5. Elektrické obvody v ustálenom stacionárnom

stave

• Typy časových priebehov
• Ustálený stacionárny stav – definícia
• Lineárne elektrické obvody v stacionárnom stave
• Náhrady dvojpólových skupín (sériové a paralelné zapojenie, transfigu

rácia)

• Technické zdroje a ich ekvivalencia
• Výkonové prispôsobenie
• Vkladanie a premiestňovanie ideálnych zdrojov

vkladanie zdrojov napätia
vkladanie zdrojov prúdu

• Princípy a poučky

5-2

5.1. Typy časových priebehov napätia a prúdu

V predchádzajúcich kapitolách sme videli, že aplikácia Kirchhoffovových zákonov spolu so znalosťou
terminálových vzťahov umožňujú sformulovať sústavu rovníc pre riešenie neznámych obvodových veličín
pre ľubovoľne zadané časové priebehy napätí a prúdov zdrojov. Všeobecne pritom dostaneme sústavu
integrálno-diferenciálnych rovníc pre stavové veličiny obvodu. Táto sústava je principiálne riešiteľná
pomocou numerických metód. Z hľadiska praktického výpočtu (príp. výpočtu „na papieri“) je však výhodné
pre charakteristické typy časových priebehov napätí a prúdov sformulovať „špecializované“ metódy, ktoré
využívaju niektoré vlastnosti týchto priebehov (napr. periodicitu a pod.).

Podľa časového priebehu obvodových veličín môžeme rozdeliť elektrické obvody (a s nimi súvisiace metódy
riešenia) na:

• Obvody v ustálenom stacionárnom stave, kedy všetky

časové priebehy napätia a prúdu sú konštantné (často sa
používa nesprávny pojem jednosmerné obvody).

• Obvody v ustálenom periodickom stave, kedy všetky

časové priebehy napätia a prúdu sú periodické veličiny.
Špeciálnym prípadom, ktorým sa budeme zaoberať osobitne,
sú obvody v ustálenom harmonickom stave.

• Obvody s neperiodickými veličinami so všeobecne

zadaným priebehom napätí a prúdov zdrojov. Do tejto oblasti
zaradíme aj riešenie tzv. prechodných javov v elektrických
obvodoch (javy prebiehajúce medzi dvoma ustálenými stavmi
pri zmene štruktúry obvodu).

t

t

t

5-3

5.2. Definícia ustáleného stacionárneho stavu

Elektrický obvod sa nachádza v ustálenom stacionárnom stave ak

1. napätia a prúdy všetkých zdrojov sú konštantné: u

z(t) = Uz, iz(t) = Iz (konštantné (stacionárne)

veličiny budeme označovať VEĽKÝMI TLAČENÝMI PÍSMENAMI )

2. zdroje boli pripojené pred „dostatočne dlhým časom“ na to, aby všetky prechodné javy spojené s

pripojením zdrojov dozneli (pozri aj nasledujúci príklad)

Po splnení týchto podmienok sú aj všetky ostatné prúdy a napätia v obvode konštantné: u(t) = U, i(t) = I
(nebudeme uvažovať niektoré špeciálne prípady, ako je napr. pripojenie stacionárneho zdroja napätia k
ideálnemu L-C obvodu, kedy môže dôjsť k vybudeniu netlmených harmonických kmitov).

Terminálové vzťahy pre elementárne (pasívne) ideálne dvojpóly v ustálenom stacionárnom stave sú:

rezistor R:

kapacitor C:

induktor L:

R

R

I

R

U





0

d

d





t

U

C

I

C

C

kapacitor sa správa ako rozpojený obvod
(nulový prúd - stav naprázdno)

0

d

d





t

I

L

U

L

L

induktor sa správa ako skrat (nulové napätie -
stav nakrátko)

Ohmov zákon v stacionárnom prípade

R

R

R

U

G

U

R

I









1

5-4

5.2.1. Pripojenie zdroja konštantného napätia

C

R

1

R

2

U

z

R

3

L

R

1

R

2

U

z

R

3

u

L(t)

u

C(t)

i

C(t)

i

L(t)

I

C = 0

U

L = 0

U

C = konšt.

I

L= konšt.

