať dve

hodnoty odporu:

• statický odpor R

S (podiel napätia a prúdu v bode P)

• diferenciálny odpor r

dif (smernica dotyčnice k VA charakteristike v bode P)

Poznámky:

• statický odpor v prípade pasívnych nelineárnych prvkov môže nadobúdať len kladné

hodnoty, zatiaľ čo diferenciálny odpor môže byť kladný aj záporný (napr. v prípade

tunelovej diódy)

• u aktívnych nelineárnych prvkov môže byť aj

statický

odpor

záporný

(podiel napätia a prúdu v 2. a 4. kvadrante súradnicovej sústavy je záporný - fotodióda)

8-5

I r

U

r

P

0

8.2.1. Statický a diferenciálny odpor

P

r

P

r

I

I

U

U

r

r

S

I

U

R







,

 

P

r

P

r

P

r

P

r

r

I

I

U

U

r

r

r

I

I

U

U

r

r

I

dif

dI

I

dU

I

U

r

































,

,

0

lim

I

P

U

P



U

r

I

r

Bod P sa nazýva
aj pracovný bod

8-6

r

U

r

I

r

I

E

R

E

8.3. Metódy riešenia obvodov s nelineárnymi prvkami

Pri riešení elektrických obvodov s jedným nelineárnym prvkom

sa zvyčajne používa metóda náhradného aktívneho dvojpólu.

Postup pri tejto metóde možno zhrnúť do niekoľkých bodov:

1. úsek s nelineárnym rezistorom odčleníme od

pôvodného elektrického obvodu,

2. zvyšok obvodu (lineárnu časť) nahradíme:

a. ekvivalentným zdrojom napätia, ktorého parametre

určíme pomocou Thèveninovej teorémy

b. ekvivalentným zdrojom prúdu, ktorého parametre

určíme pomocou Nortonovej teorémy,

3. na svorky ekvivalentného náhradného aktívneho

dvojpólu pripojíme úsek s hľadanou obvodovou

veličinou.

Dostaneme tak jednoduchý elektrický obvod, v ktorom

pomocou Kirchhoffových zákonov a Ohmovho zákona určíme

hľadanú obvodovú veličinu.

r

U

r

I

r

U

E

R

E

Vnútorné napätie U

E reálneho zdroja

napätia určíme ako napätie naprázdno
medzi uzlami, do ktorých bol v
pôvodnom obvode pripojený úsek s
hľadanou veličinou.

Vnútorný prúd I

E reálneho zdroja prúdu

určíme ako prúd nakrátko, ktorý
preteká skratovacím ideálnym vodičom
pripojeným medzi uzly, do ktorých bol
v pôvodnom obvode pripojený úsek s
hľadanou veličinou.

Vnútorný odpor R

E reálnych zdrojov

napätia i prúdu určíme ako odpor
nahradzovanej

časti

elektrického

obvodu medzi uzlami, do ktorých bol v
pôvodnom obvode pripojený úsek s
hľadanou veličinou, pričom výstupné
veličiny

autonómnych

zdrojov

vynulujeme

(napäťové

zdroje

sú

nahradené

skratmi

a

prúdové

nekonečnými odpormi - úsek s
prúdovým

zdrojom

jednoducho

odpojíme).

Pre vyznačenú uzavretú
slučku

sformulujeme

pomocou II. Kirchhoffovho
zákona jedinú nelineárnu
rovnicu v tvare:

Vnútorný odpor R

E reálnych zdrojov

napätia i prúdu určíme ako odpor
nahradzovanej

časti

elektrického

obvodu medzi uzlami, do ktorých bol v
pôvodnom obvode pripojený úsek s
hľadanou veličinou, pričom výstupné
veličiny

autonómnych

zdrojov

vynulujeme

(napäťové

zdroje

sú

nahradené

skratmi

a

prúdové

nekonečnými odpormi - úsek s
prúdovým

zdrojom

jednoducho

odpojíme).

Pre

vyznačený

uzol

sformulujeme pomocou
I. Kirchhoffovho zákona
jedinú

nelineárnu

rovnicu v tvare:

0

E

E









R

I

U

U

r

r

0

E

E









r

r

I

R

U

I

U

r a Ir sú neznáme parametre nelineárneho prvku r, ktorých vzájomný vzťah je ale

daný VA-charakteristikou U

r = f1(Ir) (alebo Ir = f2(Ur)) - stačí teda určiť iba jeden z nich.

