vyuder.pdf

Využitie derivácií

Rovnica dotyčnice a normály ku

grafu

Majme funkciu y = f(x) a bod (x

0y0), kde y0 =f(x0).

Rovnica dotyčnice v bode (x

0y0):

Rovnica normály v bode (x

0y0):

)

)(

(

0

0

'

0

x

x

x

f

y

y

−

=

−

)

(

)

(

1

0

0

'

0

x

x

x

f

y

y

−

−

=

−

Dotyčnica a normála ku grafu

-1

1

2

3

4

-1

1

2

3

4

f(x) = x3-2x2 –x +4, bod (1.8; 1.552)
t: y= 1.552+1.52(x-1.8)
n: y = 1.552-0.657895(x-1.8)

Linearizácia

1

2

3

4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

0.5

1

1.5

2

-1

1

2

3

4

0.6

0.8

1.2

1.4

0.5

1

1.5

2

0.8

0.9

1.1

1.2

0.6

0.8

1.2

1.4

y= x2 y = 2x-1 rôzne škály

Linearizácia

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v

bode a.

Potom

L(x) = f(a) + f´(a)(x-a)

je linearizácia funkcie f v bode a
Aproximácia f(x) ~L(x) je štandartná lineárna
aproximácia f v bode a.

Diferencia a diferenciál

Nech x

je bod z D(f) a h>0.

Rozdiel f(x+h) – f(x) nazývame diferencia
funkcie f pre prírastok h.
Nech f má v bode x

deriváciu.

Výraz f´(x)h nazývame diferenciál v
bode x

pre prírastok h

Pre malú hodnotu prírastku h diferenciál
aproximuje hodnotu diferencie

Použitie diferenciálu - príklad

f(x) = 2x2 -2.
Vypočítajte hodnotu diferencie a diferenciálu

v

bode 3 pre prírastok h = 0,01.
f(3,01) – f(3)= 16,1202 – 16 = 0,1202
f´(3)(3,01-3) = 12. 0,01= 0,12

Monotónnosť funkcie

Veta: Nech je funkcia f spojitá na uzavretom
intervale J a má deriváciu v každom vnútornom
bode J. Ak pre každé x vnútri intervalu J platí
f´(x)>0,

rastúca

f´(x)<0

tak je f na intervale J

klesajúca

f´(x)≥0

neklesajúca

f´(x)≤0

nerastúca

Lokálne extrémy

Nech bod c

 D(f). Číslo f(c) je

lokálne maximum funkcie f ak f(x) ≤ f(c) pre
všetky body z definičného oboru z nejakého
otvoreného intervalu I.

lokálne minimum funkcie f ak f(x) ≥ f(c) pre všetky
body z definičného oboru z nejakého otvoreného
Intervalu I.
Ak platia ostré nerovnosti, hovoríme o ostrom lokálnom
maxime, minime

Absolútne extrémy na množine

Nech je M

 D(f), cM. Hodnota f(c) je

absolútne lokálne maximum ak f(x) ≤ f(c) pre
všetky x

 M.

absolútne lokálne minimum ak f(x) ≥ f(c) pre
všetky x

 M.

Ukážka extrémov

-1

1

2

3

-2

2

4

6

8

10

M = <-1.5; 3>

absolútne minimum

lokálne maximum

lokálne minimum

absolútne maximum

Extrémy

Veta: Nech je funkcia f v bode x

0 spojitá a nech

existuje také okolie U(x

0), že v ňom naľavo od

bodu x

0 je funkcia rastúca ( klesajúca) a napravo

od bodu x

0 je klesajúca (rastúca).

Potom funkcia f má v bode x

0 ostré lokálne

maximum ( ostré lokálne minimum).

Extrémy

Veta: Nech má funkcia f v bode x

0 lokálny extrém

a má v tomto bode deriváciu f´(x

0 ).

Potom f(x

0 )=0.

Dôsledok: Funkcia f môže mať lokálny extrém len

v tých bodoch, v ktorých sa jej derivácia rovná
nule, alebo v ktorých derivácia neexistuje.

Je to nutná podmienka extrému, nie postačujúca.
Ak je splnená podmienka f´(x

0 )=0, potom bod x0

nazývame stacionárny bod.

Extrémy

Veta: Nech má funkcia f v bode x

0 prvú a druhú

deriváciu a platí:
f´(x

0 )=0 a f´´(x0 )≠0.

Potom má funkcia v tomto bode lokálny extrém

a

to minimum ak f´´(x

0 )>0

maximum ak f´´(x

0 )<0

Extrémy

Veta: Nech má funkcia f v bode x

0 prvú až n-tú

deriváciu a platí:
f´(x

0 )=0 ...,f

n-1

(x

0 )=0, f

n

(x

0 )≠0.