V ustálenom stave stačí preto vyšetrovať
zjednodušený obvod obsahujúci len zdroj
napätia a jednotlivé rezistory.

Na nasledujúcom príklade ukážeme možný prechod obvodu do ustáleného stacionárneho stavu po pripojení
zdroja konštantného napätia. Časové priebehy napätí a prúdov boli vypočítané pre konkrétne hodnoty
parametrov obvodu, ktoré však v tomto príklade nie sú podstatné.

ustálený

stacionárny

stav

prechodný

jav

pred

pripojením

zdroja

(ustálený

stacionárny

stav)

I

L

I

C = 0

U

C

U

L = 0

t

i(t)

u(t)

t

u

L(t)

u

C(t)

i

C(t)

i

L(t)

5-5

5.3. Lineárne obvody v ustálenom stacionárnom stave

V nasledujúcich kapitolách sa budeme zaoberať analýzou lineárnych elektrických obvodov v ustálenom
stacionárnom stave, čiže obvodmi pozostávajúcim z ideálnych zdrojov konštantného napätia a prúdu a
lineárnych rezistorov.

Existuje veľké množstvo metód riešenia takýchto typov obvodov; uvedieme len niektoré z nich:

• Náhrada dvojpólových skupín. Transformácia, zjednodušenie, zmena štruktúry elektrickej schémy

• Priama aplikácia Kirchhoffových zákonov

• Princípy a poučky

• „Prúdové“ metódy (metóda slučkových prúdov, metóda tetivových prúdov)

• „Napäťové“ metódy (metóda uzlových napätí, metóda vetvových napätí)

- princíp superpozície

- princíp kompenzácie

- princíp reciprocity

- princíp náhradného aktívneho dvojpólu

5-6

5.4. Náhrada dvojpólových skupín

Princíp tejto metódy spočíva v zjednodušení elektrickej schémy náhradou určitých dvojpólových skupín
jedným dvojpólom. Tento postup sa dá použiť aj pre n-pólové skupiny. Nevyhnutnou podmienkou je,
aby pomery (napätia a prúdy) vo zvyšku obvodu zostali nezmenené.

• Sériové, resp. paralelné zapojenie rezistorov a zdrojov

• Transfiguráciu rezistorovej hviezdy a trojuholníka (Y  )

• Ekvivalenciu technického zdroja napätia a prúdu

Pri náhrade využívame nasledujúce postupy:

• Presúvanie a vkladanie ideálnych zdrojov

5-7

2



4



6



4



6



2



8



3V

12V

5.4.1. Sériové a paralelné zapojenie dvojpólov

V jednej z predchádzajúcich kapitol sme uviedli pravidlá pre sériové a paralelné zapojenie elementárnych
dvojpólov. Ukážeme jednoduchý príklad na ich použitie.

I = ?

Aplikáciou II. KZ pre posledný obvod
dostaneme:

0

9

100

V

9







 I

A

81

,

0





I



V danom obvode je teda skutočná kladná
orientácia prúdu opačná ako nami zvolená.

V obvode na obrázku vypočítajte celkový prúd I.

?

8



4



8



9V



11

12

I = ?

8



9V



9

28

I = ?

9V



9

100

I = ?

5-8

5.4.2. Delič napätia, delič prúdu

So sériovým a paralelným zapojením rezistorov súvisia poučky o deliči napätia, deliči prúdu a sériovo-
paralelnom obvode. Tieto poučky uvedieme bez odvodení, ktoré sú triviálne.

Delič napätia

Pri sériovom zapojení rezistorov sa napätie delí v
priamom pomere odporov jednotlivých rezistorov.







N

i

i

m

m

R

R

U

U

1

n

m

n

m

R

R

U

U



Delič prúdu

R

1

R

m

R

n

I

I

n

R

N

I

m

Pri paralelnom zapojení rezistorov sa prúd delí v
priamom pomere vodivostí jednotlivých rezistorov
(v nepriamom pomere ich odporov).







