7. Princíp náhradného aktívneho dvojpólu

• Úvod
• Thčveninova veta
• Nortonova veta
• Príklady použitia: príklad 1, príklad 2
• Náhradný aktívny dvojpól: dôkaz

7-2

Pri výpočte pomerov len v jednom úseku elektrického obvodu je výhodné zvyšok obvodu nahradiť čo
najjednoduchším zapojením. Dá sa ukázať, že toto (nahradzujúce) zapojenie môžeme zredukovať na
technický zdroj napätia, resp. prúdu. V riešenom úseku potom jednoducho vypočítame prúd, resp. napätie.

Pri metódach založených na postupnom zjednodušovaní obvodu sme už ukázali, že pomocou spájania
dvojpólových skupín, transfiguráciou, vzájomnou zámenou ekvivalentných technických zdrojov, resp.
vkladaním či presúvaním zdrojov je naozaj možné zjednodušenie pôvodnej schémy na schému (a) resp (b).
Takýto postup je však relatívne zdĺhavý. V tejto kapitole sa preto budeme zaoberať tým, ako nájdeme
parametre náhradného zapojenia (t.j. hodnotu napätia U

N , resp. prúdu IN náhradného zdroja a hodnotu

rezistora R

N) jednoduchšie, a síce pomocou Thčveninovej, resp. Nortonovej vety. Najprv tieto vety

uvedieme a ukážeme spôsob ich použitia, na konci tejto kapitoly potom uvedieme aj ich dôkaz.

R

I

1

2

U

N

R

N

(a)

1

2

I

N

R

N

R

I

(b)

Zvyšok obvodu (okrem vyšetrovaného úseku) nahrádzame dvojpólom s aktívnym prvkom (zdrojom).

7.1. Úvod

1

2

R

I = ?

7-3

Thčveninova veta: Časť elektrického obvodu, ktorá obsahuje rezistory a nezávislé zdroje, vyvedenú k
dvom svorkám 1-2, možno nahradiť sériovým zapojením ideálneho zdroja napätia U

N a rezistora RN,

pričom napätie U

N je rovné napätiu naprázdno medzi svorkami 1-2 a odpor rezistora RN je rovný odporu

medzi svorkami 1-2 po vynulovaní všetkých nezávislých zdrojov.

2. Napätie U

N určíme ako napätie naprázdno medzi uzlami 1-2 (porovnajte s orientáciou napätia UN

vzhľadom na svorky 1-2 v náhradnej schéme)

3. Vynulujeme všetky nezávislé (autonómne) zdroje.

4. Hodnotu odporu náhradného rezistora R

N vypočítame ako odpor medzi uzlami 1-2.

Pozn. Ak nahradzovaný obvod obsahuje riadené (neautonómne) zdroje, ktoré nemožno vynulovať, na
výpočet hodnoty rezistora R

N je nutné použiť iný spôsob.

Príklad postupu pri riešení

1. „Odstránime“ vyšetrovaný úsek obvodu

7.2. Thčveninova veta

1

2

R

I = ?

R

I

1

2

U

N

R

N

1

2

U

N

1

R

N

7-4

1

2

R

I = ?

1

I

N

7.3. Nortonova veta

Nortonova veta: Časť elektrického obvodu vyvedenú k dvom svorkám 1-2 možno nahradiť paralelným
zapojením ideálneho zdroja napätia I

N a rezistora RN, pričom prúd IN je rovný prúdu nakrátko medzi

svorkami 1-2 a odpor rezistora R

N je rovný odporu medzi svorkami 1-2 po vynulovaní všetkých

nezávislých zdrojov.

2. Prúd I

N určíme ako prúd nakrátko medzi uzlami 1-2 (porovnajte s orientáciou prúdu IN vzhľadom na

svorky 1-2 v náhradnej schéme)

3. Vynulujeme všetky nezávislé (autonómne) zdroje.

4. Hodnotu odporu náhradného rezistora R

N vypočítame ako odpor medzi uzlami 1-2.

Pozn. Ak nahradzovaný obvod obsahuje riadené (neautonómne) zdroje, ktoré nemožno vynulovať, na
výpočet hodnoty rezistora R

N je nutné použiť iný spôsob.

Príklad postupu pri riešení

1. „Odstránime“ vyšetrovaný úsek obvodu

1

2

R

N

1

2

I

N

R

N

R

I

7-5

Hodnotu odporu rezistora R

N (vnútorného odporu náhradného aktívneho dvojpólu) možno vypočítať

všeobecne ako podiel napätia U

N (napätia naprázdno) a prúdu IN (prúdu nakrátko) výstupných svoriek

nahradzovaného obvodu. Tento spôsob výpočtu sa dá použiť aj v prípade, keď nahradzovaný obvod
obsahuje riadené zdroje.