Po dosadení napr. za U

r vyjadrené pomocou Ir (alebo naopak) do jednej z rovníc

dostaneme jedinú rovnicu pre jedinú neznámu veličinu, ktorou je buď U

r alebo Ir.

Podľa toho, akým spôsobom je zadaná VA-charakteristika, získaná rovnica je buď

lineárna (ak sa linearizuje VA-charakteristika) alebo nelineárna (ak je VA-

charakteristika nahradená mocninovým polynómom, resp. nelineárnou analytickou

funkciou).

Spoločným atribútom u všetkých metód riešenia takejto rovnice je vlastne hľadanie

priesečníka VA-charakteristiky so zaťažovacou priamkou náhradného aktívneho

dvojpólu – pracovného bodu P.

8-7

Experimentálne určené VA-charakteristiky sa dajú

aproximovať nasledovnými spôsobmi:

1. náhrada dotyčnicou ku VA-charakteristike v

pracovnom bode (linearizácia pomocou diferenciáln
eho odporu),

2. náhrada lomenými čiarami (linearizácia po častiach

),

3. aproximácia mocninovým polynómom,

4. aproximácia analytickou funkciou.

8.3.1. Spôsoby aproximácie VA-charakteristík

8-8

Náhrada dotyčnicou ku VA-charakteristike

Táto metóda sa používa vtedy, ak vieme u

nelineárneho rezistora približne odhadnúť polohu

pracovného bodu a intervaly zmien napätia a prúdu.

Rovnica dotyčnice ku VA-charakteristike v pracovnom

bode P má tvar

I

r

U

U

dif 



 0

I r

U

r

U

0

Výhody:

jednoduchá náhrada, stačí riešiť lineárnu rovnicu.

Nevýhody:

v závislosti od tvaru VA-charakteristiky sa s rastúcou

vzdialenosťou od pracovného bodu zväčšujú rozdiely

medzi presnou charakteristikou a jej aproximáciou,

preto je vhodná iba na analýzu relatívne malých zmien

napätí a prúdov v blízkom okolí pracovného bodu.

U

0 je priesečník dotyčnice s

napäťovou

osou

(t.

j.

napätie pri nulovom prúde)

a smernica priamky je

určená

diferenciálnym

odporom r

dif v pracovnom

bode.

P

8-9

Náhrada lomenými čiarami (linearizácia po častiach)

Táto metóda sa používa vtedy, ak je požadovaná čo
najpresnejšia náhrada VA-charakteristiky v širokom
rozsahu napätí a prúdov, ale chceme sa vyhnúť
riešeniu nelineárnej rovnice.

I r

U

r

Výhody:

stačí riešiť lineárnu rovnicu, presnejšia náhrada VA-

charakteristiky, riešenie akceptovateľné v širšom

rozsahu zmien napätí a prúdov.

Nevýhody:

komplikovanejšia

náhrada

VA-charakteristiky,

je

potrebné určiť rovnice niekoľkých priamok v závislosti

od tvaru charakteristiky a polohy pracovného bodu.

8-10

Aproximácia mocninovým polynómom

Táto metóda sa používa vtedy, ak chceme získať čo
najpresnejšie možné riešenie. VA-charakteristika je
aproximovaná mocninovým polynómom stupňa n>1 v
tvaroch (ak n=1 ide vlastne o linearizáciu)

Výhody:

veľmi presné riešenie, nelineárna rovnica sa dá

vyriešiť analyticky (pre n<5) resp. jednoducho

numericky (hľadáme korene polynómu).

Nevýhody:

je potrebné riešiť nelineárnu rovnicu, koeficienty

polynómu musíme určiť regresiou z nameraných

bodov VA-charakteristiky (sústava n lineárnych rovníc

s n neznámymi koeficientami).





















n

0

n

n

1

0

...

k

k

r

k

r

r

r

I

a

I

a

I

a

a

U





















n

0

n

n

1

0

...

j

j

r

j

r

r

r

U

b

U

b

U

b

b

I

V prípade pasívneho nelineárneho

prvku

a

0=0

(VA-charakteristika

prechádza počiatkom súradnicovej

sústavy).

