nechodím na prednáškyintegraly.pdf
Stiahnuť PDF · 1,0 MBPreber si túto poznámku so svojou AI
Skopíruj pripravený podklad a vlož ho do ChatGPT, Claude alebo inej AI — bude ťa učiť alebo skúšať len z tejto poznámky.
Náhľad poznámky
Neurcˇity´ integra´l
Robert Marˇı´k
27. ledna 2006
Obsah
Definice neurcˇite´ho integra´lu
5
7
Z
√
x3
x ) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Z
tg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
⊳ ⊳
c
Robert Marˇı´k, 2006
Z
x2 + 4x + 5
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Z
x2 + 4
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Z
(x + 6)3
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Z
f (ax + b) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Z
x2
− 4x + 9
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
57
Rozklad s neurcˇity´mi koeficienty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Z
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Z
x4
x3 + x2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Z
x3
− 8
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
105
⊳ ⊳
c
Robert Marˇı´k, 2006
Z
(x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Z
x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Z
(x − 2) sin(2x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Z
(x2 + 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Z
(x2 + 1)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Z
x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Z
ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Z
ln2 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Z
x3 sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Z
(x3 + 2x)e−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
173
Z
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
⊳ ⊳
c
Robert Marˇı´k, 2006
Z
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Z
x4 + 16
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Z
√
x+1
x + 1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Z
tg3 x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Z
(2 + cos x) sin x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Z
√
x + 1
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Z
√
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
251
Z
arcsin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
⊳ ⊳
c
Robert Marˇı´k, 2006
1
Definice neurcˇite´ho integra´lu
Definice
(neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a
F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´
F′(x) = f (x) pro vsˇechna x
∈ I,
(1)
nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce
f na intervalu I. Zapisujeme
Z
f (x) dx = F(x).
Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f
integrovatelna´ na I.
Primitivnı´ funkce F(x) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace.
Veˇta 1
(postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité
funkci existuje neurčitý integrál.
c
Robert Marˇı´k, 2006
1
Definice neurcˇite´ho integra´lu
Definice
(neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a
F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´
F′(x) = f (x) pro vsˇechna x
∈ I,
(1)
nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce
f na intervalu I. Zapisujeme
Z
f (x) dx = F(x).
Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f
integrovatelna´ na I.
Primitivnı´ funkce F(x) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace.
Veˇta 1
(postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité
funkci existuje neurčitý integrál.
c
Robert Marˇı´k, 2006
1
Definice neurcˇite´ho integra´lu
Definice
(neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a
F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´
F′(x) = f (x) pro vsˇechna x
∈ I,
(1)
nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce
f na intervalu I. Zapisujeme
Z
f (x) dx = F(x).
Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f
integrovatelna´ na I.
Primitivnı´ funkce F(x) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace.
Veˇta 1
(postacˇujı´cı´ podmı´nka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke každé spojité
funkci existuje neurčitý integrál.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Veˇta 2
(jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu
k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí
následující:
• Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) =
F(x) + c, kde c
∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.
• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na
intervalu
I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c
∈ R takové, že
F(x) = G(x) + c
pro všechna
x
∈ I.
Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m
nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇı´va´
pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´
integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇı´klad e−x
2
je nerˇesˇitelny´ ve trˇı´deˇ
elementa´rnı´ch funkcı´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Veˇta 2
(jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu
k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí
následující:
• Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) =
F(x) + c, kde c
∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.
• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na
intervalu
I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c
∈ R takové, že
F(x) = G(x) + c
pro všechna
x
∈ I.
Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m
nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇı´va´
pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´
integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇı´klad e−x
2
je nerˇesˇitelny´ ve trˇı´deˇ
elementa´rnı´ch funkcı´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Veˇta 2
(jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu
k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí
následující:
• Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) =
F(x) + c, kde c
∈ R je libovolná konstanta nezávislá na x.
• Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na
intervalu
I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c
∈ R takové, že
F(x) = G(x) + c
pro všechna
x
∈ I.
Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m
nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇı´va´
pouze ve spra´vne´ aplikaci vzorcu˚ pro derivova´nı´, proble´m nale´zt neurcˇity´
integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇı´klad e−x
2
je nerˇesˇitelny´ ve trˇı´deˇ
elementa´rnı´ch funkcı´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
2
Za´kladnı´ vzorce
Veˇta 3. Nechť
f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na
intervalu I platí
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx,
Z
c f (x) dx = c
Z
f (x) dx.
Veˇta 4. Nechť
f je funkce integrovatelná na I.
Pak
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in-
tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b
∈ I.
Veˇta 5. Nechť funkce
f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na
tomto intervalu platí
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| .
c
Robert Marˇı´k, 2006
2
Za´kladnı´ vzorce
Veˇta 3. Nechť
f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na
intervalu I platí
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx,
Z
c f (x) dx = c
Z
f (x) dx.
Veˇta 4. Nechť
f je funkce integrovatelná na I.
Pak
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in-
tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b
∈ I.
Veˇta 5. Nechť funkce
f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na
tomto intervalu platí
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| .
c
Robert Marˇı´k, 2006
2
Za´kladnı´ vzorce
Veˇta 3. Nechť
f , g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na
intervalu I platí
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx,
Z
c f (x) dx = c
Z
f (x) dx.
Veˇta 4. Nechť
f je funkce integrovatelná na I.
Pak
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) , kde F je funkce primitivní k funkci f na in-
tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax + b
∈ I.
Veˇta 5. Nechť funkce
f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom na
tomto intervalu platí
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| .
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(2x + 3
4
√
+
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
dx + 6
Z
x−3 dx
−
Z
sin x dx +
Z
ex dx
= 2
x2
2
+ 3
x5/4
5/4
+ 6
x−2
−2
− (− cos x) + e
x + C
= x2 +
12
5
x5/4
− 3
1
x2
+ cos x + ex + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(2x + 3
4
√
+
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
dx + 6
Z
x−3 dx
−
Z
sin x dx +
Z
ex dx
= 2
x2
2
+ 3
x5/4
5/4
+ 6
x−2
−2
− (− cos x) + e
x + C
= x2 +
12
5
x5/4
− 3
1
x2
+ cos x + ex + C
• Integra´l ze soucˇtu je soucˇet integra´lu˚.
