9. Elektrické obvody s harmonicky sa meniacimi

veličinami v ustálenom stave

• Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov
• Komplexná reprezentácia harmonických veličín,

fázory (komplexory)

• Vzťah medzi napätiami a prúdmi ideálnych obvodových prvkov

(dvojpólov)

• Impedancia, admitancia
• Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami
• Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry,

analógia s metódami riešenia v ustálenom stacionárnom stave

• Indukčne viazané obvody (obvody s magnetickou väzbou)

9-2

9.1. Základné vlastnosti a parametre harmonických priebehov

Pod pojmom harmonický priebeh rozumieme taký časový priebeh napätia, resp. prúdu, ktorý

možno vyjadriť pomocou harmonických funkcií v tvare:

 





 



i

m

u

m

t

I

t

i

t

U

t

u

























cos

,

cos

kde U

m (Im) je maximálna hodnota - amplitúda, u (i) je fázový uhol - uhlová konštanta a  je

uhlová frekvencia harmonického napätia (prúdu). Význam týchto parametrov je zrejmý z

obrázku:

t

u (t )

0

U

m

T

T

f















2

2



u

f - frekvencia
T - perióda

Fázový uhol vyjadruje vlastne
vzdialenosť najbližšieho maxima
od počiatku súradnicovej sústavy,
nakoľko funkcia cos(x) nadobúda
maximálne hodnoty pre argument
x=0+2

k (k je ľubovoľné celé

číslo). Pre k=0 platí

t+

u=0, z

čoho vychádza čas maxima
t

max= -u/. Fázový uhol sa zvykne

udávať v stupňoch [°] alebo v
radiánoch [rad].

9-3

Pri riešení elektrických obvodov s harmonickými veličinami využívame (podobne ako pri

obvodoch v stacionárnom ustálenom stave) platnosť Ohmovho zákona a Kirchhoffových

zákonov.

9.2. Komplexná reprezentácia harmonických veličín, fázory

Aby sme sa vyhli spomenutým komplikáciám pri riešení (z matematického hľadiska), je vhodné

reprezentovať harmonické veličiny pomocou komplexných čísiel nazývaných fázory

(komplexory, časové vektory).

Výhodou je tu zjednodušenie riešenia obvodu, nakoľko matematické úkony s komplexnými

číslami sú omnoho jednoduchšie, ako s harmonickými funkciami.

Problémom je tu skutočnosť, že aplikáciou týchto zákonov (ako aj odvodených metód)

dostaneme sústavy trigonometrických rovníc, ktorých riešenie je síce možné, ale je veľmi

pracné (je potrebné vykonávať rôzne matematické operácie s harmonickými funkciami, ktoré

majú rôzne amplitúdy a fázové uhly).

Poznámky:

• Je nutné dodržiavať rôzne typy písma pre rôznu

reprezentáciu

obvodových

veličín

(je

to

dané

rozdielnym

fyzikálnym,

resp.

matematickým významom časových priebehov,
fázorov, maximálnych hodnôt a pod.).

• Imaginárna jednotka sa v elektrotechnike zvykne

označovať symbolom „j“ (symbol „i“ označuje
obyčajne okamžitú hodnotu prúdu).

9-4

Nech je daný harmonický časový priebeh napätia všeobecne ako

Vzťah pre rotujúci fázor možno jednoducho upraviť do podoby

9.2.1. Pojem fázor

Je zrejmé, že harmonické napätie predstavuje vlastne reálnu zložku

maximálneho rotujúceho fázora napätia.

Z výrazu pre rotujúci fázor vyplýva, že jeho veľkosť (modul) určená

maximálnou hodnotou harmonickej veličiny nezávisí od času.

S časom sa mení len jeho fázový uhol (argument) ktorého okamžitá

hodnota je daná výrazom



u+.t

 





u

m

t

U

t

u













cos

 













u

t

j

m

u

m

u

m

m

e

U

t

jU

t

U

t





































sin

cos

U

Tomuto harmonickému napätiu priradíme komplexné číslo

nazývané maximálny rotujúci fázor napätia U

m(t) podľa vzťahu

 





t

j

m

t

j

j

m

t

j

m

m

e

e

e

U

e

U

t

u

u

































U

U

To znamená, že s meniacim sa časom
fázor napätia rotuje v komplexnej rovine
proti smeru hodinových ručičiek s
uhlovou rýchlosťou

 (pozri obrázok).

Tu sa ukazuje aj iný názorný význam
fázového uhla



u – je to uhol, ktorý

zviera

rotujúci

fázor

harmonickej

veličiny s kladnou reálnou osou
komplexnej roviny v čase t=0.

U

m je komplexná konštanta nazývaná

maximálny fázor napätia (nerotujúci). Je
daná vzťahom

Je

zrejmé,

že

poloha

tohoto

komplexného čísla v komplexnej rovine
sa s časom nemení. Rotácia fázora je
vyjadrená výrazom

u

j

m

m

e

U







U

t

j

e 



Poznámky:

• V prípade obvodov s harmonickými veličinami sa zvyčajne používajú

namiesto maximálnych fázorov efektívne fázory. Rozdiel spočíva v tom,
že veľkosť efektívneho fázora je namiesto maximálnej hodnoty
obvodovej veličiny určená jej tzv. efektívnou hodnotou

Dôvod je praktický – bežné striedavé meracie prístroje sú kalibrované
na efektívnu hodnotu harmonických veličín. Preto ak pri výpočtoch
použijeme efektívne fázory, máme možnosť priameho porovnania
nameraných a vypočítaných hodnôt napätí alebo prúdov.