N

i

i

m

m

G

G

I

I

1

m

n

n

m

n

m

R

R

G

G

I

I





R

1

R

m

R

n

U

U

n

R

N

U

m

5-9

5.4.3. Sériovo-paralelný obvod

R

1

R

2

R

3

U

I

3

I

2

1

3

3

2

2

1

3

2

R

R

R

R

R

R

R

U

I







1

3

3

2

2

1

2

3

R

R

R

R

R

R

R

U

I







Tento typ obvodu sa pomerne často vyskytuje pri riešení elektrických obvodov. Je preto výhodné si pamätať
vzťahy na výpočet jednotlivých prúdov.

Použitím poučiek o deliči napätia, prúdu a o sériovo-paralelnom obvode vypočítajte
všetky prúdy v predchádzajúcom príklade.

?

5-10

5.4.4. Transfigurácia Y

 

Pri zjednodušovaní elektrickej schémy môže nastať situácia, kedy žiadne dva rezistory nie sú zapojené
paralelne, ani sériovo. V takomto prípade môžeme zvyčajne na ďalšie zjednodušenie použiť transfiguračné
vzťahy medzi rezistorovou hviezdou (Y) a rezistorovým trojuholníkom (

).

R

1

R

2

R

3

1

2

3

R

12

R

23

1

2

3

R

31

Y



Vlastnosti oboch zapojení z hľadiska výstupných
pólov 1-2-3 sa nezmenia, ak pre odpory
jednotlivých rezistorov platia nasledujúce vzťahy:

Všimnite si súmernosť oboch sústav vzťahov a jednoduchý „mnemotechnický vzorec“ ich zostavenia.
Tieto vzťahy môžeme jednoducho odvodiť pomocou I. a II. KZ a Ohmovho zákona.

31

23

12

12

31

1

R

R

R

R

R

R







31

23

12

23

12

2

R

R

R

R

R

R







31

23

12

31

23

3

R

R

R

R

R

R







  Y

3

2

1

2

1

12

R

R

R

R

R

R







1

3

2

3

2

23

R

R

R

R

R

R







2

1

3

1

3

31

R

R

R

R

R

R







Y

 

Pri dodržaní uvedených vzťahov môžeme tieto rezistorové skupiny (ide vlastne o trojpóly) vzájomne
zameniť a tým upraviť schému tak, aby sme ďalej dosiahli sériové a/alebo paralelné zapojenie rezistorov.

5-11

Odvodenie transfiguračných vzťahov

R

1

R

2

R

3

1

2

3

R

12

R

23

1

2

3

R

31

Pri odvodení transfiguračných vzťahov vychádzame z toho, že po náhrade musia zostať zachované prúdy
I

1, I2 (a tým aj prúd I3) a napätia U12, U23 (a tým aj napätie U31) .

0

3

2

1

23

3

3

2

2

12

2

2

1

1















I

I

I

U

I

R

I

R

U

I

R

I

R

0

31

23

12

2

12

12

23

23

1

31

31

12

12















U

U

U

I

U

G

U

G

I

U

G

U

G

Kvôli skráteniu zápisu sme použili G

12 = 1/R12 atď. Po úprave dostaneme:

Z týchto rovníc nájdeme vzťah medzi R

1, R2, R3 a G12, G23, G31.

U

12

U

23

U

31

I

1

I

2

I

3

U

12

U

23

U

31

I

1

I

2

I

3





23

2

3

2

1

3

12

2

2

1

1

U

I

R

R

I

R

U

I

R

I

R











(Y)





2

23

23

12

12

1

23

31

12

31

12

I

U

G

U

G

I

U

G

U

G

G













(

)

Y



5-12

a) Transfigurácia Y

 





23

2

3

2

1

3

12

2

2

1

1

U

I

R

R

I

R

U

I

R

I

R











(Y)





2

23

23

12

12

1

23

31

12

31

12

I

U

G

U

G

I

U

G

U

G

G













(

)

Vypočítajme z rovníc (Y) prúdy I

1 a I2:

23

1

3

3

2

2

1

1

12

1

3

3

2

2

1

3

2

23

1

3

3

2

2

1

2

12

1

3

3

2

2

1

3

2

1

U

R

R

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

I

U

R

R

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

R

I





































Porovnaním s rovnicami (

) dostaneme:

2

1

3

1

3

31

1

3

3

2

2

1

2

31

1

3

2

3

2

23

1

3

3

2

2

1

1

23

3

2

1

2

1

12

1

3

3

2

2

1

3

12

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

G

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

G

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

G











































čo sú hľadané transfiguračné vzťahy Y

 