• Integra´l na´sobku funkce je na´sobek integra´lu.
• Neˇktere´ funkce je mozˇno prˇepsat na mocninne´ funkce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(2x + 3
4
√
+
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
dx + 6
Z
x−3 dx
−
Z
sin x dx +
Z
ex dx
= 2
x2
2
+ 3
x5/4
5/4
+ 6
x−2
−2
− (− cos x) + e
x + C
= x2 +
12
5
x5/4
− 3
1
x2
+ cos x + ex + C
•
Z
xn dx =
xn+1
n + 1
•
Z
sin x dx =
− cos x
•
Z
ex dx = ex
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(2x + 3
4
√
+
6
x3
− sin x + e
x ) dx.
I =
Z
(2x + 3
4
√
x +
6
x3
− sin x + e
x ) dx
= 2
Z
x dx + 3
Z
x
1
4
dx + 6
Z
x−3 dx
−
Z
sin x dx +
Z
ex dx
= 2
x2
2
+ 3
x5/4
5/4
+ 6
x−2
−2
− (− cos x) + e
x + C
= x2 +
12
5
x5/4
− 3
1
x2
+ cos x + ex + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
tg x dx.
I =
Z
tg x dx
=
Z
sin x
cos x
dx
= −
Z
− sin x
cos x
dx
= −
Z
(cos x)′
cos x
dx
= − ln | cos x| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
tg x dx.
I =
Z
tg x dx
=
Z
sin x
cos x
dx
= −
Z
− sin x
cos x
dx
= −
Z
(cos x)′
cos x
dx
= − ln | cos x| + C
Pouzˇijeme definici funkce tangens.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
tg x dx.
I =
Z
tg x dx
=
Z
sin x
cos x
dx
= −
Z
− sin x
cos x
dx
= −
Z
(cos x)′
cos x
dx
= − ln | cos x| + C
• Platı´ (cos x)′ =
− sin x. Cˇitatel se tedy lisˇı´ od derivace jmenovatele jenom
konstantı´m na´sobkem.
• Vyna´sobı´me a vydeˇlı´me integra´l tı´mto na´sobkem.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
tg x dx.
I =
Z
tg x dx
=
Z
sin x
cos x
dx
= −
Z
− sin x
cos x
dx
= −
Z
(cos x)′
cos x
dx
= − ln | cos x| + C
Forma´lneˇ pouzˇijeme vztah (cos x)′ =
− sin x, abychom videˇli vzorec
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| + C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
tg x dx.
I =
Z
tg x dx
=
Z
sin x
cos x
dx
= −
Z
− sin x
cos x
dx
= −
Z
(cos x)′
cos x
dx
= − ln | cos x| + C
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx.
I =
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
2x + 4
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
(x2 + 4x + 5)′
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
ln(x2 + 4x + 5) + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx.
I =
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
2x + 4
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
(x2 + 4x + 5)′
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
ln(x2 + 4x + 5) + C
• Platı´ (x
2 + 4x + 5)′ = 2x + 4. Cˇitatel se tedy lisˇı´ od derivace jmenovatele
jenom konstantı´m na´sobkem.
• Vyna´sobı´me a vydeˇlı´me integra´l tı´mto na´sobkem.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx.
I =
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
2x + 4
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
(x2 + 4x + 5)′
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
ln(x2 + 4x + 5) + C
Prˇepı´sˇeme do tvaru
Z
f ′(x)
f (x)
dx.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx.
I =
Z
x + 2
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
2x + 4
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
Z
(x2 + 4x + 5)′
x2 + 4x + 5
dx
=
1
2
ln(x2 + 4x + 5) + C
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2 + 4
dx.
I =
Z
x + 5
x2 + 4
dx
=
Z
1
2
·
2x
x2 + 4
+
5
x2 + 4
dx
=
1
2
ln(x2 + 4) + 5
1
2
arctg
x
2
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2 + 4
dx.
I =
Z
x + 5
x2 + 4
dx
=
Z
1
2
·
2x
x2 + 4
+
5
x2 + 4
dx
=
1
2
ln(x2 + 4) + 5
1
2
arctg
x
2
+ C
• Derivace jmenovatele je x, v cˇitateli vsˇak nenı´ na´sobek te´to funkce.
• Vzorec
Z
f ′(x)
f (x)
dx nelze prˇı´mo pouzˇı´t.
• Rozdeˇlı´me zlomek na dva.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2 + 4
dx.
I =
Z
x + 5
x2 + 4
dx
=
Z
1
2
·
2x
x2 + 4
+
5
x2 + 4
dx
=
1
2
ln(x2 + 4) + 5
1
2
arctg
x
2
+ C
• V prvnı´m zlomku je v cˇitateli polovina derivace jmenovatele.
• Proto prvnı´ zlomek vyna´sobı´me a vydeˇlı´me dveˇma.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2 + 4
dx.
I =
Z
x + 5
x2 + 4
dx
=
Z
1
2
·
2x
x2 + 4
+
5
x2 + 4
dx
=
1
2
ln(x2 + 4) + 5
1
2
arctg
x
2
+ C
•
Z
f ′(x)
f (x)
= ln | f (x)| + C
•
Z
1
A2 + x2
dx =
1
A
arctg
x
A
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
1
(x + 6)3
dx.
I =
Z
1
(x + 6)3
dx
=
Z
(x + 6)−3 dx
=
(x + 6)−2
−2
= −
1
2(x + 6)2
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
1
(x + 6)3
dx.
I =
Z
1
(x + 6)3
dx
=
Z
(x + 6)−3 dx
=
(x + 6)−2
−2
= −
1
2(x + 6)2
+ C
Jedna´ se o mocninnou funkci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
1
(x + 6)3
dx.
I =
Z
1
(x + 6)3
dx
=
Z
(x + 6)−3 dx
=
(x + 6)−2
−2
= −
1
2(x + 6)2
+ C
•
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), kde F je integra´l z f .
• V nasˇem prˇı´padeˇ je f (x) = x−
3, F(x) =
x−2
−2
a a = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
1
(x + 6)3
dx.