• V ďalšom texte budeme používať efektívne fázory (ak nebude uvedené

inak)

a

pre

jednoduchosť

nebudeme

písať

indexy

„ef“.

Výraz

predstavuje teda efektívny rotujúci fázor a znamená
obyčajný (nerotujúci) efektívny fázor.

• Namiesto zápisu fázora pomocou exponenciálnej funkcie sa niekedy

používa tzv. verzorový tvar:

Symbol „

“ tu označuje fázový uhol.

2

m

ef

U

U



 

 





t

j

ef

t

j

j

ef

t

j

ef

ef

e

e

e

U

e

U

t

t

u

u



































U

U

U

u

j

ef

ef

e

U







U

U

u

ef

j

ef

U

e

U

u







 

9-5

9.3. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho rezistora

Rm

Rm

I

R

U





R

i

R(t)

 





iR

Rm

R

t

I

t

i













cos

u

R(t)

 





uR

Rm

R

t

U

t

u













cos

Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že

Nakoľko pre ideálny rezistor platí v ľubovoľnom časovom okamihu

Ohmov zákon, možno napätie vyjadriť pomocou prúdu ako

 

 





iR

Rm

R

R

t

I

R

t

i

R

t

u



















cos

iR

uR







To znamená, že platí Ohmov zákon pre maximálne hodnoty

(podobne, ako pre stacionárne napätie a prúd rezistora).

Okrem toho je zrejmé, že fázový uhol napätia a prúdu rezistora je

rovnaký (hovoríme, že napätie a prúd ideálneho rezistora sú vo

fáze). Pre efektívne rotujúce fázory platí

 





 t

R

e

R

e

e

U

e

U

e

t

R

t

j

R

t

j

j

R

t

j

R

t

j

R

R

uR

uR

I

I

U

U















































R

j

R

j

R

R

R

e

I

R

e

U

iR

uR

I

U



















To znamená, že pri rotácii
oboch fázorov v komplexnej
rovine je ich vzájomný uhol
nulový (pozri obrázok).

Nech prúd a napätie na ideálnom rezistore R sú dané vzťahmi

9-6

Nech prúd a napätie na ideálnom induktore L sú dané vzťahmi

9.4. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho induktora

L

i

L(t)

 





iL

Lm

L

t

I

t

i













cos

u

L(t)

 





uL

Lm

L

t

U

t

u













cos

Lm

Lm

I

L

U









Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že

V časti 2.6.5. sme ukázali, že napätie na ideálnom induktore je

priamo úmerné časovej zmene prúdu tečúceho cez induktor.

Matematicky to možno vyjadriť ako

 

 































































2

iL

Lm

iL

Lm

L

L

t

I

L

t

I

L

dt

t

di

L

t

u

cos

sin

2











iL

uL

Fázový uhol napätia na ideálnom induktore je v ľubovoľnom

časovom okamihu väčší o

/2 (90°) ako fázový uhol prúdu

(hovoríme, že napätie predbieha prúd ideálneho induktora o

/2).

Pre efektívne rotujúce fázory platí

 









 t

L

j

e

L

j

e

e

I

L

e

e

U

e

U

e

t

L

t

j

L

t

j

j

L

t

j

j

L

t

j

L

t

j

L

L

iL

uL

uL

I

I

U

U













































































2





 

 

L

j

L

j

j

L

j

L

L

L

j

e

I

e

L

e

I

L

e

U

iL

iL

uL

I

U















































2

2

To znamená, že pri rotácii
oboch fázorov v komplexnej
rovine je ich vzájomný uhol
rovný +

/2 (pozri obrázok).

Poznámky:

• Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno vyjadriť aj

priamo pomocou fázorov:

Z uvedeného výrazu je zrejmé, že derivácia rotujúceho fázora podľa
času je ekvivalentná vynásobeniu pôvodného (nezderivovaného) fázora
výrazom j

.

• Pri úpravách sme využili známu rovnosť

 

 

 t

L

j

e

L

j

dt

e

d

L

dt

t

d

L

e

t

L

t

j

L

t

j

L

L

t

j

L

L

I

I

I

I

U

U













































  j

e j



 2

9-7

Nech prúd a napätie na ideálnom kapacitore C sú dané vzťahmi

9.5. Vzťah medzi napätím a prúdom ideálneho kapacitora

C

u

C(t)

 





uC

Cm

C

t

U

t

u













cos





C

I

U

Cm

Cm







Z porovnania obidvoch výrazov pre napätie vyplýva, že

V časti 2.6.4. sme ukázali, že napätie na ideálnom kapacitore je

priamo úmerné náboju nazhromaždenému na elektródach, ktorý je

daný ako integrál prúdu. Matematicky to možno vyjadriť ako

 

 



























































 

2

cos

sin

1

0

iC

Cm

iC

Cm

t

C

C

t

C

I

t

C

I

d

i

C

t

u

2











iC

uC

Fázový uhol napätia na ideálnom kapacitore je v ľubovoľnom

časovom okamihu menší o

/2 (90°) ako fázový uhol prúdu

(hovoríme, že napätie zaostáva za prúdom ideálneho kapacitora o

/2). Pre efektívne rotujúce fázory platí

 









 t

C

j

e

C

j

e

e

C

I

e

e

U

e

U

e

t

C

t

j

C

t

j

j

C

t

j

j

L

t

j

C

t

j

C

C

iC

uC

uC

I

I

U

U











































































1

1

2





 

 

C

j

C

j

j

C

j

C

C

C

j

e

I

e

C

e

C

I

e

U

iC

iC

uC

I

U















































1

1

2

2

i

C(t)

 





iC

Cm

C

t

I

t

i













cos

To znamená, že pri rotácii
oboch fázorov v komplexnej
rovine je ich vzájomný uhol
rovný -

/2 (pozri obrázok).

