Určitý integrál

Robert Mařík

27. června 2006

Obsah

1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

2

2 Výpočet — Newtonova–Leibnizova věta.

18

3 Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

19

4 Aplikace – výpočet objemů a obsahů

30

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006

×

1

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

Na následujících stranách si vysvětlíme geometricky hlavní myšlenky definice
Riemannova integrálu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

2

3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 − 2x + 2

Rozdělíme interval. Norma dělení je 2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

2

0.8

3

2.9

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 − 2x + 2

Rozdělíme interval. Norma dělení je 2.
Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

2

0.8

3

2.9

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 − 2x + 2

Rozdělíme interval. Norma dělení je 2.
Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu.
Nakreslíme integrální součet – plocha červeného obrazce.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

1

2

3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

1

0.8

2

1.6

3

2.9

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1.
Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

1

0.8

2

1.6

3

2.9

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1.
Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu.
Nakreslíme integrální součet – plocha červeného obrazce.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

1

0.1

2

1.7

3

2.2

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Ponecháme dělení. Norma dělení je pořád 1.
Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu, ale jinak, než v předchozím kroku.
Nakreslíme integrální součet – plocha červeného obrazce.
Integrální součet závisí na výběru reprezentantů.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

0.5

0.2

1

0.55

1.5

1.2

2

1.75

2.4

2.3

3

2.8

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 0.6 (nejdelší interval je ten poslední).
Zvolíme reprezentanty a určíme integrální součet – plocha červeného obrazce.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

0.2

0.15

0.4

0.35

0.6

0.55

0.8

0.75

1

0.95

1.2

1.15

1.4

1.35

1.6

1.55

1.8

1.75

2

1.95

2.2

2.15

2.4

2.35

2.6

2.55

2.8

2.75

3

2.95

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Opět zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 0.2
Zvolíme reprezentanty a určíme integrální součet.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Pokračujeme ve zjemňování dělení. Nyní je norma 0.1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

0

3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Pokračujeme ve zjemňování dělení ad infimum. Nyní je norma 0.05.
Pokud se hodnota integrálních součtů ustálí (integrální součty mají limitu při normě
dělení jdoucí k nule) a pokud tato limita nezávisí ani na konkrétním výběru
reprezentantů ani na způsobu, jak dělení zjmeňujeme, říkáme, že funkce je
Riemannovsky integrovatelná a její Riemannův (= určitý) integrál je ona limita
integrálních součtů.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

Definice (dělení intervalu). Buď

[a, b] uzavřený interval −∞ < a < b < ∞. Děle-

ním intervalu

[a, b] rozumíme konečnou posloupnost D = {x0, x1, . . . , xn} bodů

z intervalu [a, b] s vlastností

a = x0 < x1 < x2 < x3 <

· · · < xn−1 < xn = b.

Čísla xi nazýváme dělící body. Normou dělení D rozumíme maximální číslo, které

udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení D označujeme ν(D). Je
tedy ν(D) = max{xi − xi−1, 1 ≤ i ≤ n}.

Definice (integrální součet). Buď

[a, b] uzavřený interval a f funkce definovaná a

ohraničená na [a, b]. Buď D dělení intervalu [a, b]. Buď R = {ξ1, . . . , ξn} posloup-

nost čísel z intervalu [a, b] splňující xi−1 ≤ ξi ≤ xi pro i = 1..n. Potom součet

σ

( f , D, R) =

n

∑

i=1

f (ξi)(xi

− xi−1)

nazýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D a výběru reprezentantů

R.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

Definice (Riemannův integrál). Buď

[a, b] uzavřený interval a f funkce definovaná

a ohraničená na [a, b]. Buď Dn posloupnost dělení intervalu [a, b] a Rn posloupnost

reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na intervalu
[a, b], jestliže existuje číslo I ∈ R s vlastností

lim

n

→∞

σ

( f , Dn, Rn) = I

pro libovolnou posloupnost dělení Dn, splňující lim

n

→∞

ν

(Dn) = 0 při libovolné volbě

reprezentantů Rn. Číslo I nazýváme Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b]

a označujeme

Z

b

a

f (x) dx.

Definice (horní a dolní mez). Číslo a v definici Riemannova integrálu se nazývá dolní
mez

a číslo b horní mez Riemannova integrálu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

Věta 1 (postačující podmínky pro integrovatelnost funkce).

1. Funkce spojitá na intervalu [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrova-

telná.

2. Funkce ohraničená na [a, b], která má na tomto intervalu konečný počet bodů

nespojitosti je Riemannovsky integrovatelná.

3. Funkce monotonní na [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná.

Věta 2 (linearita určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť f , g jsou funkce inte-
grovatelné na [a, b], c nechť je reálné číslo. Pak platí

Z

b

a

[ f (x) + g(x)] dx =

Z

b

a

f (x) dx +

Z

b

a

g(x) dx,

Z

b

a

c f (x) dx = c

Z

b

a

f (x) dx.