I =
Z
1
(x + 6)3
dx
=
Z
(x + 6)−3 dx
=
(x + 6)−2
−2
= −
1
2(x + 6)2
+ C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
•
Z
1
x
dx = ln
|x|
•
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), v nasˇem prˇı´padeˇ a = 2.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
Prˇepı´sˇeme na mocninnou funkci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
•
Z
xn dx =
1
n + 1
xn+1
•
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), v nasˇem prˇı´padeˇ a =
−1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
•
Z
ex dx = ex
•
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), v nasˇem prˇı´padeˇ a =
−1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
1
2x + 5
dx =
1
2
ln
|2x + 5| + C
Z
1
(2 − x)5
dx =
Z
(2 − 1 · x)−
5 dx
=
(2 − x)−4
−4
·
1
−1
=
1
4(2
− x)4
+ C
Z
e−x dx =
−e−
x + C
Z
e3x dx =
1
3
e3x + C
•
Z
ex dx = ex
•
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), v nasˇem prˇı´padeˇ a = 3.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Upravı´me podle vzorce (a + b)2:
(ex + e−x)2 = e2x + 2exe−x + e−2x = e2x + 2 + e−2x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Integrujeme podle vzorcu˚
Z
ex dx = ex ,
Z
1 dx = x ,
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) , kde
Z
f (x) dx = F(x).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Pouzˇijeme vzorec
sin(2x) = 2 sin x cos x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Integrujeme podle vzorcu˚
Z
sin x dx =
− cos x
a
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) , kde
Z
f (x) dx = F(x).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Vzorec
sin2 x =
1
− cos(2x)
2
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Z
cos x dx = sin x
Z
f (ax + b) =
1
a
F(ax + b)
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Potrˇebujeme vydeˇlit. K tomu je mozˇno prˇeve´st cˇitatel na tvar, ktery´ pozdeˇji
umozˇnı´ zkra´tit.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
x2
− 1 + 1
x + 1
=
x2
− 1
x + 1
+
1
x + 1
= x − 1 +
1
x + 1
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte na´sledujı´cı´ integra´ly.
Z
(ex + e−x)2 dx =
Z
(e2x + 2 + e−2x) dx
=
1
2
e2x + 2x
−
1
2
e−2x + C
Z
sin x cos x dx =
1
2
Z
sin(2x) dx =
1
2
·
1
2
· (− cos 2x) + C
Z
sin2 x dx =
1
2
Z
1
− cos(2x)
dx =
1
2
h
x
−
1
2
sin(2x)
i
+ C
Z
x2
x + 1
dx =
Z
x2
− 1 + 1
x + 1
dx =
Z
x
− 1 +
1
x + 1
dx
=
x2
2
− x + ln |x + 1| + C
Z
xn dx =
1
n + 1
xn+1,
Z
1
x
dx = ln
|x|,
Z
f (ax + b) dx =
1
a
f (ax + b)
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
“Zasˇifrujeme” derivaci jmenovatele, tj. vy´raz (2x
− 4), do cˇitatele.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
• Musı´me upravit zlomek tak, aby se zlomky v prvnı´m a druhe´m integra´lu
rovnaly.
• K teˇmto u´prava´m pouzˇijeme jenom multiplikativnı´ a aditivnı´ konstanty
(nenadeˇlajı´ “moc velkou neplechu” prˇi integraci).
• Prˇida´nı´m na´sobku
1
2
ma´me ve druhe´m zlomku v cˇitateli vy´raz
1
2
(2x − 4) = x − 2. Koeficient u x je v porˇa´dku.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
•
1
2
(2x − 4) = x − 2
•
1
2
(2x − 4) + 2 = x
• Nynı´ je v cˇitateli jenom x. Chybı´ cˇı´slo 5.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
•
1
2
(2x − 4) = x − 2
•
1
2
(2x − 4) + 2 = x
•
1
2
(2x − 4) + 2 + 5 = x + 5
• Prvnı´ a druhy´ zlomek jsou stejne´, nedopustili jsme se zˇa´dne´ u´pravy,
ktera´ by zmeˇnila hodnotu zlomku.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Rozdeˇlı´me zlomek na dva.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Z
f ′(x)
f (x)
= ln | f (x)| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Doplnı´me na cˇtverec ve jmenovateli druhe´ho zlomku.
x2
− 4x + 9 = x
2 − 2 · 2 · x + 22 − 4 + 9 = (x − 2)2 + 5
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Z
1
A2 + x2
dx =
1
A
arctg
x
A
, kde v nasˇem prˇı´padeˇ A =
√
5
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F(ax + b), v nasˇem prˇı´padeˇ a = 1
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx.
I =
Z
x + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2 (2x − 4)+2+5
x2
− 4x + 9
dx
=
Z
1
2
·
2x
− 4
x2
− 4x + 9
+
2 + 5
x2
− 4x + 9
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(x − 2)2 + 5
dx
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x
− 2
√
5
+ C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
3
Parcia´lnı´ zlomky.
Motivace.
Secˇtenı´m zlomku˚ se lze prˇesveˇdcˇit, zˇe platı´
1
x
− 1
−
1
x
−
1
x2
=
1
x2(x
− 1)
Z leve´ na pravou stranu prˇejdeme prˇevedenı´m na spolecˇne´ho jmenovatele a
secˇtenı´m zlomku˚.
Napsat z vy´razu na leve´ strane vy´raz na straneˇ prave´ zatı´m neumı´me, ale bylo
by vhodne´ se to naucˇit, protozˇe vy´raz nalevo je snadne´ integrovat, cozˇ se o
vy´razu napravo rˇı´ci neda´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Definice.
Necht’ R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je raciona´lnı´ funkce. Je-li n
≥ m, nazy´va´ se
funkce R(x) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇı´padeˇ ryze lomena´.
Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze
lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem).
Veˇta 7. Buď
R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy
Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom-
plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu
A1
x
− c
,
A2
(x − c)2
, . . . ,
Ak
(x − c)k
, a
Bx + C
x2 + Mx + N
,
kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále).
Definice.
Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Definice.
Necht’ R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je raciona´lnı´ funkce. Je-li n
≥ m, nazy´va´ se
funkce R(x) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇı´padeˇ ryze lomena´.
Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze
lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem).
Veˇta 7. Buď
R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy
Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom-
plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu
A1
x
− c
,
A2
(x − c)2
, . . . ,
Ak
(x − c)k
, a
Bx + C
x2 + Mx + N
,
kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále).
Definice.
Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Definice.