Poznámky:

• Vzájomný vzťah medzi fázormi napätia a prúdu možno aj v tomto

prípade vyjadriť priamo pomocou fázorov:

Z uvedeného výrazu je zrejmé, že integrál rotujúceho fázora podľa času
je ekvivalentný vydeleniu pôvodného (nezderivovaného) fázora výrazom
j

.

• Pri úpravách sme využili známu rovnosť

 

 

 t

C

j

e

C

j

d

e

C

d

C

e

t

C

t

j

C

t

j

C

t

C

t

j

C

C

I

I

I

I

U

U

























































1

1

1

1

0

0

 

j

j

e j

1

2











9-8

Z predchádzajúcich úvah vyplýva užitočný poznatok – ak časové priebehy harmonických

napätí a prúdov nahradíme fázormi, je možné fázor napätia vyjadriť ako súčin komplexnej

konštanty a fázora prúdu. Napr. pre ideálne jednoduché obvodové prvky platí

9.6. Impedancia v obvodoch s harmonickými veličinami

Uvedené skutočnosti sa dajú zovšeobecniť aj na prípad ľubovoľného dvojpólu poskladaného z

ideálnych pasívnych obvodových prvkov (dvojpólov).

Spomínaná komplexná konštanta potom vyjadruje vzťah medzi fázormi napätia a prúdu

všeobecne (nielen na jednoduchých obvodových prvkoch).

Táto komplexná konštanta má rozmer odporu (

 - Ohm) a preto sa nazýva aj zdanlivý odpor,

resp. impedancia - Z. Impedanciu teda možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora napätia a

prúdu (je to vlastne obdoba, resp. zovšeobecnenie Ohmovho zákona):

C

C

C

j

I

U









1

R

I

R

U

R

L

L

L

j

I

U









R

R

R I

U





C

U

C

I

C

L

U

L

I

L

 

 





z

i

u

i

u

i

u

j

j

j

j

t

j

j

t

j

j

e

Z

e

I

U

e

I

e

U

e

e

I

e

e

U

t

t





















































I

U

I

U

Z

Impedancia
ideálneho rezistora je
rovná

R

R 

Z

Impedancia
ideálneho induktora
je rovná

L

j

L







Z

Impedancia
ideálneho kapacitora
je rovná

C

j

C

j

C















1

1

Z

Z výrazu je zrejmé, že
impedancia nezávisí
od času!

Veľkosť impedancie je daná
podielom veľkostí (resp.
efektívnych hodnôt) napätia
a prúdu

I

U

I

U

Z

m

m 



Fázový uhol impedancie je
daný ako rozdiel fázového
uhla napätia a prúdu

i

u

z











Z

I

Z

U

Z

Schematická značka
impedancie je taká
istá, ako v prípade
rezistora.

9-9

Reálna zložka impedancie predstavuje tzv. skutočný odpor dvojpólu – R (rezistancia), ktorý

nemusí byť totožný s odporom nameraným pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v

prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nekonečný

odpor).

Rezistancia môže nadobúdať len kladné hodnoty.

9.6.1. Zložkový tvar impedancie, rezistancia a reaktancia

Imaginárna zložka impedancie sa nazýva reaktancia - X.

Reaktancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.

jX

R

e

Z

z

j











Z

Impedancia sa zvykne vyjadrovať aj v zložkovom tvare ako

Vtedy hovoríme, že impedancia
má induktívny charakter, lebo
reaktancia ideálneho induktora sa
rovná

0







 L

XL

V druhom prípade hovoríme, že
impedancia

má

kapacitný

charakter,

lebo

reaktancia

ideálneho kapacitora sa rovná

0

1











C

XC

9-10

 

 





y

u

i

u

i

u

i

j

j

j

j

t

j

j

t

j

j

e

Y

e

U

I

e

U

e

I

e

e

U

e

e

I

t

t























































U

I

U

I

Z

Y

1

9.7. Admitancia a jej zložky (konduktancia, susceptancia)

Imaginárna zložka admitancie sa nazýva susceptancia - B.

Susceptancia môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.

Aj admitancia sa dá vyjadriť v zložkovom tvare:

Prevrátená hodnota impedancie má rozmer elektrickej vodivosti (S - Siemens) a nazýva sa

admitancia - Y.

Admitanciu možno všeobecne vyjadriť ako podiel fázora prúdu a napätia:

Reálna zložka admitancie predstavuje tzv. skutočnú vodivosť dvojpólu - G (konduktancia) ktorá

nemusí byť totožná s vodivosťou nameranou pri stacionárnych ustálených prúdoch (napr. v

prípade ideálneho rezistora a kapacitora zapojených do série by sme namerali nulovú

vodivosť).