5-13

b) Transfigurácia

  Y

2

12

31

31

23

23

12

31

12

1

12

31

31

23

23

12

12

23

2

12

31

31

23

23

12

31

1

12

31

31

23

23

12

23

12

I

G

G

G

G

G

G

G

G

I

G

G

G

G

G

G

G

U

I

G

G

G

G

G

G

G

I

G

G

G

G

G

G

G

U







































23

2

3

2

1

3

12

2

2

1

1

U

I

R

R

I

R

U

I

R

I

R











(Y)





2

23

23

12

12

1

23

31

12

31

12

I

U

G

U

G

I

U

G

U

G

G













(

)

Vypočítajme z rovníc (

) napätia U

12 a U23:

Porovnaním s rovnicami (Y) dostaneme:

31

23

12

31

23

3

12

31

31

23

23

12

12

3

31

23

12

23

12

2

12

31

31

23

23

12

31

2

31

23

12

12

31

1

12

31

31

23

23

12

23

1

R

R

R

R

R

R

G

G

G

G

G

G

G

R

R

R

R

R

R

R

G

G

G

G

G

G

G

R

R

R

R

R

R

R

G

G

G

G

G

G

G

R











































čo sú hľadané transfiguračné vzťahy

  Y

5-14

Wheatstoneov mostík

Vypočítajte výsledný odpor R Wheatstoneovho mostíka.

?

R

12



3



8



2



5



Použijeme napr.

transfiguráciu

Y

1,8



2,75



8



2



11



Výsledok je

R = 4



R

12



3



8



2



a

b

R

12



3



8



2



a

b

R

Úloha sa dá pre uvedené hodnoty odporov riešiť aj jednoduchšie. V našom prípade je Wheatstoneov mostík
vyvážený - to znamená, že napätie medzi bodmi a-b je nulové a takisto prúd v úseku a-b je nulový.

b

a

Tomu zodpovedá:

!

ab

0



U

!

ab

0



I

Overte, že hodnota výsledného odporu R sa nezmení pre oba prípady.

5-15

R

1

R

2

R

3

R

4

R

g

U

Vyvážený Wheatstoneov mostík

Hovoríme, že Wheatstoneov mostík je vyvážený ak U

g = 0, čomu

zodpovedá I

g = 0.

Podmienku vyváženosti nájdeme nasledujúcim postupom:

U

g

I

g

Keďže I

g = 0, platí I1 = I2  Ia, I3 = I4  Ib. Potom

Zároveň platí (za predpokladu U

g = 0):

Elimináciou prúdov I

a, Ib z rovníc (1) a (2) dostaneme podmienku vyváženosti:

Wheatstoneov mostík sa používa na meranie odporu neznámeho rezistora (napr. R

4) ak sú známe

odpory zvyšných rezistorov (R

1, R2, R3). Zmenou ich odporu (jemne – pomocou potenciometra, alebo

hrubo – pomocou rezistorovej dekády) mostík vyvažujeme – t.j. nastavujeme nulové napätie na
meracom prístroji (v schéme je reprezentovaný pomocou rezistora R

g). Po vyvážení určíme neznámu

hodnotu R

4 zo vzťahu (3).







 b

4

3

a

2

1

I

R

R

I

R

R

U













(1)

0

b

3

a

1









I

R

I

R

(2)

3

2

4

1

R

R

R

R







(3)

I

2 = Ia

I

1 = Ia

I

4 = Ib

I

3 = Ib

5-16

reálny zdroj

napätia

reálny zdroj

prúdu

5.5. Technické zdroje napätia a prúdu

U reálneho zdroja napätia (na rozdiel od ideálneho) závisí jeho napätie od pripojenej záťaže (odoberaného
prúdu) v dôsledku jeho vnútorného odporu. Ekvivalentnú situáciu pozorujeme aj u reálneho zdroja prúdu.

U

I

I

z

ideálny zdroj prúdu

U

z

ideálny zdroj napätia

Pri lineárnej aproximácii VA charakteristiky reálnych zdrojov
použijeme dvojpól tvorený ideálnym zdrojom a rezistorom.
Takto

vytvorené

dvojpóly

nazývame

(linearizované)

technické zdroje.

