prednaska6.pdf

Aplikácie derivácií v

praktických príkladoch

Rýchlosť zmeny

Príklad (Odčerpávanie vody z nádrže):
Máme valcovú nádrž s vodou. Akou rýchlosťou sa bude
meniť výška hladiny vody v nádrži, ak z nádrže
odčerpávame vodu rýchlosťou 3000 litrov za minútu?
Riešenie:
Popis veličín:
t –čas (minúty)
valcová nádrž s polomerom r (konštanta) (metre)
výška hladiny vody h(t) ( funkcia času) (metre)
objem vody v nádrži: V(t) = πr2h (metre kubické)

V(t) = 1000 πr2h (litre)

Rýchlosť zmeny odčerpávanie

vody z nádrže - pokračovanie

Zo zadania úlohy vieme:

Úloha: Najsť

Predpoklad: V aj h sú
diferencovateľné funkcie
Z toho:

Záver: hladina klesá rýchlosťou

3000

−

=

dt

dV

dt

dh

dt

dh

r

dt

dV

2

1000

π

=

2

2

2

3

1000

3000

1000

1

r

r

r

dt

dV

dt

dh

π

π

π

−

=

−

=

=

2

3

r

π

metrov za minútu

Rýchlosť zmeny

Príklad: (Letiaci balón)
Balón s horúcim vzduchom sa dvíha kolmo

nahor.

Pozoruje ho diaľkomer umiestnený 500 metrov

od

miesta vypustenia balóna. V istom čase je
elevačný uhol diaľkomera rovný π/4. Tento uhol

sa

zvyšuje rýchlosťou 0.14 radiánov za minútu. Akou
rýchlosťou sa dvíha balón v tomto čase?

Rýchlosť zmeny – letiaci balón -

pokračovanie

Riešenie: t – čas (minúty)

θ(t) – elevačný uhol (radiány)
y(t) - výška balóna (metre)

Predpoklad: funkcie θ(t) a y(t) sú diferencovateľné.
Zo zadania vieme: vzdialenosť diaľkomera od
miesta vypustenia balóna ...500 metrov
Rýchlosť zmeny uhla...

Úloha: určiť

14

.

0

=

dt

d

θ

pre θ = π/4

dt

dy

pre dané hodnoty θ a dθ/dt

Rýchlosť zmeny – letiaci balón -

pokračovanie

Z geometrie situácie

platí:

alebo
A teda

θ

tan

500

=

y

θ

tan

500

=

y

140

14

.

0

)

2

(

500

cos

500

2

2

=

=

=

dt

d

dt

dy

θ

θ

metrov za min.

Záver: v uvedenom čase sa balón dvíha rýchlosťou 140
metrov za minútu.

Rýchlosť zmeny

Príklad: (sledovanie kolóny)
Kolóna A sa približuje z východu k skladišťu
rýchlosťou 60 km za hodinu, kolóna B sa od
skladišťa vzďaľuje smerom na sever rýchlosťou
50 km za hodinu. Ako rýchlo sa mení vzdialenosť
medzi kolónami v čase, keď A je 4 km od
skladišťa a B je 3 km od skladišťa?

Rýchlosť zmeny – sledovanie

kolóny - pokračovanie

Riešenie:
x(t) - pozícia kolóny A v čase t (kilometre)
y(t) - pozícia kolóny B v čase t (kilometre)
s(t) – vzdialenosť medzi kolónami v čase (km)
Predpoklad: x,y,s sú diferencovateľné funkcie.
Vieme: v určitom čase t platí: x(t)=4, y(t)=3,

dx/dt =-60, dy/dt=50

Treba určiť: ds/dt v tomto čase.

Rýchlosť zmeny – sledovanie

kolóny - pokračovanie

)

(

)

(

)

(

2

2

2

t

y

t

x

t

s

+

=

dt

dy

t

y

dt

dx

t

x

dt

ds

t

s

)

(

2

)

(

2

)

(

2

+

=

)

)

(

)

(

(

)

(

1

dt

dy

t

y

dt

dx

t

x

t

s

dt

ds

+

=

Platí:

Nájdeme deriváciu tejto funkcie danej implicitne:

A teda

18

))

50

(

3

)

60

(

4

(

5

1

−

=

+

−

=

dt

ds

Záver: V tomto čase sa vzdialenosť medzi kolónami
zmenšuje rýchlosťou 18 km za hodinu

Úlohy na extrém

Príklad: (Kovovýroba.)
Z kovového plechu tvaru štvorca so stranou

dlhou

12 cm treba urobiť krabicu vystrihnutím
štvorcových rohov tak, aby mala čo najväčší
objem.
Riešenie: Nech vystrihnuté štvorcové rohy majú
stranu dlhú x. Objem krabice potom bude
V(x) = (12-2x)2 x.

Úlohy na extrém – kovovýroba-

pokračovanie

Ak má byť jeho objem čo najväčší, hľadáme extrém
(maximum) tejto funkcie pre 0 ≤ x ≤ 6.
Budeme mať:

Stacionárne body:x =2 a x=6

Záver: Maximálny objem krabice bude 128 cm kubických

ak výška krabice bude 2 cm.