Konduktancia môže nadobúdať len kladné hodnoty.

jB

G

e

Y

y

j











Y

Veľkosť admitancie je daná
podielom veľkostí (resp.
efektívnych hodnôt) prúdu a
napätia

Z

U

I

U

I

Y

m

m

1







Fázový uhol admitancie je
daný ako rozdiel fázového
uhla prúdu a napätia

z

u

i

y

















9-11

9.8. Výkon v obvodoch s harmonickými veličinami

Časový priebeh okamžitého výkonu teda tvoria dve zložky:

•

konštanta

•

periodický harmonický priebeh s dvojnásobnou uhlovou frekvenciou (2

)

 





u

m

t

U

t

u













cos

Nech sú dané harmonické časové priebehy napätia a prúdu všeobecne ako

 



i

m

t

I

t

i













cos

Potom môžeme definovať výkon v ľubovoľnom časovom okamihu (okamžitý výkon) ako súčin

okamžitých hodnôt napätia a prúdu:

     















i

u

i

m

u

m

t

t

UI

t

I

t

U

t

i

t

u

t

p



















































cos

cos

2

cos

cos

Po jednoduchých úpravách s využitím známeho vzťahu pre súčin dvoch harmonických funkcií

dostávame výsledok v tvare

 







i

u

i

u

t

UI

UI

t

p





























2

cos

cos

 

 



































cos

cos

2

1

cos

cos

Z porovnania vzťahu pre konštantnú zložku okamžitého výkonu a definičného výrazu pre

impedanciu vyplýva dôležitá skutočnosť – argument funkcie cos v konštantnej zložke výkonu je

rovný fázovému uhlu impedancie! (možnosť kontroly správnosti numerických výpočtov).

z

i

u

p















9-12

9.8.1. Stredná hodnota výkonu

Časové priebehy napätia u(t), prúdu i(t) a okamžitého výkonu p(t) sú znázornené na obrázku:

t

0

T

u(t)

i(t)

p(t)

Stredná hodnota časového priebehu okamžitého výkonu p(t) je

 





 

p

i

u

T

a

UI

UI

dt

t

p

T

P

P























cos

cos

1

0

Táto veličina sa nazýva činný (skutočný, wattový) výkon a predstavuje časť energie (za

jednotku času), ktorá sa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu nevratne

premení na teplo. Udáva sa vo Wattoch (W).

Všimnite

si,

že

je

zhodný s konštantnou zlo

žkou časového priebehu
výkonu p(t)!

9-13

Ak dosadíme za efektívne rotujúce fázory napätia a prúdu príslušné

definičné vzťahy, možno prvý člen výrazu upraviť do podoby z ktorej

je zrejmé, že reálna časť predstavuje časovo premenlivú zložku výkonu

9.8.2. Komplexná reprezentácia výkonu

* znamená komplexne
združený časový vektor
(rotujúci fázor) prúdu.

Podobne možno upraviť druhý člen výrazu do tvaru z ktorého

vyplýva, že reálna časť predstavuje konštantnú zložku výkonu

   



 







p

i

u

i

u

j

j

t

j

j

t

j

j

e

UI

e

UI

e

e

I

e

e

U

t

t













































 *

I

U

P

Z praktického hľadiska je zaujímavá práve táto (konštantná) časť

časového vektora výkonu, ktorá sa nazýva komplexný výkon:

 

 

p

p

j

j

t

j

t

j

t

j

t

j

e

S

e

UI

e

e

e

e

t

t















































*

*

*

*

I

U

I

U

I

U

I

U

S

Je zrejmé, že táto časť
časového

vektora

nezávisí od času.

Podobne, ako v prípade napätia a prúdu je možné priradiť súčinu

dvoch harmonických funkcií komplexné číslo – časový vektor,

ktorého reálna zložka predstavuje časový priebeh tohoto súčinu.

Pre okamžitý výkon vieme nájsť zodpovedajúci fázor v tvare

 

       t

t

t

t

t

*

I

U

I

U

S









   



 







i

u

i

u

t

j

t

j

j

t

j

j

e

UI

e

e

I

e

e

U

t

t













































2

I

U

Poznámka:
Na rozdiel od výkonu v stacionárnom
ustálenom stave nestačí jednoducho
vynásobiť

fázor

napätia

fázorom

prúdu.

9-14

Im{S}

Re{S}

0

9.8.3. Zložky komplexného výkonu

V praxi sa komplexný výkon najčastejšie vyjadruje v zložkovom tvare:

Reálna zložka komplexného výkonu P je už spomenutý činný výkon:

Činný výkon na pasívnom dvojpóle (impedancii) môže mať len kladné hodnoty.

 

 

p

p

j

p

p

j

e

S

jQ

P

jUI

UI

e

UI

































sin

cos

*

I

U

S

Imaginárna zložka komplexného výkonu Q sa nazýva jalový (reaktívny) výkon a predstavuje

časť energie (za jednotku času) vynaloženú na vytvorenie magnetického, resp. elektrického

poľa na dvojpóle s daným časovým priebehom napätia a prúdu. Udáva sa vo volt-ampéroch

reaktančných (VAr).

Jalový výkon na pasívnom dvojpóle môže mať kladné aj záporné hodnoty (podľa toho, aké

znamienko má imaginárna zložka impedancie - reaktancia).

 

p

UI

P







cos

 

p

UI

Q







sin

Absolútna hodnota (veľkosť) komplexného výkonu S sa nazýva

zdanlivý výkon. Nemá priamy fyzikálny význam. Udáva sa vo volt-

ampéroch (VA).

UI

S



Veličina cos(



p) sa

nazýva účinník.

P

Q

S



p

Poznámka:
Komplexný výkon sa dá znázorniť v
komplexnej

rovine

pomocou

pravouhlého

tzv.

výkonového

trojuholníka. Z geometrie trojuholníka
vyplýva:

2

2

2

Q

P

S





 

P

Q

p 



tg

9-15

9.9. Analýza lineárnych obvodov pomocou komplexnej algebry

Výhody použitia komplexnej reprezentácie obvodových veličín a náhrady pasívnych

obvodových prvkov impedanciami (alebo admitanciami) možno najjednoduchšie demonštrovať

na príklade.