U

z

R

U

I

z

R

I

U

I

U

I

technický zdroj napätia

technický zdroj prúdu

Vlastnosti technických zdrojov posúdime na základe ich VA charakteristík. Keďže oba dvojpóly sú tvorené
lineárnymi prvkami, aj ich VA charakteritika bude lineárna funkcia a na jej určenie stačí poznať dva body.
Najjednoduchšou voľbou sú body U = 0 (stav nakrátko), resp. I = 0 (stav naprázdno).

U

I

technický zdroj napätia

U

R

U

I

U

z

0

ak









z

0

ak

U

U

I









U

R

Uz

z

U

z

I

I

R

Iz

technický zdroj prúdu

z

0

ak

I

I

U









I

R

I

U

I

z

0

ak









Ak R

U  0, resp. RI  , vlastnosti technických zdrojov sa blížia k vlastnostiam ideálnych zdrojov.

Je však nesprávne používať formuláciu „ideálny zdroj napätia má nulový odpor“, resp. „ideálny zdroj prúdu
má nekonečný odpor“, keďže u ideálnych zdrojov nie je pojem „vnútorný odpor“ vôbec definovaný (podiel
napätia a prúdu nie je konštantný – pre ideálne zdroje neplatí Ohmov zákon).

R

U  0

R

I  

5-17

5.5.1. Ekvivalencia technických zdrojov

Znalosť VA charakteristiky dvojpólu je dostačujúca na riešenie obvodu, do ktorého je daný dvojpól
zapojený, ale neumožňuje jednoznačne určiť jeho vnútornú štruktúru – „vnútorne“ rôzne dvojpóly sa môžu
„navonok“ správať rovnako. Na druhej strane je však niekedy výhodné, že rôzne dvojpóly s rovnakou VA
charakteristikou môžeme vzájomne zameniť bez toho, aby sa narušili pomery vo zvyšku obvodu (pozri prin

cíp kompenzácie). Túto vlastnosť využijeme pri zjednodušovaní obvodov obsahujúcich technické zdroje.

Ukázali sme, že technické zdroje napätia a prúdu
majú VA charakteristiku:

U

I

U

R

Uz

z

U

z

I

I

R

Iz

U

z

R

U

I

z

R

I

Z obrázku je zrejmé, že obe charakteristiky budú
rovnaké, ak

v

R

R

R

I

U





z

v

z

I

R

U





v

z

z

R

U

I



Znamená to, že napr. zapojenia

sú ekvivalentné vzhľadom na výstupné svorky a-b.

Všimnite si orientáciu napätia a prúdu – pri zámene technických zdrojov „otáčame“ šípky „vnútorných“
ideálnych zdrojov.

10V

20



a

b

0,5A

20



a

b

Tieto vzťahy možno interpretovať nasledovne:
technické zdroje sú ekvivalentné, ak majú rovnaké
napätie naprázdno a prúd nakrátko (dôsledkom je
potom rovnaký vnútorný odpor).

5-18

5.5.2. Technické zdroje - poznámky

Doteraz sme príliš nehovorili o spôsoboch technickej realizácie zdrojov napätia a prúdu. V princípe sú všetky reálne
zdroje zdrojmi napätia – určitým fyzikálnym mechanizmom vytvárame medzi dvoma pólmi (elektródami) rozdiel
potenciálov. Takémuto zdroju zodpovedá model technického zdroja napätia. Videli sme, že zavedenie pojmu
technický zdroj prúdu je len iný spôsob interpretácie jeho VA charakteristiky. Vo všetkých prípadoch ide o premenu
iných foriem energie na energiu elektrickú (elektromagnetickú).