Necht’ R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je raciona´lnı´ funkce. Je-li n
≥ m, nazy´va´ se
funkce R(x) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇı´padeˇ ryze lomena´.
Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze
lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem).
Veˇta 7. Buď
R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy
Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom-
plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu
A1
x
− c
,
A2
(x − c)2
, . . . ,
Ak
(x − c)k
, a
Bx + C
x2 + Mx + N
,
kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále).
Definice.
Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Definice.
Necht’ R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je raciona´lnı´ funkce. Je-li n
≥ m, nazy´va´ se
funkce R(x) neryze lomena´, v opacˇne´m prˇı´padeˇ ryze lomena´.
Veˇta 6. Každou neryze lomenou funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze
lomené funkce (pomocí dělení se zbytkem).
Veˇta 7. Buď
R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
ryze lomená funkce. Předpokládejme, že polynomy
Pn(x) a Qm(x) nemají společné kořeny a že polynom Qm(x) nemá násobné kom-
plexní kořeny. Funkci R(x) lze zapsat jako součet funkcí typu
A1
x
− c
,
A2
(x − c)2
, . . . ,
Ak
(x − c)k
, a
Bx + C
x2 + Mx + N
,
kde Ai, B a C jsou vhodné konstanty (Jak? – viz. dále).
Definice.
Zlomky uvedene´ v prˇedchozı´ veˇteˇ nazy´va´me parcia´lnı´ zlomky.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
• Prvnı´ zlomek obsahuje trˇi rea´lne´ jednoduche´ korˇeny.
• Dostaneme trˇi parcia´lnı´ zlomky s konstantou v cˇitateli a linea´rnı´m vy´ra-
zem ve jmenovateli.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
Nejprve rozlozˇı´me na soucˇin ve jmenovateli. Rozklad je
x3
− 1 = (x − 1)(x
2 + x + 1).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
• Rozklad (x
− 1)(x
2 + x + 1) ukazuje, zˇe jmenovatel ma´ jeden rea´lny´
jednoduchy´ korˇen a dva komplexneˇ sdruzˇene´ korˇeny.
• Parcia´lnı´ zlomek prˇı´slusˇny´ ke komplexnı´m korˇenu˚m obsahuje v cˇitateli
linea´rnı´ funkci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
Jmenovatel ma´ dva rea´lne´ korˇeny. Oba jsou na´sobnosti dva.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky (neurcˇite´ koeficienty nepocˇı´tejte).
x2
(x − 1)x(x + 3)
=
A
x
− 1
+
B
x
+
C
x + 3
x
x3
− 1
=
A
x
− 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
3x
− 2
(x − 1)2x2
=
A
x
− 1
+
B
(x − 1)2
+
C
x
+
D
x2
x2 + 2x + 1
(x2 + 1)(x + 2)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 2
+
D
(x + 2)2
Jmenovatel ma´ jeden jednoduchy´ rea´lny´ korˇen a dva komplexneˇ sdruzˇene´
korˇeny.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Napı´sˇeme rozklad s neurcˇity´mi koeficienty.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Vyna´sobı´me rovnici spolecˇny´m jmenovatelem (x
− 1)(x + 2)(x − 2).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Dosadı´me x = 1 do cˇervene´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Dosta´va´me rovnici neobsahujı´cı´ ani B, ani C. Tuto rovnici rˇesˇı´me vzhledem k
A.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Dosadı´me x =
−2 do cˇervene´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Vy´sledna´ rovnice obsahuje pouze koeficient B.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Vypocˇteme koeficient B.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Dosadı´me x = 2 do cˇervene´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Vy´sledna´ rovnice obsahuje pouze koeficient C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1 = A(x + 2)(x
− 2) + B(x − 1)(x − 2) + C(x − 1)(x + 2)
x = 1
⇒
2 = A3(
−1) + B · 0 + C · 0
⇒
A =
−
2
3
x =
−2
⇒
5 = A
· 0 + B (−3) (−4) + C · 0
⇒
B =
5
12
x = 2
⇒
5 = A
· 0 + B · 0 + 4C
⇒
C =
5
4
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
= −
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2 Z
1
dx +
5 Z
1
dx +
5 Z
1
dx
Vypocˇteme C. Nynı´ zna´me vsˇechny neurcˇite´ koeficienty.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
−
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2
3
Z
1
x
− 1
dx +
5
12
Z
1
x + 2
dx +
5
4
Z
1
x
− 2
dx
= −
2
3
ln
|x − 1| +
5
12
ln
|x + 2| +
5
4
ln
|x − 2| + C
Pouzˇijeme vypocˇtene´ hodnoty koeficientu˚ A =
−
2
3
, B =
5
12
a C =
5
4
v cˇervene´m vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I1 =
Z
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
dx.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
A
x
− 1
+
B
x + 2
+
C
x
− 2
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
=
−
2
3
x
− 1
+
5
12
x + 2
+
5
4
x
− 2
I1 =
−
2
3
Z
1
x
− 1
dx +
5
12
Z
1
x + 2
dx +
5
4
Z
1
x
− 2
dx
= −
2
3
ln
|x − 1| +
5
12
ln
|x + 2| +
5
4
ln
|x − 2| + C
Vypocˇteme integra´l pomocı´ za´kladnı´ch vzorcu˚.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Raciona´lnı´ funkce nenı´ ryze lomena´. Nejprve proto vydeˇlı´me (zde deˇlenı´
vynecha´va´me, prˇedpokla´da´me znalost te´to operace).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Uvazˇujeme jenom ryze lomenou funkci. Napı´sˇeme forma´lnı´ tvar rozkladu na
parcia´lnı´ zlomky s neurcˇity´mi koeficienty.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Vyna´sobı´me spolecˇny´m jmenovatelem x2(x + 1).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Dosadı´me x = 0 do cˇervene´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Nalezneme A.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Dosadı´me x =
−1 do cˇervene´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Nalezneme C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Zby´va´ najı´t B. Rozna´sobı´me soucˇiny v cˇervene´ rovnici a obdrzˇı´me modrou
rovnici.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Porovna´me koeficienty u jednotlivy´ch mocnin. Koeficienty, ktere´ stojı´ nalevo
a napravo u stejny´ch mocnin musı´ by´t stejne´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
x2
− x + 1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
2
x = 0
1 = A + 0B + 0C;
A = 1
x =
−1
3 = 0A + 0B + 1C;
C = 3
x2
−x + 1 = Ax + A + Bx
2 + Bx + Cx2
x2: 1 = B + C,
x1:
−1 = A + B,
x0: 1 = A
B =
−2 A = 1, B = −2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Dosadı´me C do prvnı´ nebo A do druhe´ rovnice a nalezneme B.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
A = 1, B =
−2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Ma´me vypocˇteny hodnoty koeficientu˚. Tyto hodnoty pouzˇijeme v rozkladu
na soucˇin.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I2 =
Z
x4
− x + 1
x3 + x2
dx.