Príklad:
V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané:

R

1

C

2

u

5(t)

L

1

L

4

R

2

R

3

R

4

i

6(t)

















15

20

5

10

4

3

2

1

R

R

R

R

H

0,2

H

0,1

4

1





L

L

F

500

2





C

 

 









































3

4

t

t

i

t

t

u

100

cos

1,5

100

cos

10

6

5

Úloha:
Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych obvodových veličín (napätí aj prúdov)!

Poznámka:
V tomto obvode je 5 neznámych prúdov a 1 neznáme napätie na prúdovom zdroji – spolu 6
neznámych veličín. Potrebujeme teda sformulovať sústavu 6 rovníc so 6 neznámymi
veličinami.

Poznámka:
V skutočnosti potrebujeme 12 rovníc,
pretože u každej obvodovej veličiny
potrebujeme vypočítať amplitúdu aj
fázový uhol.

rad/s

100





9-16

9.9.1. Priame riešenie pomocou harmonických funkcií

Najskôr si ukážeme klasický postup bez využitia fázorov:

R

1

C

2

u

5(t)

L

1

L

4

R

2

R

3

R

4

i

6(t)

Postup pri riešení:
1. V obvode vyznačíme zvolené smery

neznámych

obvodových

veličín

(nesmieme zabudnúť na napätia na
ideálnych prúdových zdrojoch).

2. Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú

vyznačené svetlozelenou farbou)

3. Na základe jeho voľby sformulujeme

pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona
potrebný počet rovníc (podľa toho, akou
metódou ideme obvod riešiť).

a. I. Kirchhoffov zákon využijeme na

určenie 3 rovníc (obvod má 4 uzly).
Zvolené uzly sú vyznačené modrou
farbou.

Rovnice pre vyznačené uzly
(I. Kirchhoffov zákon):

b. II. Kirchhoffov zákon využijeme na

určenie zvyšných 3 rovníc (v obvode
sa dajú zvoliť 3 nezávislé slučky).
Zvolené

slučky

sú

vyznačené

tyrkysovou farbou.

A

B

C

      0









t

i

t

i

t

i

4

1

u5

A:

B:

      0









t

i

t

i

t

i

2

1

6

C:

      0









t

i

t

i

t

i

4

3

2

Rovnice pre vyznačené slučky
(II. Kirchhoffov zákon):

S

3

S

2

S

1

4. Za jednotlivé napätia a prúdy dosadíme

príslušné harmonické funkcie.

S

1:

 

 

 

 

 

  0















t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

C2

R2

L4

R4

L1

R1

S

2:

 

 

 

 

 

  0















t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

t

u

5

R3

C2

R2

L1

R1

S

3:

 

 

 

  0











t

u

t

u

t

u

t

u

i

5

6

L1

R1

i

u5(t)

i

4(t)

i

1(t)

u

i6(t)

i

2(t)

i

3(t)

Poznámka:
Využijeme pri tom známe vzťahy medzi
napätiami a prúdmi na ideálnych
obvodových prvkoch (pozri kapitoly 9.

3., 9.4. a 9.5.).
V príslušných harmonických funkciách
ale nie vždy poznáme amplitúdy a
fázové uhly (sú to neznáme veličiny,
ktoré je potrebné nájsť).
Je zrejmé, že ďalšie pokračovanie v
riešení nemá zmysel, nakoľko by bolo
potrebné

riešiť

sústavu

šiestich

trigonometrických rovníc, pri úprave
ktorých by sme sa nevyhli použitiu
rôznych

súčtových

vzťahov

pre

trigonometrické funkcie a pod.

9-17

Z

1

U

5

Z

2

Z

3

Z

4

I

6

9.9.2. Nepriame riešenie pomocou fázorov – voľba metódy

Na tom istom príklade ukážeme princíp riešenia založený na použití komplexnej reprezentácie

obvodových veličín a náhrady pasívnych obvodových prvkov impedanciami (alebo

admitanciami).

1

1

1

L

j

R









Z

4

5

2

10







j

e

U

Ak nahradíme úseky so skutočnými pasívnymi
prvkami príslušnými impedanciami a zdroje
nahradíme fázormi, dostávame zjednodušený
obvod znázornený na obrázku:

Postup pri riešení:
1. V obvode vyznačíme zvolené smery

fázorov neznámych obvodových veličín.

Jednotlivé impedancie a efektívne fázory
zdrojov majú tvar:

2

2

2

1

C

j

R









Z

3

3

R



Z

4

4

4

L

j

R









Z

3

6

2

1,5









j

e

I

2. Zvolíme pravý strom (jeho vetvy sú

vyznačené svetlozelenou farbou).

I

Z4

I

Z1

I

u5

U

I6

I

Z2

I

Z3

3. Na základe jeho voľby sformulujeme

pomocou I. resp. II. Kirchhoffovho zákona
potrebný počet rovníc (podľa toho, akou
metódou ideme obvod riešiť).
V tomto prípade možno použiť napr.
metódu slučkových (alebo tetivových)
prúdov, resp. uzlových (alebo vetvových)
napätí (vždy stačí riešiť dve rovnice o 2
neznámych).

4. Zvolíme si napr. metódu uzlových napätí.

Uzol 0 zvolíme za referenčný a pomocou I.
Kirchoffovho zákona (podobne ako pri
priamom riešení) pre uzly A, B a C
sformulujeme sústavu 3 rovníc v ktorej
vystupujú fázory 5 neznámych (I

u5 , IZ1, IZ2,

I

Z3, IZ4) a 1 známeho prúdu (I6).

