Cvicenie - Algoritmy num mat. a opt. 12.10.2020 13:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie v MATLABe nadväzuje na metódu jednoduchých iterácií: študenti implementujú algoritmus s formátovaným výstupom pomocou fprintf a testujú rôzne vyjadrenia iteračnej funkcie phi. Funkcia √(2x+8) konverguje k hodnote 4 po šiestich iteráciách, vyjadrenie (2x+8)/x po 11 až 12 iteráciách, zatiaľ čo x²−8 divergovalo a algoritmus sa zastavil po desiatich iteráciách pri nekonečnej hodnote. Následne sa implementuje Newtonova metóda x = x0 − f(x0)/f'(x0) s presnosťou 0,001 pre rovnicu eˣ − x − 2 = 0, pričom sa ukáže dôležitosť uloženia x do x0 pred kontrolou podmienky. Podľa počiatočného bodu metóda nájde koreň 1,14 alebo −1,84, čo potvrdil graf funkcie. Rovnakým postupom sa riešila aj kvadratická rovnica x² − 2x − 8 = 0 s koreňmi 4 a −2.

• - Príkaz fprintf slúži na formátovanie výstupu, napríklad počtu iterácií a hodnoty x na päť desatinných miest.
• - Iteračná funkcia phi musí byť zvolená tak, aby metóda konvergovala: √(2x+8) konverguje k 4, x²−8 diverguje.
• - Pri divergencii hodnoty rastú veľmi rýchlo až na nekonečno a algoritmus sa zastaví.
• - Newtonova metóda počíta nové x ako x0 − f(x0)/f'(x0) a iteruje, kým |x − x0| nie je menšia ako zadaná presnosť.
• - Hodnotu x treba uložiť do x0 pred kontrolou podmienky, inak je rozdiel vždy nulový a cyklus skončí predčasne.
• - Výsledný koreň závisí od počiatočného bodu: pre eˣ − x − 2 = 0 vychádza 1,14 zprava a −1,84 zľava, čo potvrdzuje graf.
• - Pre x² − 2x − 8 = 0 Newtonova metóda nájde korene 4 a −2, zhodné s priesečníkmi grafu s osou x.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.