x4
− x + 1
x3 + x2
= x − 1 +
x2
− x + 1
x3 + x2
x2
− x + 1
x2(x + 1)
=
A
x2
+
B
x
+
C
x + 1
A = 1, B =
−2, C = 3
I2 =
Z
x
− 1 +
1
x2
−
2
x
+
3
x + 1
dx
=
x2
2
− x −
1
x
− 2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + C
Zintegrujeme pomocı´ vzrocu˚.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Vyna´sobı´me spolecˇny´m jmenovatelem.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Dosadı´me x = 2
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Rozna´sobı´me. Hleda´me B a C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Porovna´nı´m koeficientu˚ u odpovı´dajı´cı´ch si mocnin obdrzˇı´me rovnice pro
koeficienty B a C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Vyrˇesˇı´me tyto rovnice.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
x
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
=
A
x
− 2
+
Bx + C
x2 + 2x + 4
x = A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x
− 2)
x = 2
2 = 12A,
A =
1
6
x = Ax2 + 2Ax + 4A + Bx2
− 2Bx + Cx − 2C
0 = A + B,
1 = 2A
− 2B + C,
0 = 4A
− 2C
B =
−
1
6
, C =
1
3
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
−
1
6 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Dosadı´me hodnoty koeficientu˚ do rozkladu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
− 16 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Prvnı´ cˇlen integrujeme pomocı´ vzorce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
− 16 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
• Ve druhe´m zlomku “zasˇifrujeme” do cˇitatele derivaci jmenovatele.
• K tomu mu˚zˇeme pouzˇı´t multiplikativnı´ a aditivnı´ konstanty.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
− 16 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Rozdeˇlı´me zlomek.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
− 16 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
• Prvnı´ zlomek ma´ v cˇitateli derivaci jmenovatele.
• V druhe´m zlomku doplnı´me jmenovatel na cˇtverec.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte I3 =
Z
x
x3
− 8
dx.
I3 =
Z
1
6
1
x
− 2
+
− 16 x +
1
3
x2 + 2x + 4
dx =
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
x
− 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2 (2x + 2) − 1 − 2
x2 + 2x + 4
dx
=
1
6
ln
|x − 2| −
1
6
Z
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 4
+
−3
(x2 + 2x + 1) + 3
dx
=
2
12
ln
|x − 2| −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
3
6
Z
1
(x + 1)2 + 3
dx
=
1
12
ln(x
− 2)
2 −
1
12
ln
|x
2 + 2x + 4| +
1
2
√
3
arctg
x + 1
√
3
+ C
Dokoncˇı´me integraci pouzˇitı´m vzorce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
4
Integrace per-parte´s
Veˇta 8. Nechť funkce
u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí
Z
u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)
−
Z
u′(x)v(x) dx,
(2)
pokud integrál na pravé straně existuje.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Veˇta 8. Nechť funkce
u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí
Z
u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)
−
Z
u′(x)v(x) dx,
(3)
pokud integrál na pravé straně existuje.
Du˚kaz:
(uv)′ = u′v + uv′
derivace soucˇinu
Z
(uv)′ dx =
Z
u′v dx +
Z
uv′ dx
zintegrova´nı´ a linearita integra´lu
uv =
Z
u′v dx +
Z
uv′ dx
integra´l odstranı´ derivaci
uv
−
Z
u′v dx =
Z
uv′ dx
algebraicka´ u´prava
Integra´ly typicke´ pro vy´pocˇet metodou per-parte´s.
P(x) je polynom.
Z
P(x)eαx dx,
Z
P(x) sin(αx) dx,
Z
P(x) cos(αx) dx,
Z
P(x)arctg x dx,
Z
P(x)lnm x dx.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Funkce je soucˇinem polynomu a logaritmicke´ funkce
→ per-parte´s.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = ln x a v′ = x + 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = ln x a v′ = x + 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = ln x a v′ = x + 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Rozna´sobı´me za´vorku.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Dokoncˇı´me integraci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x + 1) · ln x dx
Z
(x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = x + 1
v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x
−
Z
1
x
x2
2
+ x
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
Z
1
2
x + 1
dx
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
2
·
x2
2
+ x
=
x2
2
+ x
ln x
−
1
4
x2
− x + C
Upravı´me a prˇida´me integracˇnı´ konstantu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = x a v′ = sin x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = x a v′ = sin x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = x a v′ = sin x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x sin x dx
Z
x
· sin x dx
u = x
u′ = 1
v′ = sin x
v =
− cos x
= −x cos x −
Z
1
· (− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + C
• Integruje druhou cˇa´st:
Z
cos x dx = sin x
• Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Funkce je soucˇinem polynomu a sinu
→ per-parte´s.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Integrujeme per-parte´s pomocı´ vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi u = x
− 2 a v′ = sin(2x).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Platı´
v =
Z
v′(x) dx =
Z
sin(2x) dx =
−
1
2
cos(2x),
protozˇe
Z
sin x dx =
− cos x
a
Z
f (ax + b) =
1
a
F(ax + b).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Vytkneme konstantu
−
1
2
z integra´lu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Platı´
Z
cos(2x) dx =
1
2
sin(2x), protozˇe
Z
cos x dx = sin x
a
Z
f (ax + b) =
1
a
F(ax + b).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x − 2) · sin(2x) dx
Z
(x − 2)sin(2x) dx =
u = x
− 2
u′ = 1
v′ = sin(2x)
v =
−
1
2
cos 2x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2x
dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2x dx
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2x) + C
= −
1
2
(x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
• Funkce je soucˇinem polynomu a funkce sinus.