Pozn. Pri experimentálnom určovaní tohto odporu je teda možné postupovať tak, že odmeriame napätie
naprázdno a prúd nakrátko výstupných svoriek (samozrejme, iba ak obvod obsahuje aktívne prvky - zdroje).

N

N

N

I

U

R



U

N

1)

I

N

2)

7.4. Všeobecný spôsob určenia R

N

7-6

Napätie naprázdno počítame
vždy pomocou II. KZ z vhodne
zvolenej slučky (snažíme sa nájsť
slučku s čo najväčším počtom
známych napätí)

5



2



5



2



8V

6V

0,5A

Náhradný aktívny dvojpól – príklad 1

I = ?

Použitím princípu náhradného aktívneho dvojpólu vypočítajte prúd I.

?

Thčveninova veta

5



U

N

R

N

I = ?

1. Výpočet U

N

5



2



5



2



8V

6V

0,5A

5



2



2



8V

0,5A

U

N = ?

U

N = 5V

0

2

5

,

0

6

N









U

5V

U

N

R

N

I

5V

5



2



2



R

N = ?

R

N = 2

2. Výpočet R

N

2



Výsledok pre prúd I je:

A

7

5



I

Nortonova veta

1. Výpočet I

N

5



I

N

R

N

I = ?

5



2



2



8V

6V

0,5A

I

N = ?

Prúd nakrátko počítame vždy
pomocou I. KZ pre vhodne
zvolený uzol.

3A

0

3

5

,

0

N









I

I

N = 2,5A

2,5A

2. Výpočet R

N

Tým istým spôsobom, ako pri
Thčveninovej vete dostaneme:

R

N = 2

2



Výsledok pre prúd I je:

A

7

5

5

,

0

2

,

0

2

,

0

5

,

2







I

5



2



5



2



8V

6V

0,5A

I = ?

Prečo sa táto časť obvodu nijako
neprejavila pri výpočte prúdu I?

7-7

(všimnite si znamienka použité
pri výpočte U

1, U2)

Náhradný aktívny dvojpól – príklad 2

Použitím princípu náhradného aktívneho dvojpólu vypočítajte napätie U.

?

6



10V

6



8



12



0,1A

U = ?

Ukážeme len riešenie Thčveninovou vetou.

a

b

U = ?

Pre náhradný obvod platí:

0

1

,

0

N

N









R

U

U

odkiaľ pre napätie U:

1. Výpočet U

N

6



10V

6



8



12



a

b

U

N

U

1

U

2

Pre napätie U

N zrejme platí:

2

1

N

U

U

U





Pričom pre napätia U

1 a U2 z poučky o delení

napätí dostaneme:

V

5

6

6

6

V

10

1















U

V

6

8

2

1

2

1

V

10

2



















U

Napätie U

N

U

N

R

N

a

b

0,1A

2. Výpočet R

N

6



6



8



12



a

b

R

N

Pre R

N platí:

















8

,

7

8

12

8

12

6

6

6

6

N

R

Odpor R

N

Výsledok pre napätie U:

Na tomto príklade sme okrem iného chceli
poukázať na nutnosť dôsledného písania rovníc.
„Znamienkové“ chyby sú totiž jednou z
najčastejších príčin nesprávneho výsledku.

7-8

1

2

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (1/4)

Predpokladajme, že máme určiť prúd v úseku s rezistorom R, ktorý je pripojený medzi svorky 1–2 obvodu
obsahujúceho rezistory a zdroje napätia a prúdu (zdroje môžu byť nezávislé aj riadené).

R

Prúd I vypočítame pomocou metódy slučkových prúdov (úplne
identický postup dôkazu vyplýva aj z metódy uzlových napätí), z ktorej
dostaneme sústavu rovníc pre N neznámych slučkových prúdov I

s:

I = ?











































































 

N

N

NN

N

N

N

N

U

U

U

I

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

s

2

s

1

s

s

2

s

1

s

2

1

2

22

21

1

12

11



















I

s1

I

s2

I

sN

V rovniciach (1) na ľavej strane označuje R

nn súčet odporov v slučke n (okrem slučky 1, kde je R11 súčet

odporov bez odporu R – ten uvažujeme samostatne) a R

nk je súčet odporov spoločných pre slučku n a

slučku k. Na pravej strane je U

sn súčet známych (pôsobiacich) napätí v slučke n (buď napätia ideálnych

napäťových zdrojov U

z alebo napätia typu RIz, ak sú v obvode ideálne prúdové zdroje s prúdom Iz).

