nechodím na prednáškylimita.pdf
Limity
Stiahnuť PDF · 136 kBPreber si túto poznámku so svojou AI
Skopíruj pripravený podklad a vlož ho do ChatGPT, Claude alebo inej AI — bude ťa učiť alebo skúšať len z tejto poznámky.
Náhľad poznámky
Limita a spojitosť funkcie
Príklady
• Máme funkciu, ktorá nie je
definovaná vo všetkých reálnych
číslach, ako môže vyzerať situácia
okolo týchto bodov?
y = -1/x, nie definovaná v bode
0
-2
-1
1
2
-4
-2
2
4
y = (x3-8)/(x2 -4), nie je definovaná
v bode 2
-2
-1
1
2
3
1
2
3
4
5
y = 1/x2 nie je definovaná v
bode 0
-2
-1
1
2
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
y = (1+x)1/x, nie je definovaná v
bode 0
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
In[46]:=
Do
@Print@x, "
",
H1+ xL^H1 xLD,
8x, 0.1, 0.000000001, -0.01<D
0.1
2.59374
0.09
2.60525
0.08
2.61696
0.07
2.62886
0.06
2.64098
0.05
2.6533
0.04
2.66584
0.03
2.6786
0.02
2.69159
0.01
2.70481
Funkcia definovaná predpisom:
=
≠
=
2
,
3
2
,
x
x
x
y
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
2
3
4
5
Neformálna definícia limity
• Ak sa hodnoty funkcie f(x) blížia k
hodnote L v prípade, že sa hodnoty x
blížia k číslu c, hovoríme, že funkcia f má
v bode c limitu rovnú L:
L
x
f
c
x
=
→
)
(
lim
Funkcia definovaná predpisom:
≥
−
<
−
=
1
,
3
1
,
2
1
)
(
x
x
x
x
x
f
-1
1
2
3
-2
-1
1
2
3
Jednostranné limity
)
(
lim
x
f
c
x
+
→
)
(
lim
x
f
c
x
−
→
1
2
1
lim
1
−
=
−
−
→
x
x
Limita sprava
Limita zľava
Pre náš príklad:
2
3
lim
1
−
=
−
+
→
x
x
Veta:
• Funkcia f má v bode c limitu práve vtedy
keď
existujú limita sprava aj limita zľava a
rovnajú sa.
L
x
f
x
f
x
f
c
x
c
x
c
x
=
=
=
→
→
→
−
+
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
Príklady
−∞
=
−
→
x
x
1
lim
0
∞
=
+
→
x
x
1
lim
0
Existujú nevlastné jednostranné limity, ale sú rôzne
Neexistuje obojstranná limita
x
x
1
lim
0
→
Príklady
∞
=
→
2
0
1
lim
x
x
Existuje nevlastná limita
(vo vlastnom bode)
0
1
lim
=
∞
→
x
x
Existuje vlastná limita
v nevlastnom bode
Veta: Vlastnosti limít
Ak existujú vlastné
limity
L
x
f
c
x
=
→
)
(
lim
K
x
g
c
x
=
→
)
(
lim
a
Potom platí:
K
L
x
g
x
f
x
g
x
f
c
x
c
x
c
x
+
=
+
=
+
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
K
L
x
g
x
f
x
g
x
f
c
x
c
x
c
x
−
=
−
=
−
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
K
L
x
g
x
f
x
g
x
f
c
x
c
x
c
x
⋅
=
⋅
=
⋅
→
→
→
)
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
Veta: Vlastnosti limít -pokračovanie
R
k
L
k
x
f
k
x
kf
c
x
c
x
∈
⋅
=
⋅
=
→
→
,
)
(
lim
))
(
(
lim
0
,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
≠
=
=
→
→
→
K
K
L
x
g
x
f
x
g
x
f
c
x
c
x
c
x
Veta: Porovnávanie limít
Nech platí:
)
(
)
(
)
(
x
h
x
f
x
g
≤
≤
pre všetky
c
x
≠ v nejakom otvorenom intervale okolo bodu c.