Ak

je

VA-charakteristika

symetrická, polynóm má len členy

s nepárnou mocninou I

r, resp. Ur.

8-11

Aproximácia analytickou funkciou

Táto metóda sa používa vtedy, ak chceme získať čo
najpresnejšie možné riešenie. Aproximácia sa dá
urobiť dvomi spôsobmi:

1. pomocou typicky zakrivených transcendentných

funkcií

(exponenciálne,

logaritmické,

hyperbolické, arctg a pod.),

2. funkciou vyplývajúcou z fyzikálnej teórie

opisujúcej vlastnosti nelineárneho prvku (napr. u
polovodičovej diódy teória PN-priechodu a pod.).

Výhody:

veľmi presné riešenie.

Nevýhody:

je potrebné riešiť nelineárnu rovnicu, ktorá sa v

mnohých prípadoch dá riešiť iba numericky.

8-12

Sériové spojenie nelineárnych prvkov

Ak chceme riešiť elektrický obvod, v ktorom sa
vyskytuje viac nelineárnych rezistorov, je možné nájsť
v závislosti od zapojenia výslednú VA-charakteristiku
ako súčet charakteristík jednotlivých prvkov.

Súčet je možné vykonať buď graficky alebo analyticky.

Takto získaný zjednodušený nelineárny obvod sa rieši
ako obvod s jediným nelineárnym prvkom.

I r

U

r

r

1

U

r1

I

r

r

2

U

r2

U

r

r

U

r

I

r

Zjednodušenie

spočíva

v

náhrade

niekoľkých

nelineárnych prvkov jediným prvkom s rovnakým

pracovným bodom P (U

r, Ir), aký má pôvodné zapojenie

nelineárnych prvkov vzhľadom na zvyšok obvodu.

V prípade sériového zapojenia sa výsledná VA-

charakteristika získa ako súčet napätí na jednotlivých

prvkoch pri danom prúde, ktorý je pre všetky prvky

spoločný.

U’

r1

r

r

r

U

U

U



 2

1

U’

r2

U’

r

U”

r1

U”

r2

U”

r

I”

r

I’

r

r

1

r

2

8-13

Paralelné spojenie nelineárnych prvkov

Je samozrejmé, že naznačený postup je použiteľný aj

pre lineárne obvody.

V prípade paralelného zapojenia sa výsledná VA-

charakteristika získa ako súčet prúdov tečúcich cez

jednotlivé prvky pri danom napätí, ktoré je pre všetky

prvky spoločné.

I r

U

r

r

r

r

I

I

I



 2

1

r

1

U

r

I

r1

r

2

I

r2

I

r

r

I

r

I’

r2

I’

r1

U’

r

I”

r2

I”

r1

U”

r

I”

r

I’

r

Z predchádzajúcich obrázkov (VA-charakteristiky) je

taktiež jasné, že v elektrických obvodoch obsahujúcich

nelineárne prvky NEPLATÍ PRINCÍP SUPERPOZÍCIE!!!

Dôkaz je jednoduchý: zdvojnásobeniu napätia (prúdu)

na nelineárnom prvku nemusí nutne zodpovedať

zdvojnásobenie prúdu (napätia) (pozri napr. VA-

charakteristiku znázornenú červenou farbou (r

1), kde

U”

r =2U’r ale I”r1 <2I’r1 ).

r

1

r

2

8-14

U

E

R

E

8.3.2. Grafická metóda

V prípade čisto grafickej metódy je okrem VA-
charakteristiky určená experimentálne aj zaťažovacia
priamka. Zaťažovacia priamka sa dá experimentálne
určiť veľmi jednoducho:

U

E

V

0

2

4

6

0

2

4

6

8

10

12

U

I

U

R

R

I

R

1. voltmetrom zmeriame napätie naprázdno U

E

medzi uzlami, do ktorých bol v pôvodnom

obvode pripojený úsek s hľadanou veličinou

2. medzi uzly pripojíme lineárny rezistor so známou

hodnotou R a zmeriame napätia na tomto

rezistore U

R (je to vlastne svorkové napätie

zaťaženého zdroja)

Takto sme určili dva body zaťažovacej priamky, ktorú

teraz možno zakresliť do toho istého grafu, ako

odmeranú VA-charakteristiku. Nakoniec

graficky

určíme súradnice priesečníka, čím získame hodnoty

U

r, resp. Ir v pracovnom bode.