Z ekvivalencie technických zdrojov vyplýva aj najjednoduchší spôsob zostrojenia „ideálneho“ prúdového zdroja – k
zdroju napätia treba zaradiť do série rezistor s veľmi veľkou hodnotou odporu (teoreticky nekonečnou, prakticky
podstatne väčšou ako je odpor možnej záťaže). Prúd potom nebude od záťaže skutočne závisieť – čiže pôjde o
prúdový zdroj. Tento spôsob však zrejme nie je najvhodnejší, keďže dodávaný prúd bude veľmi malý a účinnosť
takéhoto zdroja bude prakticky nulová. Preto sú prúdové zdroje „s ideálnymi vlastnosťami“ najčastejšie vytvorené
elektronickými zapojeniami – v podstate riadeným zdrojom napätia, ktorého výstupné napätie je pomocou spätnej
väzby regulované podľa záťaže tak, aby odoberaný prúd bol konštantný (alebo s definovaným časovým priebehom).

Existuje aj iný spôsob vytvorenia elektrického napätia, tentokrát časovo premenlivého. Ide o už spomínaný jav
elektromagnetickej indukcie, pri ktorej sa zmenou magnetického toku v cievke indukuje na jej svorkách napätie.
Magnetický tok cez určitú plochu (v našom prípade prierez cievky) môžeme meniť zmenou magnetického poľa,
zmenou veľkosti plochy, ale aj zmenou uhla medzi touto plochou a smerom magnetického poľa (teda otáčaním cievky
v homogénnom magnetickom poli). Na poslednom princípe pracujú elektrické generátory, ktoré sú poháňané
turbínami (vodnými, parnými, veternými ...).

Už sme vraveli o tom, že napätie medzi dvoma kovovými elektródami vytvoríme napríklad tak, že na ne privedieme
elektrický náboj opačnej polarity. Ak však takýto „zdroj napätia“ pripojíme k záťaži, veľmi rýchlo dôjde k „odčerpaniu“
náboja a vynulovaniu rozdielu potenciálov. Preto je potrebné tento náboj na elektródy nepretržite dodávať iným
spôsobom. Jednou z možností je využitie elektrochemických javov pri ponorení elektród z rôznych kovov (napr. Cu a
Zn) do elektrolytu. Na tomto princípe pracujú galvanické články (batérie), akumulátory alebo tzv. palivové články.

Treba si preto uvedomiť, že ideálne zdroje (či už napätia, alebo prúdu) sú v podstate abstraktné pojmy – čo však
neznižuje ich význam v teórii elektrických obvodov.

5-19

5.6. Výkonové prispôsobenie

Posúďme teraz prenos energie (výkonu) v obvode pozostávajúceho
z technického zdroja (U

z, Rv) a záťaže, reprezentovanej rezistorom

R.

U

z

R

v

Pre výkon na rezistore R platí:

Keďže pre R = 0 je napätie na R nulové a pre R

  je nulový prúd, pre tieto limitné prípady je výkon

takisto nulový. Vieme, že výkon na rezistore je vždy kladný; znamená to, že existuje (minimálne) jedna
hodnota R, pri ktorej P

R nadobúda extrém a tento extrém je maximum. Nájdeme ho nasledovne:

2

v

z

2























R

R

U

R

I

R

PR

Maximum (extrém) nájdeme z podmienky:

0

d

d



R

PR

Po dosadení zistíme, že P

R nadobúda maximum pre:

čiže ak je odpor záťaže rovný vnútornému odporu zdroja. V tomto prípade hovoríme o výkonovom
prispôsobení záťaže.
Hodnota prenášaného maximálneho výkonu je:

Výkonová účinnosť zdroja je v tomto prípade však iba 50%; polovica výkonu dodávaného zdrojom U

z sa

spotrebuje na vnútornom odpore R

v. Výkonové prispôsobenie má veľký praktický význam napr. pri

pripojení reprodukturových sústav na výstup výkonového zosilňovača.

R

I

0

1

2

3

4

5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

R / R

v

1.0

P

R / Pmax

Vyšetrovať budeme priebeh výkonu P

R na záťaži R v závislosti od

veľkosti odporu R.

5-20

„Problémové“ zapojenia - poznámka

Videli sme, že pri dodržaní istých podmienok sú technické zdroje ekvivalentné a môžeme ich vzájomne
zameniť.

Tieto dvojpóly nie sú ekvivalentné.

?

Odpoveď na otázku, čím (a či vôbec) môžeme tieto zapojenia nahradiť je jednoduchá, ak si uvedomíme,
akú VA charakteristiku pozorujeme pre daný dvojpól. Je zrejmé, že:

!