Věta 3 (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť f je funkce integrova-
telná na [a, b]. Buď c ∈ (a, b) libovolné. Pak je f integrovatelná na intervalech [a, c] a
[c, b] a platí

Z

b

a

f (x) dx =

Z

c

a

f (x) dx +

Z

b

c

f (x) dx.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

Věta 4 (monotonie vzhledem k funkci). Buďte f a g funkce integrovatelné na [a, b]

takové, že f (x) ≤ g(x) pro x ∈ (a, b). Pak platí

Z

b

a

f (x) dx

≤

Z

b

a

g(x) dx.

Definice (střední hodnota). Buď f funkce (Riemannovsky) integrovatelná na inter-
valu [a, b]. Číslo

1

b

− a

Z

b

a

f (x) dx

se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].

Funkce

a

b

Střední hodnota

stř. hodnota

a

b

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Konstrukce (definice) Riemannova integrálu.

c

Robert Mařík, 2006

×

2

Výpočet — Newtonova–Leibnizova věta.

Věta 5 (Newtonova–Leibnizova věta). Nechť funkce f (x) je Riemannovsky integrova-
telná na [a, b]. Nechť F(x) je funkce spojitá na [a, b], která je intervalu (a, b) primitivní
k funkci f (x). Pak platí

Z

b

a

f (x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a).

Příklad.

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx =

x3

3 −

x

2 + 2x

3

0

=

33

3 −

3

2 + 2.3 −

03

3 −

0

2 + 2.0

= 3

2 − 32 + 6 − 0

= 6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Výpočet — Newtonova–Leibnizova věta.

c

Robert Mařík, 2006

×

3

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

• Vrátíme se k definici Riemannova integrálu a k integrálním součtům.

• Budeme se snažit co nejlépe aproximovat plochu pod křivkou.

• Pro větší početní komfort budeme interval dělit na stejně dlouhé dílky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

0

3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Dělení a integrální součet

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

I

≈

h
2

f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + f (x3)

h = 1 je délka mezi sousedními značkami na ose x

x0 = 0

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Nahradíme každý obdélník lichoběžníkem. Aproximace je lepší a výpočet se moc
nezhorší.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

I

≈

h
2

f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + 2 f (x3) + 2 f (x4) + f (x5)

h = 0.6 je délka mezi sousedními značkami na ose x

x0 = 0

x1 = 0.6

x2 = 1.2

x3 = 1.8

x4 = 2.4

x5 = 3

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Volíme kratší výšku lichoběžníků a aproximace je ještě lepší, počítání je však delší.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

I

≈

h
2

f (x0) + 2 f (x1) +

· · · + 2 f (x5) + f (x6)

h = 0.5 je délka mezi sousedními značkami na ose x

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Integrál

Z

3

0

(x

2 − 2x + 2) dx.

Pro jemnější dělení je aproximace ještě lepší.
Chyba, které se dopustíme, je malá jestliže

• použijeme “dostatečně jemné” dělení,

• funkce se “příliš neliší” od lineární funkce (to ale neovlivníme).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

• Rozdělíme interval na 10 dílků, n = 10. Délka jednoho dílku bude h =

b

− a

n

=

2

− 1

10

= 0.1.

• Výpočet zaznamenáme v následující tabulce (budeme zaokrouhlovat na 6 dese-

tinných míst).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

Příklad. Hledejme

Z

2

1

sin

x

x

d

x. n = 10, h = 0.1.

i

xi = a + hi

yi =

sin

xi

xi

m

myi

0

1

0.841471

1

0.841471

1

1.1

0.810189

2

1.620377

2

1.2

0.776699

2

1.553398

3

1.3

0.741199

2

1.482397

4

1.4

0.703893

2

1.407785

5

1.5

0.664997

2

1.329993

6

1.6

0.624734

2

1.249467

7

1.7

0.583332

2

1.166664

8

1.8

0.541026

2

1.082053

9

1.9

0.498053

2

0.996105

10

2

0.454649

1

0.454649

Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto
Z

2

1

sin

x

x

d

x

≈

h S

2

=

S

20

= 0.659218.

Použití přesnějších metod vede k přesnější hodnotě I

.

= 0.659329906435512, od

které jsme se odchýlili na čtvrtém desetinném místě.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Numerický odhad — Lichoběžníkové pravidlo

c

Robert Mařík, 2006

×

4

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

Obsah křivočarého lichoběžníku a objem rotačního tělesa

x

y

x

y

S =

Z

b

a

f (x) dx

V = π

Z

b

a

f

2(x) dx

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Obsah množiny mezi křivkami a objem tělesa, vzniklého rotací této množiny

x

y

a

b

f (x)

g(x)

x

y

S =

Z

b

a

[ f (x) − g(x)] dx

V = π

Z

b

a

h

f

2(x) − g2(x)

i

d

x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

1

− (x − 1)

2 = −x

1

− (x

2 − 2x + 1) = −x

1

− x

2 + 2x − 1 = −x

3

x

− x

2 = 0

(3 − x)x = 0

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

1

− (x − 1)

2 = −x

1

− (x

2 − 2x + 1) = −x

1

− x

2 + 2x − 1 = −x

3

x

− x

2 = 0

(3 − x)x = 0

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

• První z křivek je parabola, druhá z křivek je přímka y =

−x.

