Cvicenie - Algoritmy num. mat. a opt. 26.10.2020 13:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie z numerickej matematiky ukazuje implementáciu algoritmov v MATLABe. Najprv sa numerická derivácia počíta priamo z definície limity s malým krokom h a potom pomocou vzorcov pre tri a štyri ekvidištančné body, pričom sa dbá na posun indexov, keďže MATLAB indexuje od 1. Výsledky sa zobrazia v grafe, kde červené hviezdičky sú pôvodné body a modré derivácie. Následne sa prejde na numerický výpočet určitého integrálu obdĺžnikovým pravidlom, ktoré nahrádza funkciu polynómom nultého stupňa. Pri funkcii e^x lomeno (x+3)^3 sa ukazuje, že zvyšovaním počtu delení z 100 na 10 000 alebo milión sa výsledok spresňuje. Na záver sa začína lichobežníkové pravidlo s grafom funkcie a porovnaním výsledkov.

• - Numerická derivácia vychádza z definície limity: (f(x0+h) − f(x0))/h pre veľmi malé h.
• - Vzorce pre deriváciu v troch a štyroch ekvidištančných bodoch sa prepisujú do MATLABu s posunom indexov, lebo MATLAB indexuje od 1.
• - Výsledné derivácie sa vykresľujú ako modré hviezdičky spolu s pôvodnými bodmi červenou farbou.
• - Obdĺžnikové pravidlo: krok h = (b − a)/n, súčet funkčných hodnôt v stredoch podintervalov, funkcia sa nahrádza polynómom nultého stupňa.
• - Zvyšovanie počtu delení n zvyšuje presnosť; rozdiely medzi n = 100 a n = 10 000 sú až na úrovni desiatich miliardtín.
• - Pri dlhšom intervale (napr. 0 až 5) sú rozdiely väčšie, no pri milióne delení je presnosť približne na milióntiny.
• - Lichobežníkové pravidlo sa porovnáva s obdĺžnikovým na intervale od −1 do 2,5 a zobrazuje sa aj graf funkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.