U

z

R

U

z

I

z

5V

10



0,5A

10



5V

10



10



0,5A



Pri aplikácii tejto ekvivalencie však treba byť opatrný pri zapojeniach typu:

Úsek pripojený sériovo k ideálnemu zdroju prúdu ovplyvňuje iba napätie na tomto zdroji a nemá

vplyv na pomery vo zvyšku obvodu.

Úsek pripojený paralelne k ideálnemu zdroju napätia ovplyvňuje iba prúd cez tento zdroj a nemá

vplyv na pomery vo zvyšku obvodu.

U

I

U

z



R

I

z

U

I

I

z



zv

yš

o

k

ob

vo

du

I

U

z

R

I

I

 U

z/R

zv

yš

o

k

ob

vo

du

U

R

I

z

U

U

 RI

Z

5-21

zlúčenie dvojpólov

15



3A

I

10



1A

10



15



5



3A

5



I

10V

10



20V

10V

15



5



10

 10

I

10



2A

15



2A

10



10V

10V

20



5



10



20V

10



10



I

10V

15



2A

5



10



I

10



Príklad s využitím ekvivalencie technických zdrojov

Tieto dvojpóly

neovplyvnia prúd I

a môžeme ich

vynechať.

15



5



30V

5



I

10



2A

15



3A

10



I

10V

10



15



2A

I

5



15



10V

I

5



A

5

,

0

15

5

V

0

1















I

Zjednodušte obvod na jednoslučkový obvod a vypočítajte prúd I.

?

zámena technických zdrojov

zlúčenie dvojpólov

zámena technických zdrojov

zlúčenie dvojpólov

zámena technického zdroja

zámena technického zdroja

jednoslučkový obvod

5-22

Výpočet všetkých neznámych veličín

15



2A

10



10V

10V

20



5



10



20V

10



10



0,5A

V predchádzajúcom príklade sme vypočítali prúd I = -0,5A. Ukážeme, ako je možné vypočítať všetky
ostatné veličiny v obvode. Použijeme iba I. a II. Kirchhoffov zákon a Ohmov zákon.

7,5V

II. KZ

2,5V

0,25A

II. KZ

20V

1A

I. KZ

3,25A

20V

II. KZ

17,5V

I. KZ 1,75A

8,75V

1,25V

II. KZ

1,875A

0,125A

I. KZ

Úloha je ukončená – výsledky si overte
pomocou I. KZ pre všetky uzly, a II. KZ pre
všetky slučky, alebo výkonovou bilanciou.

Pozn. Nie vždy je možné po výpočte jednej
neznámej veličiny vypočítať ostatné použitím len
I. a II. KZ v pôvodnom obvode, ale je nutné
použiť aj niektoré z pomocných obvodov („medzi-
krokov“ pri zjednodušovaní schémy).

5-23

5.7.1. Vkladanie (premiestňovanie) zdrojov napätia

Uvažujme časť obvodu podľa obrázku. Ak zostavíme rovnice pre
napätia v jednotlivých slučkách (napr. pri tzv. metóde slučkových
prúdov – vysvetlíme neskôr), na pravej strane týchto rovníc
vystupuje súčet napätí na zdrojoch v jednotlivých slučkách.

U

z

U

z

U

z

U

z

U

z

Vložme teraz do obvodu ďalšie ideálne napäťové zdroje
naznačeným spôsobom. Je zrejmé, že súčet napätí v žiadnej
slučke sa tým nezmenil. Z hľadiska metódy slučkových prúdov
zostal obvod nezmenený a preto sa nezmenia prúdy v
jednotlivých úsekoch (nie však napätia na úsekoch).

Medzi uzlami a-b sme takto vytvorili úsek s nulovým napätím
(skrat), čím sme zredukovali počet uzlov a zjednodušili schému.

Ideálne napäťové zdroje vkladáme do všetkých úsekov pripojených k danému uzlu. Orientácia
všetkých vkladaných zdrojov musí byť vzhľadom na uzol rovnaká.

a

b

Vkladaním (premiestňovaním) napäťových zdrojov meníme štruktúru obvodu zmenšovaním počtu
uzlov. Prúdy v jednotlivých úsekoch obvodu pritom zostávajú zachované.