U

E

U

R

I

R

R

U

I

R

R 

U

r

I

r

Použitie takto definovanej čisto grafickej metódy samo osebe nemá veľký praktický

význam, nakoľko je jednoduchšie určiť experimentálne priamo napätie U

r, resp. prúd

I

r v pracovnom bode. V praxi sa preto častejšie využívajú kombinované metódy, kedy je

zaťažovacia priamka určená výpočtom pomocou metódy náhradného aktívneho

dvojpólu.

Experimentálne určenie prúdu nakrátko je problematické nakoľko ampérmetre majú

nenulový vnútorný odpor, ktorý spôsobuje chybu merania (pripočítava sa ku

vnútornému odporu R

E). Preto sa zaťažovacia priamka experimentálne určuje

presnejšie postupom uvedeným v opise čisto grafickej metódy.

8-15

8.3.3. Analytické metódy

Analytické metódy sú založené na analytickom riešení

jednej z rovníc odvodených v časti 8.3.

Podľa toho, akým spôsobom je aproximovaná VA-

charakteristika nelineárneho prvku, riešenie rovnice

môže byť relatívne jednoduché (niekedy stačí vyriešiť

lineárnu rovnicu), ale v mnohých prípadoch dostávame

takú nelineárnu rovnicu, ktorá sa dá riešiť iba

numerickými metódami.

r

U

r

I

r

U

E

R

E

Rovnica VA-charakteristiky:

V

10

2

E

E







U

R

2

0,1 r

r

U

I





Príklad:
V obvode s nelineárnym prvkom na obrázku je dané:

0

E

E









R

I

U

U

r

r

II. Kirchoffov zákon pre
vyznačenú slučku:

Riešenie:
Do rovnice získanej aplikáciou II.
Kirchhoffovho zákona dosadíme za I

r

vzťah pre VA-charakteristiku.

Dostaneme tak kvadratickú rovnicu s
neznámym napätím U

r v tvare

0

0,1

E

2

E











R

U

U

U

r

r

Po dosadení číselných hodnôt a
vyriešení

získame

dva

korene

kvadratickej rovnice U

r1 a Ur2:

V

10

V

5

2

1







r

r

U

U

Z

matematického

hľadiska

sú

správne

obidve

riešenia,

ale

problémom je skutočnosť, že pri
jednej hodnote prúdu nemôžu byť na
obvodovom prvku súčasne dve
napätia.
Fyzikálne správne je teda iba jedno
riešenie – kladné.

Záporná hodnota znamená,
že smer napätia je opačný,
ako bolo predpokladané - v
tom prípade by sme ale
pomocou II. Kirchhoffovho
zákona dostali inú rovnicu.

Nakoniec dosadíme U

r1 do rovnice

VA-charakteristiky a vypočítame tak
druhú súradnicu pracovného bodu -
prúd I

r1:

A

2,5

1 

r

I

8-16

Analytické riešenie – pokračovanie:







2

1

1

r

r

S

I

U

R

Ak chceme vypočítať aj diferenciálny
odpor r

dif musíme najskôr z rovnice VA-

charakteristiky

vyjadriť

napätie

ako

funkciu prúdu (hľadáme inverznú funkciu).
Po úprave dostaneme:

Tento výraz zderivujeme podľa prúdu a
dostávame tak všeobecný vzťah pre
diferenciálny odpor r

dif ako funkciu prúdu Ir:

r

r

I

U



 10

 

 

r

r

r

r

r

dif

I

dI

I

dU

I

r

10

2

1







Diferenciálny odpor v pracovnom bode r

dif

vypočítame tak, že dosadíme za premennú
veličinu I

r jej hodnotu v pracovnom bode –

I

r1. Výsledok je:

  



1

1

r

dif I

r

Statický odpor R

S určíme ako podiel

napätia a prúdu v pracovnom bode:

Iná možnosť je určenie
diferenciálnej vodivosti,

z ktorej potom diferenciálny
odpor vypočítame ako jej
prevrátenú hodnotu. Vtedy
netreba hľadať inverznú
funkciu.