Potom ak n je párne číslo má funkcia v tomto

bode

lokálny extrém a
to minimum ak fn(x

0 )>0

maximum ak fn(x

0 )<0

Ak n je nepárne, nie je v tomto bode extrém.

Konvexnosť a konkávnosť

Definícia: Nech f je funkcia definovaná a spojitá na
intervale J a v každom vnútornom bode tohto
intervalu má deriváciu. Hovoríme, že funkcia f je
konvexná (konkávna) na intervale J, ak pre

každú dotyčnicu v bode tohto intervalu platí, že
všetky body grafu funkcie okrem dotykového
ležia nad (pod) touto dotyčnicou.

• Konvexná: ak f´(x) je rastúca pre všetky xJ
• Konkávna: ak f´(x) je klesajúca pre všetky xJ

Funkcia x3 a jej dotyčnice

-3

-2

-1

1

2

3

-30

-20

-10

10

20

-3

-2

-1

1

2

3

-20

-10

10

20

30

Derivácia rastie

Derivácia klesá

Veta o konvexnosti a

konkávnosti

Nech funkcia je spojitá na intervale J a v
každom vnútornom bode intervalu má druhú
deriváciu. Ak pre každé x zvnútra intervalu

platí

f´´(x) >0 ( f´´(x) <0 ), tak je funkcia na

intervale

J konvexná (konkávna).

Inflexný bod

Bod x

0 v ktorom má funkcia f deriváciu,

nazývame inflexný bod funkcie f ak je v
niektorom ľavom okolí bodu funkcia konvexná
(konkávna) a v niektorom pravom okolí bodu je
konkávna (konvexná).
Veta: Nech má funkcia f v nejakom okolí bodu x

0

spojitú druhú deriváciu. Nutná podmienka, aby
x

0 bol inflexný bod funkcie f je platnosť: f´´(x0)=0

Intervaly konvexnosti a

konkávnosti pre funkciu cos(x)

2

4

6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

konvexná

konkávna

konkávna

Základné vety diferenciálneho

počtu

Rolleho veta: Nech je funkcia f spojitá na
uzavretom intervale [a,b] a v každom bode
otvoreného intervalu (a,b) má deriváciu.

Nech

naviac platí: f(a)=f(b). Potom v intervale (a,b)
existuje aspoň jeden bod ξ taký, že f´(ξ)=0.

Základné vety diferenciálneho

počtu

Lagrangeova veta o prírastku funkcie: Nech je
funkcia f spojitá na uzavretom intervale [a,b] a
v každom bode otvoreného intervalu (a,b) má
deriváciu. Potom v intervale (a,b) existuje aspoň
jeden bod ξ taký, že

f(b) –f(a) = f´(ξ)(b-a).

L´Hospitalovo pravidlo

Nech platí:

a nech existuje vlastná
alebo nevlastná limita

Potom existuje aj

a platí

0

)

(

lim

)

(

lim

=

=

→

→

x

g

x

f

a

x

a

x

A

exi

stuj

e

vlas

tn

á

ale

bo

nevla

s

tná

lim

ita

)

(

)

(

lim

'

'

x

g

x

f

a

x

→

a ne

ch

exi

stu

je

vlas

tná

ale

bo ne

vlast

ná li

mit

a

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

a

x

→

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

'

'

x

g

x

f

x

g

x

f

a

x

a

x

→

→

=

Diferenciály vyšších rádov

Diferenciál n-tého rádu funkcie f v bode a je
výraz

dnf(a,x) = f(n)(a)(x-a)n

Ak existuje n-tá derivácia v bode a.

Taylorov mnohočlen

Nech má funkcia f v bode a všetky derivácie až
do rádu n. Potom mnohočlen premennej x
voláme Taylorov mnohočlen funkcie f v bode a.

n

n

n

a

x

n

a

f

a

x

a

f

a

x

a

f

a

f

x

a

f

T

)

(

!

)

(

...

)

(

!

2

)

(

)

(

!1

)

(

)

(

)

,

,

(

)

(

2

''

'

−

+

+

−

+

−

+

=

Taylorova veta

Nech má funkcia f v intervale [a,b] spojité
derivácie až do rádu n a deriváciu (n+1)- v
otvorenom intervale. Potom pre každé x



[a,b] existuje také číslo r

 (a,b). že platí:

1

1

)

(

)!

1

(

)

(

)

,

,

(

)

(

+

+

−

+

+

=

n

n

n

a

x

n

r

f

a

x

f

T

x

f