funkcie.pdf

Funkcie

Funkcie

• Funkcia f z množiny D do množiny R je predpis,

ktorým každému prvku z množiny D priradíme

jediný prvok z množiny R

• x

D nezávislá premenná ... vzor

• y

R závislá premenná ...obraz

y = f(x)

Dve funkcie sa rovnajú, práve vtedy keď sa rovnajú

ich definičné obory D a pre rovnaké vzory dávajú
rovnaké výsledky

Reálne funkcie

• Ak množina D je podmnožina reálnych čísel,

hovoríme o reálnej funkcii jednej reálnej

premennej

• D(f) – definičný obor funkcie f. Ak nie je

povedané inak je to taká podmnožina reálnych

čísel, pre ktorú pre každé x z definičného oboru

existuje reálne číslo y dané predpisom y = f(x)

• H(f) – obor hodnôt funkcie f. Je množina

všetkých obrazov prvkov z definičného oboru

Príklady funkcií

• Plocha kruhu ako funkcia polomeru: P(r)=

r2

• Rýchlosť telesa pri voľnom páde ako

funkcia času: v(t) = g t

-2

-1

1

2

1.5

2

2.5

3

3.5

Graf funkcie

• Všetky body (x, y) v rovine, pre ktoré

platí y = f(x), tvoria graf funkcie

reťazovka

Elementárne funkcie

• Konštantná funkcia y = c c-

konštanta , grafom je rovnobežná priamka
s osou x

-2

-1

1

2

1

2

3

4

y=2

Elementárne funkcie

• Lineárna funkcia

y = kx+q k,q konštanty,

grafom je priamka

-2

-1

1

2

2

4

6

y = 2x+3

Rastúca funkcia : pre všetky a,b

 D(f): také že a<b platí f(a)<f(b)

⇒

∀

-2

-1

1

2

2

4

6

y = -2x +3

Klesajúca funkcia: pre všetky a,b

 D(f): také že a<b platí f(a)>f(b)

Priamky rôzne k, q =0

-2

-1

1

2

-6

-4

-2

2

4

6

y = 1/3 x

y = x

y = 3x

Rastúca funkcia, klesajúca funkcia...Prosté funkcie

Priamky k =1, rôzne q

-2

-1

1

2

-2

-1

1

2

3

4

y = x

y = x+2

Elementárne funkcie

• Kvadratická funkcia: y = ax2 + bx + c, a,b,c

konštanty. Grafom je parabola

-2

-1

1

2

1

2

3

4

y = x2

Funkcia je zdola ohraničená, ak je zdola ohraničený
jej obor hodnôt.
Táto funkcia je zdola ohraničená : H(f) = <0,

)

Elementárne funkcie

-2

-1

1

2

-4

-3

-2

-1

y = -x2

Funkcia je zhora ohraničená, ak je zhora ohraničený jej obor
hodnôt.
Táto funkcia je zhora ohraničená : H(f) =(-

.0>

Ak je funkcia ohraničená zdola aj zhora,

hovoríme, že je

ohraničená

Paraboly rôzne a>0, b = c =0

-2

-1

1

2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y = 1/3 x2

y = x2

y = 3x2

Paraboly rôzne a<0, b = c =0

-2

-1

1

2

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Paraboly a = 1, b = 0, rôzne c