A

B

C

0

9-18



























































4

1

5

4

C0

1

B0

5

1

1

Z

Z

U

Z

U

Z

U

I

1

1

u

A:

Z

1

U

5

Z

2

Z

3

Z

4

I

6

I

Z4

I

Z1

I

u5

U

I6

I

Z2

I

Z3

Nepriame riešenie pomocou fázorov – symbolické riešenie

5

A0

U

U



7. Získané vzťahy dosadíme do rovníc pre

uzly A, B a C. Dostaneme tak sústavu
troch rovníc pre dve neznáme uzlové
napätia (U

B0 a UC0) a jeden neznámy prúd,

ktorý tečie cez napäťový zdroj (I

u5).

0









4

1

5

Z

Z

u

I

I

I

A:

B:

0









2

1

6

Z

Z

I

I

I

C:

0









4

3

2

Z

Z

Z

I

I

I

Rovnice pre fázory prúdov
(I. Kirchhoffov zákon):

6. Fázory neznámych prúdov vyjadríme

pomocou uzlových napätí a známych
impedancií.
Neznáme napätie na prúdovom zdroji (U

I6)

je totožné s uzlovým napätím U

B0.

Uzlové napätie U

A0 je známe, lebo je

totožné s napätím zdroja U

5.

5. V obvode vyznačíme napätia uzlov A, B a

C voči referenčnému uzlu 0 – uzlové
napätia. Sú to pochopiteľne tiež fázory.

8. Po následnej úprave a premiestnení

členov so známymi veličinami na pravé
strany

rovníc

dostaneme

upravenú

sústavu rovníc, ktorú môžeme riešiť
ľubovoľnou matematickou metódou.
Nakoľko neznámy prúd sa nachádza iba v
jedinej rovnici (pre uzol A), postačí
vyriešiť len sústavu zvyšných dvoch
rovníc (pre uzly B a C) pre dve neznáme
uzlové napätia (U

B0

a U

C0).

Ostatné

neznáme veličiny sa totiž dajú vypočítať
pomocou nich.

Sústava upravených rovníc:

B0

6

U

U



i





















































1

5

6

2

C0

2

1

B0

1

Z

U

I

Z

U

Z

Z

U

1

1

1

B:





















































4

5

4

3

2

C0

2

B0

1

Z

U

Z

Z

Z

U

Z

U

1

1

1

1

C:

2

C0

B0

2

Z

U

U

I





Z

2

B0

2

U

I



Z

3

C0

3

Z

U

I



Z

4

C0

A0

4

Z

U

U

I





Z

4

A0

4

U

I



Z

A

B

C

0

U

A0

U

B0

U

C0

1

B0

A0

1

Z

U

U

I





Z

1

A0

1

U

I



Z

Poznámka:
Rovnice pre uzly A, B a C sa dajú
napísať aj pre rotujúce fázory. To ale
nemá žiadny praktický význam, lebo
každý rotujúci fázor obsahuje výraz

ktorý sa vykráti.

t

j

e 



9-19

Nepriame riešenie pomocou fázorov – numerické riešenie

Sústava upravených rovníc s dosadenými
číselnými hodnotami v maticovom tvare:

10. Vyriešením sústavy posledných dvoch

rovníc

získame

číselné

hodnoty

efektívnych fázorov uzlových napätí U

B0 a

U

C0, ktoré dosadíme do prvej rovnice.

Takto určíme aj prúd I

u5.

9. Symbolické

výrazy

pre

jednotlivé

impedancie a fázory napätí zdrojov
nahradíme číselnými hodnotami.

Číselné výsledky riešenia sústavy:

A:
B:

C:

































































































142

,

0

728

,

0

090

,

3

C0

B0

5

174

,

0

816

,

1

816

,

1

048

,

0

214

,

2

356

,

2

2828

,

0

3803

,

1

7810

,

0

0870

,

0

0485

,

0

0

0485

,

0

0618

,

0

0

0400

,

0

0707

,

0

1

j

j

j

u

j

j

j

j

j

j

e

e

e

e

e

e

e

e

e

U

U

I

501

,

0

C0

8025

,

10

j

e





U

382

,

0

B0

9733

,

15

j

e





U

619

,

1

5

1791

,

1

j

u

e





I

Z

1

U

5

Z

2

Z

3

Z

4

I

6

I

Z4

I

Z1

I

u5

U

I6

I

Z2

I

Z3

A

B

C

0

U

A0

U

B0

U

C0

9-20

Určenie časových priebehov z vypočítaných fázorov

11. Pomocou už známych hodnôt uzlových

napätí vypočítame efektívne fázory prúdov
tečúcich cez jednotlivé impedancie.

382

,

0

B0

6

9733

,

15

j

I

e





U

U

202

,

0

2

C0

B0

2

5994

,

0

j

Z

e









Z

U

U

I

501

,

0

3

C0

3

5401

,

0

j

Z

e







Z

U

I

255

,

2

4

C0

A0

4

1792

,

0

j

Z

e









Z

U

U

I

516

,

1

1

B0

A0

1

0405

,

1

j

Z

e









Z

U

U

I

Časové priebehy hľadaných obvodových veličín:

t

j

e 



12. Časové priebehy neznámych obvodových

veličín

určíme

ako

reálne

zložky

maximálnych

rotujúcich

fázorov

(efektívne fázory vynásobíme a
výrazom ).

2

Poznámka:
Veľkosti efektívnych fázorov je možné
odmerať priamo pomocou striedavého
ampérmetra resp. voltmetra. To je
dôvod, prečo sa pri výpočtoch
používajú efektívne fázory.