5-24

I

z

I

z

I

z

I

z

5.7.2. Vkladanie (premiestňovanie) zdrojov prúdu

I

z

a

b

Uvažujme časť obvodu podľa obrázku. Ak zostavíme rovnice pre
prúdy v jednotlivých uzloch (tzv. metóda uzlových napätí - napätia
sú vyznačené vzhľadom k „žltému“ vzťažnému uzlu), na pravej
strane týchto rovníc vystupuje súčet prúdov zdrojov pripojených k
jednotlivým uzlom.
Vložme teraz do obvodu ďalšie ideálne prúdové zdroje
naznačeným spôsobom. Je zrejmé, že súčet prúdov v uzloch
sa nezmenil. Z hľadiska metódy uzlových napätí zostal obvod
nezmenený a preto sa nezmenia napätia na jednotlivých
úsekoch (nie však prúdy v úsekoch).

Medzi uzlami a-b sme takto vytvorili úsek s nulovým prúdom
(rozpojený úsek), čím sme zredukovali počet slučiek a zjednodušili
schému.

Ideálne prúdové zdroje vkladáme do obvodu tak, že z nich vytvoríme slučku. Orientácia prúdov
všetkých zdrojov je rovnaká pozdĺž vytvorenej slučky.

Vkladaním (premiestňovaním) prúdových zdrojov meníme štruktúru obvodu zmenšovaním počtu
slučiek. Napätia na jednotlivých úsekoch obvodu pritom zostávajú zachované.

5-25

2A

10V

10V

5V

10



5



10



5



5



10



I = ?

1

2

3

4

5

6

2A

2A

2A

1

2

5

10



20V

10V

5



Príklad vkladania zdrojov

10V

10V

10V

10V

20



10V

2

3

20V

10



10V

I = ?

3

5V

10



5



I

10V

20



3

4

15V

10



5



I = ?

10V

20



3

3A

10



5



I

0,5A

20



3

3,5A

10



4



A

1

1

,

0

25

,

0

1

,

0

5

,

3













I

Medzi uzlami 3-6 je napätie 10V, nezávisle
od technického zdroja napätia 20V, 10

.

Tento úsek môžeme preto vynechať.

Poučkou o deliči prúdu dostaneme

Vkladaním a premiestňovaním zdrojov zjednodušte obvod a vypočítajte prúd I.

?

Vložíme prúdové zdroje, čím
rozpojíme uzly 1-2.

Vložíme napäťové zdroje,
čím spojíme uzly 2-3.

Mohli sme postupovať aj iným spôsobom, vyskúšajte si rôzne možnosti vkladania zdrojov,
zjednodušovania obvodu a výpočtu prúdu I

5-26

5.8. Princípy a poučky

Princíp superpozície, princíp kompenzácie a princíp reciprocity platia pre ľubovoľné časové priebehy
zdrojov (stacionárny stav je len špeciálnym prípadom) a boli prebraté v kapitole 4. Ich použitie v obvodoch
v stacionárnom ustálenom stave je teda v zásade rovnaké. Ukážeme príklad použitia princípu
superpozície.

Pomocou princípu superpozície vypočítajte prúd I.

?

čia

stk

ový

prú

d I 1

5V

10



10



10



10



I

1

5V

10



10



0,5A

10



10



I = ?

čiastk

ový p

rúd I

2

10



10



0,5A

10



10



I

2

5V

10



10



10



Poučkou o sériovo-paralelnom obvode ihneď dostaneme:

A

2

,

0

20

10

20

10

10

10

20

5

1

















I

I = I

1 + I2

I

1 = 0,2 A

10



10



0,5A

10



10



I

2

Použijeme

ekvivalenciu

technických

zdrojov

10



10



0,5A

10



5V

Opäť využijeme poučku o sériovo-paralelnom obvode:

A

1

,

0

20

10

20

10

10

10

10

5

2





















I

I

2 = -0,1 A

Výsledok je:

I = 0,1 A

5V

10



10



0,5A

10



10



0,1A

Použitím I. a II. KZ môžeme teraz určiť všetky ostatné
neznáme veličiny v obvode.

1V

4V

0,4A

0,3A

0,2A

3V

7V