derivacia.pdf

Derivácia funkcie

Motivácia pojmu derivácia

Zaujíma nás priemerná intenzita
zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu
populácie, veľkosti elektrického
náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú
veličinu (čas, dĺžka)

Fyzika - mechanika

t

s

t

t

t

s

t

s

v

∆

∆

=

−

−

=

1

2

1

2

)

(

)

(

Priemerná rýchlosť pri pohybe rovnomernom
priamočiarom je v = s/t,

s – dráha
t – čas

Dráha ale môže byť funkciou času (mení sa
s časom). Potom priemerná rýchlosť bude:

Geometria

Je daná funkcia y = f(x) a na nej dva rôzne
body [x

1,f(x1)], [x2 ,f(x2)]. Priamka, ktorá

prechádza týmito dvoma bodmi sa nazýva
sečnica grafu funkcie a má rovnicu:

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

f

x

f

x

x

f

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

f

x

f

y

∆

∆

−

+

∆

∆

=

−

−

−

+

−

−

=

Geometria - pokračovanie

Smernica tejto priamky – sečnice je

x

f

k

∆

∆

=

1

2

3

4

-2

2

4

6

8

10

Motivácia pojmu derivácia

Vo všetkých uvedených prípadoch nás bude
zaujímať situácia, keď sa veličina v menovateli
bude zmenšovať, to jest bude sa skracovať

časový úsek v príklade z fyziky

alebo sa bude skracovať vzdialenosť medzi

dvoma bodmi pri rovnici sečnice...

Pojem derivácie

Napríklad pre rovnicu sečnice. Keď

sa dva body budú k sebe približovať a

teda ich vzdialenosť sa bude limitne

blížiť k nule, sečnica sa zmení na

dotyčnicu ku grafu tejto funkcie v

bode. Hodnota jej smernice bude

teda

x

f

k

x

∆

∆

=

→

∆

0

lim

Pojem derivácie

Geometrický význam derivácie

1

2

3

4

-4

-2

2

4

6

8

10

Definícia derivácie

Nech je daná funkcia f a bod x

∈ D(f).

Deriváciou funkcie f v bode x nazveme
limitu

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

0

'

−

+

=

→

Derivácia nemusí existovať v každom bode
definičného oboru. Ak derivácia existuje, hovoríme,
že funkcia má deriváciu (je diferencovateľná) v bode x
Iné označenia:

)

(

),

(

,

,

f

dx

d

f

D

dx

df

dx

dy

x

Neexistuje derivácia

Príklad funkcií, ktoré nemjú deriváciu

-2

-1

1

2

0.5

1

1.5

2

y = |x|

nemá deriváciu v bode 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y= √x

nemá deriváciu v bode 0

Derivácia ako funkcia

Ak existuje derivácia funkcie f pre každé
x

∈M ⊂D(f), potom zobrazenie

R

M

f

→

:

'

také, že

)

x

(

f

x

'



voláme derivácie funkcie (je to opäť funkcia).
Funkcia je diferencovateľná na uzavretom
intervale ak má deriváciu v každom vnútornom bode
intervalu a v koncových bodoch existujú príslušné
jednostranné limity pre deriváciu.

Vlastnosti diferencovateľných

funkcií

Veta: Ak funkcia f má deriváciu v bode x =c,
potom je v tomto bode spojitá.
Poznámka: Opačná veta neplatí.
Príklad: funkcia y = |x| je spojitá na celom R,
ale nemá deriváciu v bode 0

Derivácie elementárnych funkcií

Konštantná funkcia

y = c

y´= 0

Polynomické funkcie y = xn

y´= n x n-1

(platí aj pre ľubovoľné reálne číslo n)
Exponenciálne funkcie

y = ex

y´ = ex

y = ax

y´ = ax ln a

Logaritmické funkcie

y = ln x

y´ = 1/x

y = log

ax

y´ = 1/(xlna)

Goniometrické funkcie

y = sin x

y´ = cos x

y = cos x

y´ = -sinx

y = tg x

y´ = 1/cos2x

y = cotgx y´ = - 1/sin2x

Derivácie elementárnych funkcií

Cyklometrické

funkcie
y = arcsinx

y=arccos x

y = arctg x

y = arccotg x

2

'

1

1

x

y

−

−

=

2

'

1

1

x

y

+

=

2

'

1

1

x

y

−

=

2

'

1

1

x

y

+

−

=

Pravidlá pre derivovanie

Veta: Nech funkcie f a g sú diferencovateľné.
Potom platí:
(c f)´= c f´, kde c je ľubovoľné reálne číslo
(f+g)´= f´+g´
(f-g)´= f´-g´
(f·g)´= f´·g + g´·f
(f/g)´= (f´ · g – g´ · f)/g2
(f◦g)´(x) = f´(g(x)) · g´(x)

Derivácie výšších rádov

Nech funkcia f´ je opäť

diferencovateľná funkcia. Potom jej
deriváciu voláme druhá derivácia
funkcie f a označujeme f´´. Podobne sa
definujú aj derivácie vyšších rádov.
Označenie: f´´,f´´´, fiv, ...

Ďalšie príklady

Fyzika: Zrýchlenie je derivácia

rýchlosti:

2

2

dt

s

d

dt

dv

a

=

=

Ďalšie príklady

Ekonómia: marginálna hodnota
Nákladová funkcia C(x): sú náklady firmy na výrobu
x výrobkov. Potom

h

x

C

h

x

C

)

(

)

(

−

+

udáva priemerný nárast nákladov na výrobok
Marginálna hodnota nákladovej funkcie je C´(x).
Ekonomické vysvetlenie: ak firma zvýši produkciu
o 1 výrobok, to jest ΔC= C(x+1)-C(x) ~C´(x), teda
marginálna hodnota odhaduje výrobné náklady na
jeden výrobok pri danom počte výrobkov

Ďalšie príklady

Príjmová funkcia R(x) udáva množstvo financií,

ktoré

sa získajú predajom x výrobkov.
Marginálny príjem R´(x) odhaduje nárast príjmu,
ktorý sa dosiahne jednotkovým zvýšením

hodnoty

predaných výrobkov na súčasnej hladine
predávaných výrobkov

Derivácia inverznej funkcie

Nech je funkcia f monotónna na intervale (a,b)
a pre každé x

(a, b) existuje f´(x)≠0. Potom

platí

))

(

(

1

)

(

)

(

1

'

'

1

x

f

f

x

f

−

−

=