)

6

)(

2

(

12

)

2

12

(

)

2

)(

2

12

(

2

2

x

x

x

x

x

dx

dV

−

−

=

−

+

−

−

=

144

96

12 3

2

2

+

−

=

x

x

dx

V

d

0

)

2

(

2

2

<

dx

V

d

0

)

6

(

2

2

>

dx

V

d

Maximum V(2) = 128
V(0)=0=V(6)

Úlohy na extrém

Príklad: (Výrobný design).Treba navrhnúť design
pre litrovú konzervu na olej valcového tvaru. Aké
Rozmery musí mať konzerva, aby výrobok
spotreboval najmenej materiálu?
Riešenie: Rozmery, ktoré určujú tvar valcovej
konzervy sú polomer podstavy r a výška

konzervy

h. Konzerva má mať 1 liter = 1 dm3 = 1000 cm3.
Platí: V = πr2h = 1000 ( rozmery r a h budú v
cm).

Úlohy na extrém – výrobný design

-pokračovanie

Z tohto vzťahu môžeme vyjadriť h:
h= 1000/(πr2). Ak máme minimalizovať použitý
Materiál, musí byť povrch konzervy minimálny.
Povrch je: S = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 +2000/r.
Hľadáme extrém tejto funkcie:

Stacionárny bod:

2

r

2000

r

4

dr

dS

−

π

=

3

0

500

r

π

=

Úlohy na extrém – výrobný design

-pokračovanie

3

2

2

r

4000

4

dr

S

d

+

π

=

0

dr

)

r

(

S

d

2

0

2

>

cm

42

.

5

500

r

3

0

≈

π

=

Teda minimálna hodnota materiálu bude pre
rozmery konzervy:

cm

84

.

10

r

2

h

0

0

≈

=

Úlohy na extrém

Ekonomické aplikácie:
Funkcia nákladov C(x), kde x je počet výrobkov.
C(x) = C

var (x)+ Cfix(x) variabilné a fixné náklady.

AC(x) – priemerné náklady: AC(x)=C(x)/ x.
Funkcia príjmov R(x). Ak p(x) je cena výrobku
vyjadrená z dopytovej funkcie ako vzťah medzi
počtom výrobkov a ich cenou, potom R(x) = p(x).

x

Zisková funkcia P(x) = R(x)-C(x)

Úlohy na extrém – ekonomické

aplikácie

Veta:
Maximálny zisk sa dosiahne na takej úrovni
produkcie, pri ktorej sa marginálna hodnota
príjmov rovná marginálnej hodnote

nákladov.

R´(x) = C´(x)

Úlohy na extrém – ekonomické

aplikácie

Príklad: Nech je daná príjmová funkcia
R(x) = 9x a funkcia nákladov
C(x) = x3 -6x2 +15x. Nájdite hodnotu kedy sa
dosiahne maximálny zisk.
Riešenie: R´(x) = 9, C´(x) = 3x2 – 12x +15
3x2 – 12x +15 =9 x

1 = 2+√2, x2 = 2-√2

P(x

1) = 9.6568 P(x2) = -1.6568

Záver: Maximálny zisk sa dosiahne pre
hodnotu produkcie 3.41421 a bude 9.6568

Úlohy na extrém – ekonomické

aplikácie

Veta: Úroveň produkcie, kde sa dosiahne
minimálna hodnota priemerných nákladov je
rovná marginálnym nákladom.

C´(x) = C(x)/x.

Úlohy na extrém – ekonomické

aplikácie

Príklad: Predpokladajme, že funkcia nákladov má
tvar: C(x) = x3 -6x2 +15x. Existuje úroveň
produkcie, ktorá minimalizuje priemerné náklady?
Riešenie: C´(x) = 3x2 – 12x +15 a

C(x)/x = x2 -6x +15

3x2 – 12x +15 = x2 -6x +15

x

1=0, x2=3, keďže úroveň produkcie musí byť kladná,

minimálne priemerné náklady sa dosiahnu pre úroveň
produkcie 3.

Úlohy na extrém

Tuhosť nosníka : Tuhosť S pravouhlého nosníka
je úmerná jeho šírke vynásobenej treťou
mocninou jeho hrúbky.
Nájdite rozmery nosníka s maximálnou
tuhosťou, ktorý sa dá vyrezať z guľatiny s
priemerom 12 palcov.
Riešenie: S= k s.h3, kde k je konštanta
úmernosti, s je šírka nosníka a h jeho hrúbka.
Pre rozmery platí:

Úlohy na extrém – tuhosť nosníka

- pokračovanie

144

2

2

=

+ s

h

144

2

2

=

+ s

h

h

s

12

2

144 h

s

−

=

3

2

144

h

h

k

S

−

=

Úlohy na extrém – tuhosť nosníka

- pokračovanie

2

2

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

4

'

144

5

432

144

432

5

144

)

144

(

3

2

144

3

144

2

h

h

kh

h

kh

kh

h

h

h

k

kh

h

h

k

h

kh

S

−

−

=

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

+

−

−

=

Stacionárne body: h

1=0, h2=√432/5=12√3/5

5

/

2

12

5

/

432

144

=

−

=

s