• Křivky se protínají v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici

1

− (x − 1)

2 = −x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

1

− (x − 1)

2 = −x

1

− (x

2 − 2x + 1) = −x

1

− x

2 + 2x − 1 = −x

3

x

− x

2 = 0

(3 − x)x = 0

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

Průsečíky křivek jsou body [0, 0] a [3, −3].

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

1

− (x − 1)

2 = −x

1

− (x

2 − 2x + 1) = −x

1

− x

2 + 2x − 1 = −x

3

x

− x

2 = 0

(3 − x)x = 0

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

y = 1

− (x − 1)

2 = 1 − (x2 − 2x + 1) = 2x − x2 = x(2 − x)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

x + y = 0

⇐⇒ y = −x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

Umocníme.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

Upravíme integrand.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2Z b

a

f (x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2Z b

a

f (x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)

2 a x + y = 0.

3

0

−3

2

x

y

S =

Z

3

0

1

− (x − 1)

2 − (−x) dx =

Z

3

0

1

− (x

2 − 2x + 1) + x dx

=

Z

3

0

−x

2 + 3x dx =

−

x

3

3

+ 3

x

2

2

3

0

=

−

33

3

+ 3

32

2

−

−

03

3

+ 3

02

2

= −9 +

27

2

=

9

2

Dopočítáme obsah množiny.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete obsah množiny mezi křivkami y = ex a y = e−x pro x ∈ [0, 1] a objem

tělesa, které vznikne rotací této množiny okolo osy x.

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Zakreslíme křivky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Vypočteme neurčitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy–Leignizovy formule. Dosadíme tedy
meze.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Dopočítáme numericky.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Vyjádříme objem tělesa jako určitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Upravíme, abychom mohli použít vzorec.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Vypočteme neurčitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Použijeme Newtonovu–Leibnizovu formuli. Dosadíme tedy meze.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

y = ex, y = e−x, x

∈ [0, 1], S =?, V =?.

1

0

1

x

y

S =

Z

b

a

f (x)

− g(x)

d

x

V = π

Z

b

a

f

2(x) − g2(x)

d

x

S =

Z

1

0

ex

− e−

x dx = ex + e−x

1
0 = e

1 + e−1 −

h

e

0 + e0

i

= e +

1

e

− 2

V = π

Z

1

0

(ex)

2 − (e−x)2 dx = π

Z

1

0

e

2

x − e−2x dx = π

1

2

e

2

x +

1

2

e−

2

x

1

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e−

2 −

1

2

e

0 +

1

2

e

0

= π

1

2

e

2 +

1

2

e2

− 1

Upravíme.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Určete objem tělesa, vzniklého rotací množiny pod grafem funkce y = e

√

x

pro x ∈ [0, 1] okolo osy x.

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

y(0) = e

√

0 = e0 = 1

y(1) = e

√

1 = e1 ≈ 2.72

y′ =

1

2 ·

e

√

x

√

x

≥ 0

y′′ =

1

2 ·

e

√

x 1

2

√

x

√

x

− e

√

x 1

2

√

x

x

=

1

2 ·

e

√

x ·

√

x

− 1

x

√

x

Obrázek

1

1

e

x

y

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

• Odhadneme průběh funkce y = e

√

x.

• Doma si spočíteje obsah tohoto obrazce (postup je podobný jako postup uvedený

níže, výsledek je S = 2).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Užijeme vzorec pro objem.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Vypočítáme bokem neurčitý integrál.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Upravíme funkci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Použijeme substituci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Použijeme substituci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Použijeme metodu per-partés

Z

u

· v′ dx = u · v −

Z

u′

· v dx

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Dokončíme integraci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Vytkneme

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

Z

e

2

√

x dx

2

√

x = t

4

x = t

2

4 d

x = 2t dt

d

x =

1

2

t dt

=

1

2

Z

t

· e

t dt

u = t

u′ = 1

v′ = et

v = et

=

1

2

t

· e

t −

Z

1

· e

t dt

=

1

2

tet

− e

t

=

1

2 ·

et

· (t − 1) =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

=

1

e

2 2

1

1

e

0 0

1

Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. Integrační konstanta může
být libovolná, volíme ji například nulovou.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

= π

1

2

e

2 2 − 1 −

1

2

e

0 0 − 1

= π

e2

2

+

1

2

= π

e

2 + 1

2

Použijeme Newtonovu–Leibnizovu větu.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

V =?, x

∈ [0, 1], y = e

√

x

V = π

Z

1

0

e

√

x

2

d

x

Z

e

√

x

2

d

x =

1

2 ·

e

2

√

x · 2

√

x

− 1

V = π

1

2

e

2

√

x 2√x − 1

1

0

= π

1

2

e

2 2 − 1 −

1

2

e

0 0 − 1

= π

e2

2

+

1

2

= π

e

2 + 1

2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×

Konec

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Aplikace – výpočet objemů a obsahů

c

Robert Mařík, 2006

×