619

,

1

5

1791

,

1

j

u

e





I







516

,

1

100

cos

2

0405

,

1

1











t

t

i

Efektívne fázory hľadaných obvodových veličín:







202

,

0

100

cos

2

5994

,

0

2











t

t

i







501

,

0

100

cos

2

5401

,

0

3











t

t

i







255

,

2

100

cos

2

1792

,

0

4











t

t

i







619

,

1

100

cos

2

1791

,

1

5











t

t

iu







382

,

0

100

cos

2

9733

,

15

6











t

t

ui

rad/s

100





9-21

9.9.3. Skúška správnosti riešenia

Najspoľahlivejšia skúška správnosti riešenia je výkonová bilancia elektrického obvodu.

Výkonová bilancia spočíva v určení komplexných výkonov všetkých aktívnych (zdrojov) aj

pasívnych prvkov (spotrebičov - impedancií).

Ak sú obvodové veličiny vypočítané správne, súčet komplexných výkonov musí byť nulový.

Re{I}

Im{I}

0

I

Z1

I

Z4

-I

u5

I

u5

0









4

1

5

Z

Z

u

I

I

I

A:

Výkonová bilancia je náročná na numerické
výpočty, preto sa obyčajne robí zjednodušená
skúška správnosti, ktorou sa overuje platnosť
základných rovníc.
Skúsme napr. overiť platnosť I. Kirchhoffovho
zákona pre uzol A:

Poznámka:
Treba si uvedomiť, že I. (ako aj II.) Kirchhoffov
zákon platí pre vektorový súčet fázorov v
komplexnej rovine, ale nie pre veľkosti týchto
fázorov!!! Súčet veľkostí fázorov je:

0

0406

,

0

1792

,

0

0405

,

1

1791

,

1

4

1

5



















Z

Z

u

I

I

I

I

Z1

I

Z4

Z obrázku je zrejmé, že vektorový súčet
fázorov v komplexnej rovine je nulový, čím je
platnosť

rovnice

overená.

Podobným

spôsobom možno overiť platnosť ostatných
rovníc pre fázory prúdov, ako aj napätí.
Dá sa ukázať, že súčet prúdov vystupujúcich v
rovnici pre uzol A bude nulový v ľubovoľnom
časovom okamihu, teda rovnosť je splnená aj
pre rotujúce fázory ako aj ich priemety do
reálnej osi – časové priebehy.

Všetky fázory s meniacim
sa

časom

rotujú

v

komplexnej rovine proti
smeru hodinových ručičiek
s uhlovou rýchlosťou

, ale

ich

vzájomná

poloha

zostáva nezmenená!

9-22

Skúška správnosti riešenia – súčet časových priebehov

Aplikáciou I. Kirchoffovho zákona na uzol A pre časové priebehy sme dostali rovnicu:







516

,

1

100

cos

2

0405

,

1

1











t

t

i







255

,

2

100

cos

2

1792

,

0

4











t

t

i







619

,

1

100

cos

2

1791

,

1

5











t

t

iu

Na obrázku sú znázornené výpočtom zistené časové priebehy prúdov v tejto rovnici:

t

0

i

u5(t)

-i

u5(t)

i

1(t)

i

4(t)

-i

u5(t) + i1(t) + i4(t) = 0

Z obrázku je zrejmé, že v
ľubovoľnom čase je súčet
vyznačených

harmonických

časových priebehov skutočne
nulový.

      0









t

i

t

i

t

i

4

1

u5

A:

9-23

L

1

L

2

M

i

1(t)

i

2(t)

u

1(t)

u

2(t)

9.10. Riešenie obvodov so vzájomnými indukčnosťami

Riešenie elektrických obvodov so vzájomnými indukčnosťami má niektoré špecifiká
vyplývajúce z použitia náhradných modelov reálneho obvodového prvku (transformátora).
Univerzálnou náhradou je štvorpól obsahujúci zdroje napätia riadené prúdmi, v niektorých
prípadoch sa dá použiť náhrada pomocou tzv. T-článku (pozri predchádzajúce časti).

V prípade náhrady pomocou štvorpólu s riadenými zdrojmi je najjednoduchšie použiť metódu

tetivových (slučkových) prúdov, pretože vtedy možno riadiace veličiny zdrojov napätia (prúdy)

priamo stotožniť s neznámymi (a známymi) tetivovými, resp. slučkovými prúdmi.

Ako už bolo spomenuté v predchádzajúcich častiach, štvorpól s riadenými zdrojmi

reprezentujúci prvok so vzájomnou indukčnosťou možno opísať pomocou sústavy dvoch

rovníc v tvare, ktoré platia pre ľubovoľné časové priebehy obvodových veličín:

 

 

 

dt

t

di

L

dt

t

di

M

t

u

2

2

1

2









 

 

 

dt

t

di

M

dt

t

di

L

t

u

2

1

1

1









Ak sa obvod nachádza v harmonickom ustálenom stave, rovnice možno prepísať pomocou

fázorov, ktoré priradíme jednotlivým obvodovým veličinám, do tvaru

2

1

1

1

I

I

U

















M

j

L

j

2

1

1

2

I

I

U

















L

j

M

j

Využili sme skutočnosť, že derivácii
rotujúceho

fázora

podľa

času

zodpovedá vynásobenie pôvodného
(nezderivovaného) fázora výrazom j

.

Znamienka v rovniciach sú určené
smerom riadiacich veličín (prúdov)
vzhľadom

na

začiatok

vinutí;

uvedené rovnice platia v prípade, že
sa magnetické toky vyvolané prúdmi
tečúcimi

cez

jednotlivé

vinutia

spočítavajú.

Poznámka:
Ďalší postup pri riešení takýchto
obvodov je štandardný (pozri metódu
tetivových resp. slučkových prúdov).