 

 

r

r

r

r

dif

dU

U

dI

U

g



8-17

E

E

R

I

U

U

r

r







8.3.4. Numerické metódy (iterácia)

Numerické metódy sú založené na postupnom

spresňovaní (tzv. iterácii) hodnôt napätia U

r (prúdu Ir)

nelineárneho prvku v jednej z rovníc odvodených v
časti 8.3.

Numerické riešenie je samozrejme možné použiť ako
alternatívu vždy, teda aj vtedy, keď sa rovnice dajú
riešiť aj iným spôsobom (analyticky).



































1

exp

T

k

U

e

I

I

r

s

r

r

U

r

I

r

U

E

R

E

V

8

1,5

E

E







U

R

Príklad:
V obvode s polovodičovou diódou na obrázku je dané:

.....

2,

1,

0,

1

exp

E

E

1













































n

R

T

k

U

e

I

U

U

n

r

s

n

r

pre

Riešenie:
Z rovnice získanej aplikáciou II.
Kirchhoffovho zákona vyjadríme U

r:

Rovnica VA-charakteristiky:

0

E

E









R

I

U

U

r

r

II. Kirchoffov zákon pre
vyznačenú slučku:

Vo výraze pre napätie U

r nahradíme

prúd I

r pravou stranou rovnice VA

charakteristiky.
Dostaneme tak tzv. rekurentný vzťah
pre napätie U

r v tvare

Rovnica vyplýva z fyzikálnej teórie PN-priechodu
v polovodiči. Význam jednotlivých parametrov aj
s číselnými hodnotami je nasledovný:
I

s = 1x10

-14

A

(saturačný prúd)

e = 1,6021x10-19 C

(elementárny náboj)

k = 1,3806x10-23 J/K (Boltzmannova konštanta)
T = 293,15 K

(absolútna teplota)

Proces iterácie prebieha tak, že
zvolíme ľubovoľnú tzv. štartovaciu
hodnotu napätia U

r (pre n = 0)

E

0

;

0 U

Ur 

Voľba inej štartovacej hodnoty,
ako z uvedeného intervalu,
nemá

praktický

význam,

nakoľko v danom obvode
napätie

nikdy

neprekročí

hodnotu napätia naprázdno (U

E)

a nikdy nezmení znamienko.
Je síce možná aj iná voľba, čo
ale môže spomaliť postup
konvergencie, alebo dokonca
spôsobiť, že proces iterácie
bude divergovať.

Zvolenú

štartovaciu

hodnotu

dosadíme

do

pravej

strany

rekurentného vzťahu a vypočítame
novú (spresnenú) hodnotu napätia.

1

r

U

8-18

Numerické riešenie – pokračovanie:

Takto určenú spresnenú hodnotu opäť
dosadíme do pravej strany rekurentného
vzťahu a celý postup opakujeme dovtedy,
kým rozdiel medzi starou a novou
hodnotou nebude menší, ako požadovaná
presnosť (napr. 1% novej hodnoty).
V tabuľke sú uvedené hodnoty napätia
vypočítané viacnásobným opakovaním
procesu iterácie (n - krok iterácie):

n

U

rn

0

0

1

8

2

-5,133

10123

3

8

4

-5,133

10123

Z tabuľky je zrejmé, že proces iterácie
diverguje (hodnota napätia pre n = 2
neleží medzi predchádzajúcimi dvomi
hodnotami,

má

dokonca

záporné

znamienko). Znamená to, že ani po
nekonečne

veľa

krokoch

by

sme

nedospeli ku výsledku.

E

E

R

U

U

I

r

r





.....

2,

1,

0,

ln

E

E

1





































n

I

I

R

U

U

e

T

k

U

s

s

n

r

n

r

pre

Znovu tak dostaneme rekurentný vzťah pre
napätie U

r tentoraz ako

V prípade, že proces iterácie diverguje,
postupujeme nasledovne:
Z rovnice VA-charakteristiky vyjadríme
napätie U

r v tvare (nájdeme inverznú

funkciu)











 





s

s

r

r

I

I

I

e

T

k

U

ln

Z

rovnice

získanej

aplikáciou

II.