• Budeme integrovat per-parte´s podle vzorce
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
prˇi volbeˇ u = (x2 + 1) a v′ = sin x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
(x2 + 1)′ = 2x
Z
sin x dx =
− cos x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
Konstantnı´ na´sobek 2 a zname´nko minus da´me prˇed integra´l.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
Jesˇteˇ jednou integrujeme per-parte´s. Nynı´ u = x a v′ = cos x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
x′ = 1
Z
cos x dx = sin x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
Integrujeme sinus:
Z
sin x dx =
− cos x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1) sin x dx
Z
(x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = sin x
v =
− cos x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
Z
x
· cos x dx
u = x
u′ = 1
v′ = cos x
v = sin x
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
−
Z
sin x dx
= −(x
2 + 1) cos x + 2
x sin x
− (− cos x)
= (1 − x
2) cos x + 2x sin x + C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Integruje soucˇin polynomu a exponencia´lnı´ funkce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
• Integrujeme per-parte´s.
• Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat.
• Nezapomenˇme, zˇe
Z
e−x dx =
−e−
x .
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Vzorec je
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
• Opeˇt polynom kra´t exponencia´lnı´ funkce.
• Opeˇt integrujeme per-parte´s. Opeˇt derivujeme polynom.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Vzorec pro cˇervenou cˇa´st je
Z
uv′ dx = uv
−
Z
u′v dx, zbytek zu˚stane.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Z
e−x dx =
−e−
x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v′ = e−x
v =
−e−
x
= −(x
2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x
2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Vytkneme (
−e−
x ).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
Jedna´ se o soucˇin polynomu a funkce arkustangens.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
Budeme integrovat metodou per-parte´s. Budeme integrovat polynom a
derivovat arkustangens.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
Z
uv′ dx = uv
−
Z
u′v dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
Musı´me integrovat raciona´lnı´ funkci, ktera´ nenı´ ryze lomena´. Provedeme
deˇlenı´:
x2
x2 + 1
=
(x2 + 1) − 1
x2 + 1
=
x2 + 1
x2 + 1
−
1
x2 + 1
= 1
−
1
x2 + 1
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 + x2
v′ = x
v =
x2
2
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
Z
1
−
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x
−
1
2
x
− arctg x
+ C.
K dokoncˇenı´ zby´va´ integrovat jednicˇku a jeden parcia´lnı´ zlomek. To
provedeme pomocı´ prˇı´slusˇny´ch vzorcu˚.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Ve funkci je “zasˇifrovany´” soucˇin polynomu a logaritmicke´ funkce:
Z
1
· ln x dx.
Integrujeme per-parte´s prˇi volbeˇ u = ln x a v′ = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
(ln x)′ =
1
x
Z
1 dx = x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
Uzˇijeme vztah
1
x
x = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Z
1 dx = x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 dx
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
• Je zde “zasˇifrova´n” soucˇin polynomu a druhe´ mocniny logaritmu.
• Upravı´me funkci ln
2 x na soucˇin (1) · (ln2 x) a integrujeme per-parte´s prˇi
volbeˇ u = ln
2 x a v′ = 1
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
(ln2 x)′ = 2 ln x(ln x)′ = 2 ln x
1
x
Z
1 dx = x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Tento trik jizˇ zna´me: Napı´sˇeme funkci ln x jako soucˇin (1)
· ln x a integrujeme
per-parte´s prˇi volbeˇ u = ln x a v′ = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
(ln x)′ =
1
x
Z
1 dx = x
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Z
u
· v′ dx = u · v −
Z
u′
· v dx
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Dopocˇı´ta´me integra´l z jednicˇky.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
ln2 x dx
Z
1
· ln
2 x dx
u = ln
2 x
u′ =
2 ln x
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
Z
ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v′ = 1
v = x
= x ln2 x − 2
x ln x
−
Z
1 dx
= x ln2 x − 2
x ln x
− x
= x ln2 x − 2x ln x + 2x + C
Upravı´me. Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x3 sin x dx.
Z
x3 sin x dx =
u = x3
3x2
6x
6
0
v′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
= −x
3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x
3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x3 sin x dx.
Z
x3 sin x dx =
u = x3
3x2
6x
6
0
v′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
= −x
3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x
3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
• Trˇikra´t integrujeme per-parte´s, ale vsˇechno zapı´sˇeme do jednoho sche-
matu.
• Zˇluta´ sˇipka reprezentuje derivova´nı´. Derivujeme azˇ na nulu.
• Cˇervena´ sˇipka reprezentuje integrova´nı´.
derivace
derivace
derivace
derivace
integrace
integrace
integrace
integrace
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x3 sin x dx.
Z
x3 sin x dx =
u = x3
3x2
6x
6
0
v′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
= −x
3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x
3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
Na´sobı´me ve smeˇru sˇipek. Soucˇinu˚m ve smeˇru zˇluty´ch sˇipek zname´nko
ponecha´me, soucˇinu˚m ve smeˇru cˇerveny´ch sˇipek zname´nko zmeˇnı´me a
vsˇechny soucˇiny secˇteme.
sou
cˇin
sou
cˇin
sou
cˇin
sou
cˇin
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
x3 sin x dx.
Z
x3 sin x dx =
u = x3
3x2
6x
6
0
v′ = sin x
− cos x
− sin x
cos x
sin x
= −x
3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x
3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(x3 + 2)e−x dx.
Z
(x3 + 2x)e−x dx
=
u = x3 + 2x
3x2 + 2
6x
6
0
v′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
= −(x
3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−
x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−
x (x3 + 3x2 + 8x + 8)
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(x3 + 2)e−x dx.
Z
(x3 + 2x)e−x dx
=
u = x3 + 2x
3x2 + 2
6x
6
0
v′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
= −(x
3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−
x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−
x (x3 + 3x2 + 8x + 8)
• Trˇikra´t integrujeme per-parte´s, ale vsˇechno zapı´sˇeme do jednoho sche-
matu.
• Zˇluta´ sˇipka reprezentuje derivova´nı´. Derivujeme azˇ na nulu.
• Cˇervena´ sˇipka reprezentuje integrova´nı´.
derivace
derivace
derivace
derivace
integrace
integrace
integrace
integrace
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(x3 + 2)e−x dx.
