Prednaska - Algoritmy num. mat. a opt. 2.11.2020 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje aproximácii nameraných bodov polynómom metódou najmenších štvorcov. Hľadá sa polynóm stupňa m, pričom m musí byť menšie ako počet bodov n. Účelová funkcia je vážený súčet štvorcov vzdialeností y_i − p(x_i) a váhy umožňujú zvýhodniť presnejšie merania, takže polynóm prechádza bližšie k nim. Minimum funkcie sa nájde tak, že sa všetky parciálne derivácie podľa koeficientov a0 až am položia rovné nule, čo vedie k sústave m+1 lineárnych rovníc o m+1 neznámych. Sústavu možno vygenerovať jednoduchými cyklami a vyriešiť napríklad Gaussovou elimináciou alebo v MATLABe jedným príkazom. Nakoniec sa polynóm vykreslí na jemnej sieti medzi minimálnou a maximálnou hodnotou x.

• - Aproximačný polynóm stupňa m musí mať m menšie ako počet bodov n.
• - Účelová funkcia je vážený súčet štvorcov odchýlok y_i − p(x_i).
• - Váhy bodov umožňujú zvýhodniť presnejšie merania, pričom krivka sa k nim priblíži.
• - Minimum sa hľadá nulovými parciálnymi deriváciami podľa koeficientov a0 až am.
• - Vzniká sústava m+1 lineárnych rovníc o m+1 neznámych, riešiteľná napr. Gaussovou elimináciou.
• - Matica sústavy obsahuje sumy w_i·x_i^k, pravá strana sumy w_i·y_i·x_i^k, čo sa dá vygenerovať cyklami.
• - Výsledný polynóm sa vykreslí na jemnej sieti medzi minimálnou a maximálnou hodnotou x.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.