-2

-1

1

2

-1

1

2

3

4

5

y = x2

y = x2-1

y = x2+1

Paraboly dvojčlen na kvadrát

-4

-2

2

4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

(x-1)2

(x+1)2

Všeobecné paraboly

x2 -2x-4

x2+3x +5

-4

-2

2

4

-20

-15

-10

-5

5

10

15

-(x+1)2

Elementárne funkcie

Schodovitá funkcia

y =  x⌡ dolná celá časť najvačšie celé číslo

menšie ako x

y =  x  horná celá časť najmenšie celé číslo

vačšie

ako x

Elementárne funkcie –

vyššie polynomické funkcie

• Kubická funkcia y = ax3 +bx2 +cx +d,

a,b,c,d konštanty

-2

-1

1

2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

y = x3

Elementárne funkcie –

vyššie polynomické funkcie

• Polynomická funkcia n- tého stupňa:
y = a

nx

n

+a

n-1 x

n-1

+.....+ a

1 x +a0,

a

i i = 0,...n sú konštanty

-2

-1

1

2

-4

-2

2

4

6

8

x4 -3x2 +2x +1

Elementárne funkcie - vyššie

polynomické funkcie

-2

-1

1

2

0.5

1

1.5

2

2.5

-2

-1

1

2

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Párna mocnina

Nepárna mocnina

Párna funkcia: f(x) = f(-x)

Nepárna funkcia: f(x) = - f(-x)

Elementárne funkcie

• Lineárna lomená funkcia

D(f)= { x

 R, cx+d

≠ 0}

d

cx

b

ax

y

+

+

=

-2

-1

1

2

-4

-2

2

4

y =1/x

-2

-1

1

2

-4

-2

2

4

y = -1/x

Elementárne funkcie

mocniny s racionálnym exponentom

• Odmocninová funkcia y = x1/2

0.5

1

1.5

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Elementárne funkcie

mocniny s racionálnym exponentom

• Funkcie s mocninou vyššou ako 1

y = x3/2

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

2.5

Funkcie s absolútnou hodnotou

• Absolútna hodnota reálneho čísla

x:







<

−

≥

=

0

,

0

,

|

|

x

x

x

x

x

|

|

2

x

x

=

|

|

|

|

x

x

=

−

|

|

|

|

|

|

y

x

y

x

+

≤

+

•Pre všetky reálne čísla platí:

trojuholníková nerovnosť

Funkcie s absolútnou hodnotou

-2

-1

1

2

0.5

1

1.5

2

y= |x|

Funkcie s absolútnou hodnotou

-2

-1

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

y = |x+1|+|x-3|

Funkcie s absolútnou hodnotou

-3

-2

-1

1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y = |x2 +3x +2|

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

• y = sin x nepárna, periodická T =

2

ohraničená

• y = cos x

párna, periodická T =

2

ohraničená

• y = tg x (tan x) nepárna, periodická T =

 D

(f)={x

R, x

≠

(2k+12, k Z (celé číslo)}

• y = cotg x ( cot x) nepárna, periodická T =

 D

(f)={x

R, x

≠

k, k Z (celé číslo)}

Periodická funkcia: f je periodická funkcia, ak

existuje kladné reálne číslo T také, že pre všetky

x

D(f) platí: f(x+T) = f(x)

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-1

-0.5

0.5

1

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-1

-0.5

0.5

1

y = sin x

y = cos x

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

-4

-2

2

4

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

y = tg x

-4

-2

2

4

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

y = cotg x

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

-6

-4

-2

2

4

6

-1

-0.5

0.5

1

y = sin x

y = sin x/2

y = sin 2x

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

-6

-4

-2

2

4

6

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

y = sin x

y = sin x +1

y = sin(x -1)

Elementárne funkcie –

trigonometrické funkcie

-6

-4

-2

2

4

6

-2

-1

1

2

y = sin x

y = 2sinx

y = ½ sin x

Elementárne funkcie

• Exponenciálna funkcia: y = ax a>0, a

≠1

-3

-2

-1

1

2

3

2

4

6

8

10

y = ex

e - Eulerovo číslo 2.71828

Exponenciálne funkcie so

základom väčším ako 1

-3

-2

-1

1

2

3

2

4

6

8

10

y = 2x

y = 5x

y = 10x

Exponenciálne funkcie so

základom menším ako 1

-3

-2

-1

1

2

3

2

4

6

8

10

y = (1/10)x

y = (1/5)x

y = (1/2)x

Rôzne exponenciálne funkcie

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y =(1/2)x -2

y = (1/10)x

y = (1/10) (x+1) +2

y = 2x

y = 2 (x-1)