Z
(x3 + 2x)e−x dx
=
u = x3 + 2x
3x2 + 2
6x
6
0
v′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
= −(x
3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−
x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−
x (x3 + 3x2 + 8x + 8)
Na´sobı´me ve smeˇru sˇipek. Soucˇinu˚m ve smeˇru zˇluty´ch sˇipek zname´nko
ponecha´me, soucˇinu˚m ve smeˇru cˇerveny´ch sˇipek zname´nko zmeˇnı´me a
vsˇechny soucˇiny secˇteme.
sou
cˇin
sou
cˇin
sou
cˇin
sou
cˇin
c
Robert Marˇı´k, 2006
Najdeˇte
Z
(x3 + 2)e−x dx.
Z
(x3 + 2x)e−x dx
=
u = x3 + 2x
3x2 + 2
6x
6
0
v′ = e−x
−e−x
e−x
−e−x
e−x
= −(x
3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−
x (x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−
x (x3 + 3x2 + 8x + 8)
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
5
Integrace pomocı´ substituce.
Veˇta 9. Nechť
f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce φ(x) má derivaci
na intervalu J a platí φ(J) = I. Potom na intervalu J platí
Z
f (φ(x))φ′(x) dx =
Z
f (t) dt,
(4)
dosadíme-li napravo t = φ(x).
Schematicky: φ(x) = t
φ′(x)
dx = dt
Veˇta 10. Nechť
f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce φ(t) má nenu-
lovou derivaci na intervalu J a platí φ(J) = I. Potom na intervalu I platí
Z
f (x) dx =
Z
f (φ(t))φ′(t) dt,
(5)
dosadíme-li napravo t = φ−1(x), kde φ−1(x) je funkce inverzní k funkci φ(x).
Schematicky: x = φ(t)
dx = φ′(t) dt
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
• Vnitrˇnı´ slozˇka je ln x.
• Derivace funkce ln x je
1
x
.
• Tato derivace,
1
x
, je v soucˇinu s integrovanou funkcı´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Zavedeme substituci ln x = t.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Nalezneme vztah mezi dx a dt.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Dosadı´me substituci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Integrujeme.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
sin(ln x)
x
dx
Z
sin(ln x)
x
dx =
Z
sin(ln x)
1
x
dx
ln x = t
1
x
dx = dt
=
Z
sin t dt
= − cos t = − cos(ln x) + C
Pouzˇijeme substituci k na´vratu k promeˇnne´ x a prˇida´me integracˇnı´
konstantu. Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Zkusı´me substituovat za vnitrˇnı´ slozˇku slozˇene´ funkce e1−x
2
.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Hleda´me vztah mezi diferencia´ly.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Derivujeme obeˇ strany substituce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Vyja´drˇı´me odsud vy´raz x dx, ktery´ figuruje uvnitrˇ integra´lu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Dosadı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Vypocˇteˇte integra´l pomocı´ vzorce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
xe1−x
2
dx.
Z
xe1−x
2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= −
1
2
Z
et dt
= −
1
2
et
= −
1
2
e1−x
2
Pouzˇijeme substituci pro na´vrat k pu˚vodnı´ promeˇnne´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
• Substituce x
4 + 16 = t, nebo x4 = t, nejsou u´plneˇ sˇikovne´, protozˇe vztah
mezi diferencia´ly prˇi te´to substituci je
4x3 dx = dt,
avsˇak cˇlen x3 dx nikde v integra´lu nenı´.
• Cˇlen x dx napovı´da´, pouzˇı´t substituci x
2 = t.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
Hleda´me vztah mezi diferencia´ly a vyja´drˇı´me z neˇj vy´raz x dx.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
Substituce x2 = t vede k relaci x4 = (x2)2 = t2.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
Dosadı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
Uzˇijeme vzorec
Z
1
x2 + A2
dx =
1
A
arctg
x
A
prˇi A = 4.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
x
x4 + 16
dx
Z
x
x4 + 16
dx
x2 = t
2x dx = dt
x dx =
1
2
dt
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
dt
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x2
4
+ C
Uzˇijeme zpeˇtnou substituci t = x2. Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Vnitrˇnı´ slozˇka je
√
x + 1. Derivace te´to vnitrˇnı´ slozˇky je
(
√
x + 1)′ =
1
2
(x + 1)−1/2 =
1
2
·
1
√
x + 1
.
Vy´skyt te´to cˇlene
1
√
x + 1
uvnitrˇ integra´lu (a v soucˇinu) napovı´da´, zˇe prove´st
tuto substituci bude snadne´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Pouzˇijeme navrzˇenou substituci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Najdeme vztah mezi diferencia´ly dx a dt. Dosta´va´me
1
2
1
√
x + 1
dx = dt
a tuto relaci vyna´sobı´me cˇı´slem 2.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Dosadı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Zintegrujeme.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx
Z
e
√
x+1
√
x + 1
dx =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
dx
√
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
dx = dt
1
√
x + 1
dx = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Uzˇijeme substituci t =
√
x + 1 k na´vratu k pu˚vodnı´ promeˇnne´. Hotovo.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
• Rozepı´sˇeme funkci tg x pomocı´ funkcı´ sin x a cos x.
• Licha´ mocnina je i v cˇitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v cˇitateli.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
“Vyta´hneme” jednu mocninu funkce sin x z cˇitatele.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Sudou mocninu prˇevedeme na funkci cos x. Uzˇijeme identitu
sin2 x + cos2 x = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Dosadı´me cos x = t.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Nalezneme vztah mezi diferencia´ly dx a dt.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Prˇepı´sˇeme vy´raz sin x dx do novy´ch promeˇnny´ch.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Dosadı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Upravı´me
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Obdrzˇena´ raciona´lnı´ funkce je ryze lomena´. Protozˇe je jmenovatel
jednocˇlenny´, nemusı´me rozkla´dat na parcia´lnı´ zlomky, ale stacˇı´ vydeˇlit
cˇitatele vy´razem t3.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Nynı´ integrujeme pomocı´ vzorcu˚.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
tg3 x dx.
