Cvicenie - Algoritmy num mat. a opt. 19.10.2020 13:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie ukazuje implementáciu Newtonovho interpolačného polynómu v MATLABe riešením sústavy lineárnych rovníc. Program je rozdelený na hlavný skript a dve funkcie: jedna generuje maticu sústavy (prvý stĺpec jednotky, ďalšie prvky ako súčiny rozdielov x_i − x_j) a rieši ju operátorom spätného lomítka, druhá vyhodnocuje polynóm Hornerovou schémou. Pri riešení je nutné transponovať vektor y na stĺpcový. Na príklade s bodmi (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 3) sa overuje, že vykreslená krivka prechádza zadanými bodmi a vypočítajú sa hodnoty polynómu vo vybraných bodoch. Študenti si potom skúšajú vlastný príklad so šiestimi bodmi (polynóm 5. stupňa) a následne sa má prejsť na interpoláciu cez pomerné diferencie.

• - Newtonov interpolačný polynóm sa počíta ako riešenie sústavy lineárnych rovníc s maticou zloženou zo súčinov rozdielov x_i − x_j.
• - Program tvoria tri súbory: hlavný skript, funkcia na výpočet koeficientov a funkcia na vyhodnotenie polynómu.
• - Sústava sa rieši operátorom spätného lomítka (A\y), pričom vektor y treba transponovať na stĺpec apostrofom.
• - Hodnota polynómu sa počíta Hornerovou schémou od najvyššieho koeficientu smerom dole.
• - Správnosť sa overuje grafom: krivka prechádza zadanými bodmi a vypočítané hodnoty v bodoch sa zhodujú s hviezdičkami.
• - Pre n bodov vzniká polynóm stupňa n − 1, napríklad zo šiestich bodov polynóm 5. stupňa.
• - Nasledovať bude druhý spôsob výpočtu cez pomerné diferencie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.