Prúd I (ktorý je v našom prípade rovný slučkovému prúdu I

s1) vypočítame:

D

D

I

1



pričom pre determinanty D

1 a D platí:

NN

N

N

N

N

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

D















2

1

2

22

21

1

12

11





NN

N

N

N

N

R

R

U

R

R

U

R

R

U

D















2

s

2

22

1

s

1

12

1

s

1 

... pokračovanie

(1)

(2)

(3)

7-9

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (2/4)

11

0

2

2

22

1

12

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

22

21

1

12

11

0

0

D

R

D

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

D

NN

N

N

N

NN

N

N

N

N

NN

N

N

N

N

























































Podľa pravidiel o operáciách s determinantami matíc môžeme D upraviť nasledovne:

odkiaľ:

R

D

D

D

D

D

R

D

D

D

D

I













11

0

11

1

11

0

1

1

D

0 je číslo s rozmerom 

N

, D

1 má rozmer V

N

1

a D

11 rozmer 

N

1

. Môžeme preto zaviesť veličiny:

]

[

[V]

11

0

N

11

1

N







D

D

R

D

D

U

Po použití tohto označenia vo vzťahu (5) pre prúd I nakoniec dostaneme:

resp.

... pokračovanie

D

11 označuje

subdeterminant

Vidíme, že všeobecne (bez potreby poznať vnútornú štruktúru obvodu) môžeme prúd v jednom úseku
tohto obvodu vypočítať pomocou poučky o delení napätia resp. prúdu.

(4)

(5)

(6)

(7)

7-10

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (3/4)

• Napätie U

N je rovné napätiu na R, ak R  , čiže napätiu naprázdno medzi svorkami 1-2

pôvodného obvodu.

R

I

1

2

U

N

R

N

1

2

I

N

R

N

R

I

• Prúd I

N je rovný prúdu cez R, ak R  0, čiže prúdu nakrátko medzi svorkami 1-2 pôvodného

obvodu.

• Odpor R

N je rovný podielu UN a IN.

Na základe týchto náhradných schém môžeme pre hodnoty U

N, IN a RN tvrdiť:

1

2

R

I = ?

Odvodené výsledné vzťahy pre výpočet prúdu I zodpovedajú Thčveninovej, resp. Nortonovej náhradnej
schéme:

Thčvenin

Norton

... pokračovanie

7-11

7.5. Náhradný aktívny dvojpól – dôkaz (4/4)

1

2

Na záver ukážeme, že ak nahradzovaný obvod obsahuje iba nezávislé zdroje hodnotu odporu R

N môžeme

vypočítať aj inak (jednoduchšie), ako podielom U

N a IN.

Predpokladajme, že v nahradzovanom obvode vynulujeme všetky nezávislé
zdroje. Odpor R

12 medzi svorkami 1-2 vypočítame tak, že medzi tieto svorky

vložíme zdroj napätia U

z a vypočítame prúd I.

U

z

I = ?

I

s1

I

s2

I

sN

Pre odpor R

12 zrejme platí:

I

U

R

z

12 

Použijeme metódu slučkových prúdov:













































































0

0

z

s

2

s

1

s

2

1

2

22

21

1

12

11



















U

I

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

R

N

NN

N

N

N

N

Na pravej strane sú v tomto prípade vo všetkých slučkách (okrem prvej slučky)
pôsobiace napätia nulové (všetky U

za Iz sú nulové).

Odpor R

N sme zaviedli ako:

11

0

N

D

D

R



kde D

0 a D11 sú determinanty:

NN

N

N

N

N

R

R

R

R

R

R

R

R

R

D















2

1

2

22

21

1

12

11

0 

NN

N

N

N

N

R

R

R

R

R

R

R

R

R

D















3

2

3

33

32

2

23

22

11 

Zopakovanie

Pre prúd I dostaneme:

0

11

z

1

1

s

D

D

U

D

D

I

I









kde D

0 a D11 označujú

tie isté determinanty
ako pri výpočte R

N.

Odpor R

12 je preto rovný:

Vnútorný odpor R

N pri Thčveninovej alebo

Nortonovej náhrade je rovný odporu medzi
výstupnými svorkami nahradzovaného obvodu,
ak sú v tomto obvode vynulované všetky
nezávislé zdroje a obvod neobsahuje iné
(riadené) zdroje.