Cvicenie - Algoritmy num. mat. a opt. 16.11.2020 13:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie ukazuje implementáciu gradientovej metódy (metódy najstrmšieho spádu) v MATLABe na funkcii f(x,y) = (x−1)² + y² − 1 s presnosťou 0,001 a krokom λ = 0,8. Algoritmus v cykle s podmienkou na normu rozdielu dvoch po sebe idúcich bodov a maximálnym počtom iterácií počíta gradient pomocou ručne odvodených parciálnych derivácií (2(x−1) a 2y). Nový bod vzniká odpočítaním λ-násobku gradientu od starého bodu. Výpočet skonvergoval po 16 iteráciách do bodu približne (1; 0,003), čo zodpovedá minimu funkcie. Priebeh sa vizualizuje cez meshgrid, plot3 a hold on, pričom zelené hviezdičky označujú medzikroky a červená posledný bod. Ak zostane čas, nasleduje Newtonova metóda.

• - Gradientová metóda: nový bod x = x − λ·grad f(x), opakuje sa, kým vzdialenosť po sebe idúcich bodov nie je menšia ako presnosť.
• - Podmienka cyklu potrebuje na začiatku x a x0 s rôznymi súradnicami, aby sa cyklus vôbec spustil; maxit chráni pred nekonvergenciou.
• - Gradient sa počíta samostatnou funkciou s ručne odvodenými parciálnymi deriváciami: ∂f/∂x = 2(x−1), ∂f/∂y = 2y.
• - Parametre príkladu: f(x,y) = (x−1)² + y² − 1, presnosť 0,001, krok λ = 0,8.
• - Výsledok: po 16 iteráciách bod približne (1; 0,003), teda minimum funkcie.
• - Vizualizácia: meshgrid na plochu funkcie, plot3 na body iterácií, hold on na zachovanie grafu.
• - Kroky majú rovnakú dĺžku λ, no vo vizualizácii sa zdajú menšie, keď sa bod približuje k minimu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.