Kirchhoffovho zákona vyjadríme I

r:

Vo výraze pre napätie U

r opäť nahradíme

prúd I

r pravou stranou rovnice.

Ďalší postup pri iteráciách je taký istý, ako
v predchádzajúcom prípade.

8-19

Numerické riešenie – pokračovanie:

Výsledok procesu iterácie je uvedený v
nasledovnej tabuľke:

n

U

rn

0

0

1

0,85662981

2

0,85376874

3

0,85377886

4

0,85377882

Z tabuľky je zrejmé, že na rozdiel od
predchádzajúceho

prípadu

proces

iterácie

konverguje

veľmi

rýchlo,

výsledky sa po 4. kroku zhodujú na 8
platných číslic.
Z

hodnoty

napätia

získanej

po

dostatočnom počte iteračných krokov
nakoniec

určíme

hodnot

prúdu

v

pracovnom bode.

A

4,76414745

V

0,85377882





r

r

I

U

Výhodou iteračnej metódy je možnosť
využitia programovateľných kalkulačiek.
Dôležitou

je

otázka

konvergencie

iteračného postupu. Dá sa ukázať
jednoznačná

súvislosť

medzi

konvergenciou

a

pomerom

ekvivalentného

odporu

R

E

ku

diferenciálnemu odporu v pracovnom
bode (R

E/rdif) vo vzťahu ku tvaru VA-

charakteristiky (či je konkávna alebo
konvexná), ale tento poznatok je v praxi
nepoužiteľný – nepoznáme pracovný bod
(veď ho ešte len ideme vypočítať) a teda
ani diferenciálny odpor.
Preto v praxi volíme vždy tú možnosť,
ktorú považujeme za jednoduchšiu a iba
ak postup diverguje, využijeme druhý
spôsob (pomocou inverznej funkcie).
Niekedy ale inverznú funkciu nevieme
nájsť a vtedy musíme použiť iné metódy
riešenia

nelineárnych

rovníc

(napr.

metóda bisekcie, Newton-Raphsonova
metóda, Brentova metóda a pod.)
Opis spomenutých metód ale presahuje
rámec tohoto predmetu.

To, či proces iterácie konverguje, je
zrejmé už po druhom kroku - ak tretia
hodnota leží medzi prvými dvomi,
môžeme pokračovať (je splnená nutná
podmienka konvergencie). Vtedy je
potrebné

overiť

aj

postačujúcu

podmienku konvergencie – t. j. aby sa
s rastúcim počtom krokov zmenšoval
rozdiel

medzi

dvomi

po

sebe

nasledujúcimi hodnotami (ak sa rozdiel
nezmenšuje, hodnoty oscilujú okolo
riešenia, ale nekonvergujú).

Podobne sa dajú odvodiť aj rekurentné
vzťahy pre prúd I

r.

8-20

8.3.5. Kombinované metódy (graficko - počtárske)

Kombinované metódy sa v praxi využívajú veľmi často z dôvodu relatívnej jednoduchosti a
dostatočnej presnosti.

Pracovný bod sa určí graficky, pričom na rozdiel od čisto grafickej metódy je zaťažovacia
priamka určená výpočtom pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu (najjednoduchšie

ako dva body – napätie naprázdno U

E a prúd nakrátko Ik= UE /RE.

8-21

Záver

V praxi sa veľmi často vyskytuje opačný problém – poznáme pracovný bod nelineárneho prvku

a úlohou je návrh (syntéza) elektrického obvodu, ktorý má zabezpečiť nastavenie pracovných

podmienok tak, aby nelineárny prvok pracoval v požadovanom režime.

Príkladom môže byť návrh jednoduchého stabilizátora napätia so Zenerovou diódou, alebo

návrh jednostupňového tranzistorového zosilňovača pre striedavé napätia.

V tejto kapitole sa pozornosť sústredila na riešenie elektrických obvodov s nelineárnymi

rezistívnymi prvkami pomocou metódy náhradného aktívneho dvojpólu.

Okrem toho je ale možné použiť aj iné metódy známe z riešenia lineárnych obvodov, čo ale

vedie na riešenie sústav rovníc, v ktorých je aspoň jedna rovnica nelineárna.