Z
tg3 x dx =
Z
sin3 x
cos3 x
dx =
Z
sin2 x
cos3 x
sin x dx =
Z
1
− cos2x
cos3x
sin x dx
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx =
− dt
=
Z
−
1
− t2
t3
dt =
Z
t2
− 1
t3
dt =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln
| cos x| +
1
2 cos2 x
+ C
Po integraci provedeme na´vrat k pu˚vodnı´ promeˇnne´ a prˇida´me integracˇnı´
konstantu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Licha´ mocnina je ve jmenovateli.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Vyna´sobı´me a soucˇasneˇ vydeˇlı´me vy´razem sin x. Tı´m se funkce nezmeˇnı´ a
licha´ mocnina je v cˇitateli.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Prˇevedeme druhou mocninu funkce sin x na cos x. Pouzˇijeme vzorec
sin2 x + cos2 x = 1.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Budeme pouzˇı´vat substituci cos x = t.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Najdeme vztah mezi diferencia´ly.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Dosadı´me ze substituce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Rozlozˇı´me jmenovatel na soucˇin.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Rozlozˇı´me na parcia´lnı´ zlomky (tato pasa´zˇ je zde prˇeskocˇena, vyzˇaduje dalsˇı´
a delsˇı´ pocˇı´ta´nı´).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Uzˇijeme vzorce k integraci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx.
Z
1
(2 + cos x) sin x
dx =
Z
sin x
(2 + cos x) sin2 x
dx =
Z
1
(2 + cos x)(1 − cos2 x)
sin x dx
cos x = t
sin x dx =
− dt
= −
Z
1
(2 + t)(1 − t2)
dt =
Z
1
(2 + t)(1 + t)(t − 1)
dt
=
Z
−
1
2
1
1 + t
+
1
6
1
t
− 1
+
1
3
1
2 + t
dt
= −
1
2
ln
|1 + t| +
1
6
ln
|t − 1| +
1
3
ln
|2 + t|
= −
1
2
ln(1 + cos x) +
1
6
ln(1
− cos x) +
1
3
ln(2 + cos x) + C
Pomocı´ substitucˇnı´ho vztahu se vra´tı´me k pu˚vodnı´ promeˇnne´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
• Cˇlen 3x + 2 je pod odmocninou. Uzˇijeme substituci, ktera´ umozˇnı´ tuto
odmocninu odstranit.
• Budeme dosazovat 3x + 2 = t
2.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Nalezneme vztah mezi dx a dt.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Vyja´drˇı´me dx.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Vyja´drˇı´me promeˇnnou x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Prˇichysta´me si zpeˇtnou substituci. Vyja´drˇı´me t pomocı´ x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Provedeme substituci.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Upravı´me.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Prˇevedeme na jeden zlomek.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Vydeˇlı´me, protozˇe funkce nenı´ ryze lomena´.
t2
− t
t2 + 1
=
(t2 + 1) + (−t − 1)
t2 + 1
= 1 +
−t − 1
t2 + 1
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Zı´skana´ funkce je prˇı´mo parcia´lnı´ zlomek. Tento typ zlomku integrujeme
rozdeˇlı´me na soucˇet zlomku, ktery´ ma´ v cˇitateli derivaci jmenovatele, a
zlomku, ktery´ ma´ v cˇitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno
zintegrujeme.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Integrace je jizˇ snadna´. Uzˇijeme vztah
Z
t
t2 + 1
dt =
1
2
Z
2t
t2 + 1
dt =
1
2
ln(t2 + 1).
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx.
Z
√
3x + 2
− 1
x + 1
dx
3x + 2 = t2
3 dx = 2t dt
dx =
2
3
t dt
x =
1
3
(t2 − 2)
t =
√
3x + 2
=
Z
t
− 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t
− 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2
− t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
t
−
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
+ C
= 2
√
3x + 2
− ln |3x + 3| − 2 arctg
√
3x + 2 + C
Rozna´sobı´me za´vorku a provedeme zpeˇtnou substituci pro na´vrat k
promeˇnne´ x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Funkce obsahuje odmocninu z linea´rnı´ho vy´razu – zavedeme substituci na
odstraneˇnı´ odmocniny.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Vy´raz pod odmocninou je druha´ mocnina nove´ promeˇnne´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Nalezneme vztah mezi diferencia´ly dx a dt
• (x
− 1)′ = 1 (derivace podle x)
• (t
2)′ = 2t (derivace podle t)
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Nalezneme x a
√
x
− 1 ze substitucˇnı´ho vztahu.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Dosadı´me podle substituce.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Odmocnı´me t2 a vytkneme konstantu prˇed integra´l.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Prˇevedeme na jeden zlomek – na´sobı´me cˇitatele.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Vydeˇlı´me cˇitatel jmenovatelem.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Rozdeˇlı´me zlomek na dva jednodusˇsˇı´.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
“Vytvorˇı´me” v cˇitateli derivaci jmenovatele pomocı´ multiplikativnı´
konstanty 2.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Zintegrujeme podle vzorcu˚ a podle vztahu
Z
f ′(x)
f (x)
dx = ln
| f (x)|.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx.
Z
1 +
√
x
− 1
x
dx =
x
− 1 = t
2
dx = 2t dt
x = t2 + 1
√
x
− 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 + t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t2 + t
t2 + 1
dt = 2
Z
1 +
t
− 1
t2 + 1
dt
= 2
Z
1 +
1
2
·
2t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt
= 2
t +
1
2
ln
|t
2 + 1| − arctg t
= 2
√
x
− 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
√
x
− 1
+ C
Pouzˇijeme zpeˇtnou substituci pro na´vrat k promeˇnne´ x.
c
Robert Marˇı´k, 2006
6
Dalsˇı´ . . .
Jednotlive´ metody je pochopitelneˇ neˇkdy nutno kombinovat.
c
Robert Marˇı´k, 2006
Vypocˇteˇte
Z
arcsin x dx
Z
arcsin x dx
u = arcsin x
u′ =
1
√
1
− x2
v′ = 1
v = x
= x arcsin x −
Z
x
√
1
− x2
dx
1
− x
2 = t
−2x dx = dt
x dx =
−
1
2
dt
= x arcsin x −
Z
−
1
2
1
√
t
dt
= x arcsin x +
√
t
= x arcsin x +
p
1
− x2 + C
c
Robert Marˇı´k, 2006
Document Outline
- Definice neurčitého integrálu
- Základní vzorce
- Parciální zlomky.
- Integrace per-partés
- Integrace pomocí substituce.
- Daląí …
Automaticky vygenerovaný textový náhľad. Pre plné formátovanie si stiahnite súbor.