L
x
h
x
g
c
x
c
x
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
Potom platí
L
x
f
c
x
=
→
)
(
lim
Nech platí
Veta: Vlastnosti limít
Ak
0
)
(
lim
=
→
x
f
c
x
0
)
)(
(
lim
=
⋅
→
x
g
f
c
x
a funkcia g je ohraničená v okolí bodu c, tak
Dôležité limity
0
,
0
lim
<
=
∞
→
a
ak
xa
x
1
0
,
0
lim
<
<
=
∞
→
a
ak
ax
x
1
,
lim
>
∞
=
∞
→
a
ak
ax
x
0
,
lim
>
∞
=
∞
→
a
ak
xa
x
1
)
sin(
lim
0
=
→
x
x
x
1
,
0
)
(
log
lim
>
=
∞
→
a
x
x
a
x
0
)
sin(
lim
=
∞
→
x
x
x
a
x
a x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
e
x x
x
=
+
→
1
0
)
1
(
lim
e
x
x
x
=
+
∞
→
)
1
1
(
lim
Spojitosť funkcie
Nech bod c je vnútorným bodom definičného oboru
funkcie f. Hovoríme, že funkcia je spojitá v bode c,
práve vtedy, keď platí:
)
(
)
(
lim
c
f
x
f
c
x
=
→
Nech bod c je ľavý (pravý) koncový bod definičného oboru
funkcie f. Hovoríme, že funkcia je spojitá v bode c, práve
vtedy, keď platí:
)
(
)
(
lim
c
f
x
f
c
x
=
+
→
)
(
)
(
lim
c
f
x
f
c
x
=
−
→
c je ľavý koncový bod
c je pravý koncový bod
Spojitosť funkcie - pokračovanie
Funkcia je spojitá na množine M, ak je
spojitá
v každom bode množiny M.
Príklady: Polynomické funkcie sú spojité na
celom R.
Funkcia 1/x je na definičnom obore spojitá, v
bode 0, ktorý nie je bod definičného oboru
je
nespojitá
Veta: Vlastnosti spojitých funkcií
1. Ak sú funkcie f a g spojité v bode c, potom
aj súčet, rozdiel, súčin a podiel ( za
predpokladu, že g(c)
≠0) týchto funkcií je
spojitá funkcia
2. Zúženie spojitej funkcie je spojitá funkcia
3. Ak funkcia f je spojitá v bode c a funkcia g
je spojitá v bode f(c), potom aj g
°f je spojitá
v bode c.
4. Ak je prostá funkcia spojitá v bode c, potom
aj k nej inverzná funkcia je spojitá v bode c.
Asymptoty grafu funkcie
Zaujíma nás, ako sa graf funkcie správa, ked sa
premenná vzďaluje do nekonečna, prípadne v
bodoch, ktoré nie sú v definičnom obore.
Body grafu sa môžu približovať k nejakej
priamke. Takúto priamku voláme asymptota.
Asymptota bez smernice je priamka x=b, taká,že
±∞
=
±
→
)
(
lim
x
f
b
x
Asymptoty grafu funkcie
Asymptota so smernicou je priamka y = kx +q,
kde
x
x
f
k
x
)
(
lim
±∞
→
=
)
)
(
(
lim
kx
x
f
q
x
−
=
±∞
→
Okolie bodu
Definícia: Nech a, δ>0 sú ľubovoľné reálne
čísla. Interval (a- δ,a+ δ) budeme nazývať
okolím (δ-okolím) bodu a. Označenie O
δ(a).
Interval (a- δ,a> nazývame ľavým okolím bodu a
Interval <a,a+ δ) nazývame pravým okolím bodu
a
Interval (N,∞) pre ľubovoľné reálne číslo N
nazývame okolie bodu ∞
Interval (- ∞ ,N) pre ľubovoľné reálne číslo N
nazývame okolie bodu -∞
Okolie bodu
Interval (a- δ,a+ δ) je množina takých x, pre
ktoré platí:
|x-a|< δ
Definícia limity
Nech je funkcia definovaná v okolí bodu a
pričom v tomto samotnom bode nemusí byť
definovaná. Hovoríme, že funkcia f má v
bode a limitu L práve vtedy, keď platí:
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
|
)
(
|
|
|
);
(
;0
0
L
x
f
a
x
f
D
x
Automaticky vygenerovaný textový náhľad. Pre plné formátovanie si stiahnite súbor.