D(f) = R, obor hodnôt ohraničený zdola, všetky prosté

Operácie s funkciami

• Sčítanie funkcií: h(x) = f(x)+g(x),

D(h) = D(f)

 D(g)

• Násobenie funkcií k(x) = f(x).g(x), D(k) = D(f)

 D(g)

• Zúženie funkcie f na množinu M

 D(f) je

funkcia f

/M taká, že jej definičný obor je

množina M a pre každé x

 M platí f

/M(x) = f

(x)

• Skladanie funkcií: f  g(x) = f(g(x)) pričom

D(f

 g) = D(f)  H(g)

Operácie s funkciami

zložená funkcia

• Príklady: f(x) = sin x, g(x) =

x

f

° g(x) = sin x D(f ° g) = <0, )

g

° f(x) = sinx

D(g

° f) = k, 2(k+1) >

k



Záver: vo všeobecnosti f

° g  g ° f

Inverzná funkcia

• f je prostá funkcia (jedno-

jednoznačná), práve vtedy keď, pre

každé x

1, x2 D(f) také že x1 x2 platí f

( x

1)  f(x2)

• Nech f a g sú funkcie, pre ktoré platí

f

° g(x) = x ,  x  D(g), g ° f(x) = x ,  x  D(f)

Potom funkcia g je inverzná k funkcii f a
označuje sa f-1.
Grafy dvoch navzájom inverzných funkcií sú
symetrické podľa osi y = x.
Platí: D(f) = H(f-1) a D(f-1) = H(f)

Inverzná funkcia

• Nie každá funkcia má inverznú funkciu
• Veta: Funkcia má inverznú funkciu vtedy a

len vtedy, keď je prostá

• Príklad: f: y = 5x -4 je prostá funkcia

(rastúca). Jej inverzná funkcia je

f -1: y = (x+4)/5

Inverzná funkcia

y = 5x -4

-4

-2

2

4

-4

-2

2

4

y = (x+4)/5

Inverzná funkcia

• Kvadratická funkcia ne definičnom obore

nie je prostá, jej zúženie môže byť prostá
funkcia

• Príklad: f/<0, y = x2 má inverznú funkciu

odmocninu:

1

2

3

4

5

2

4

6

8

10

Elementárne funkcie

• Logaritmická funkcia y = log

a(x), a>0, a

• Ak a=e, Eulerovo číslo: y = ln(x)
• Exponenciálna funkcia

y = ax

a logaritmická funkcia

y = log

a(x),

Sú navzájom inverzné

Elementárne funkcie

- logaritmická funkcia

y = ln x

2

4

6

8

10

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Elementárne funkcie

- logaritmická funkcia

y= log

2x

y=log1/2 x

2

4

6

8

10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Elementárne funkcie -

cyklometrické funkcie

• Inverzná funkcia k funkcii y = sin

/<-

>

(x) je

y = arcsin(x)

• Inverzná funkcia k funkcii y = cos

/<0

>

(x) je

y = arccos(x)

• Inverzná funkcia k funkcii y = tg

/<-

>

(x) je

y = arctg(x)

• Inverzná funkcia k funkcii y = cotg

/<0

>

(x) je

y = arccotg(x)

Cyklometrické funkcie

• sin

/<-

> : <-π/2, π/2> →<-1,1>

• arcsin : <-1,1>→ <-π/2, π/2>
• cos

/<0

> : <0, π>→<-1,1>

• arccos: ><-1,1> →<0,

π>

• tg

/<-

> : <-π/2, π/2>→R

• arctg: R → <-π/2, π/2>
• cotg

/<0

> :<0, π>→R

• arccotg : R→<0,

π>

Cyklometrické funkcie

-1

-0.5

0.5

1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1

-0.5

0.5

1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y =arcsin(x)

y =arccos (x)

Cyklometrické funkcie

-20

-10

10

20

-3

-2

-1

1

2

3

y =arctg (x)

-20

-10

10

20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y =arccotg (x)