9-24

R

1

C

2

u

1(t)

L

1

L

2

M

9.10.1. Obvody so vzájomnými indukčnosťami – príklad

V nasledujúcom príklade ukážeme postup pri formulovaní sústavy rovníc potrebných pre

vyriešenie elektrického obvodu so vzájomnými indukčnosťami v harmonickom ustálenom

stave metódou slučkových prúdov.

i

1(t)





25

1

R

H

0,2

H

0,15

2

1





L

L

F

1000

2





C

 





















4

t

t

u

200

cos

8

1

rad/s

200





Príklad:
V obvode s harmonickými veličinami na obrázku je dané:

H

0,10



M

Úloha:
Vypočítajte časové priebehy všetkých neznámych prúdov!

Postup pri riešení:
1. Úseky so skutočnými pasívnymi prvkami

nahradíme príslušnými impedanciami,
transformátor nahradíme štvorpólovým
prvkom s riadenými zdrojmi a zdroje
nahradíme fázormi.

2. Dostávame

zjednodušený

obvod

znázornený na obrázku.

3. V obvode vyznačíme zvolené smery

fázorov neznámych obvodových veličín.

Z

1

U

1

j

MI

2

j

MI

1

Z

2

I

1

i

2(t)

I

2

1

1

1

L

j

R









Z

2

2

2

C

j

L

j













1

Z

Smery napätí riadených
zdrojov

sú

určené

zvolenými smermi fázorov
prúdov

vzhľadom

na

začiatok vinutí.

9-25

Fomulácia rovníc a numerické riešenie

6. Získané rovnice upravíme do vhodného

tvaru tak, aby na ľavých stranách rovníc
zostali iba členy s neznámymi veličinami.

Z

1

U

1

j

MI

2

j

MI

1

Z

2

I

1

I

2

4. V obvode vyznačíme potrebný počet

uzavretých slučiek.

S

1

S

2





0























2

1

1

1

1

I

I

U

M

j

L

j

R

S

1:

0

1





































2

2

2

1

I

I

C

j

L

j

M

j

S

2:

Sústava upravených rovníc v maticovom tvare:





































































































0

1

1

2

1

2

2

1

1

U

I

I

C

j

L

j

M

j

M

j

L

j

R

8. Vyriešením sústavy dvoch rovníc získame

číselné hodnoty efektívnych fázorov
(slučkových) prúdov I

1 a I2.

7. Symbolické

výrazy

pre

jednotlivé

impedancie a fázory napätí zdrojov
nahradíme číselnými hodnotami.

Číselné výsledky riešenia sústavy:

424

,

1

1

1816

,

0

j

e





I

424

,

1

2

1038

,

0

j

e





I

9. Časové priebehy neznámych prúdov i

1(t) a

i

2(t) určíme ako reálne zložky maximálnych

rotujúcich fázorov.

Časové priebehy hľadaných prúdov:







424

,

1

200

cos

2

1816

,

0

1











t

t

i







424

,

1

200

cos

2

1038

,

0

1











t

t

i

5. Pomocou

II.

Kirchhoffovho

zákona

napíšeme pre každú slučku príslušnú

rovnicu.

9-26

9.11. Záver

Z predchádzajúcich príkladov je zrejmé, že použitie komplexných vektorov (fázorov) prináša

značné zjednodušenie riešenia elektrických obvodov v harmonickom ustálenom stave.

Výhodou takéhoto prístupu je skutočnosť, že sa dajú použiť tie isté postupy a metódy, ako pri

riešení obvodov v stacionárnom ustálenom stave.

Jedinou komplikáciou je to, že namiesto reálnych konštánt pracujeme pri výpočtoch s

komplexnými konštantami (namiesto rezistorov sa v obvode vyskytujú impedancie, namiesto

napätí a prúdov ideálnych zdrojov resp. známych aj neznámych obvodových veličín používame

fázory).

Z uvedeného vyplýva, že nutnou podmienkou úspešného zvládnutia tejto kapitoly predmetu

Elektrické obvody je dokonalé ovládanie komplexného počtu.

Preto je nevyhnutné zopakovať si základné matematické úkony s komplexnými číslami (súčet,

rozdiel, súčin, podiel, umocňovanie a odmocňovanie).

9-27

Príloha

Stredná hodnota periodickej veličiny je definovaná ako výška

obdĺžnika nad periódou T, ktorého plocha je rovnaká ako plocha

pod krivkou určenou daným časovým priebehom:

 







T

ef

dt

t

i

T

I

I

0

2

1

Efektívna hodnota periodickej veličiny je definovaná ako druhá

odmocnina zo strednej hodnoty druhej mocniny priebehu

periodickej veličiny:

V prípade prúdu ju možno interpretovať ako taký stacionárny prúd

I=I

ef, ktorý na danom rezistore R v časovom intervale o dĺžke

periódy T vyvinie rovnaké množstvo tepla, ako periodický prúd i(t).

 





T

a

dt

t

i

T

I

0

1

Stacionárny (jednosmerný) prúd I=I

a prenesie za časový interval o

dĺžke periódy T rovnaké množstvo elektrického náboja ako

periodický prúd i(t).

t

0

=

I

a

T

V prípade harmonického časového priebehu prúdu
(alebo napätia) v tvare

dostávame pre efektívnu hodnotu prúdu (napätia)
výsledok

 









2

cos

1

1

0

2

0

2

m

T

i

m

T

ef

I

dt

t

I

T

dt

t

i

T

I





















T







2

 



i

m

t

I

t

i













cos

Poznámka:
Časť plochy v časovom intervale, kedy
periodická veličina nadobúda záporné hodnoty
sa uvažuje so záporným znamienkom.
Preto je stredná hodnota harmonickej funkcie
nulová (kladná a záporná polvlna sa odčítajú).