Prezentacia - Algoritmy num mat. a opt. 19.10.2020 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška rozlišuje aproximáciu a interpoláciu polynómom. Najprv vysvetľuje pojem polynómu a jeho stupňa (určuje ho najvyššia mocnina) a ukazuje aproximáciu funkcie Taylorovým polynómom, napríklad pre sínus alebo e^x; čím viac členov rozvoja sa použije, tým presnejšie polynóm funkciu nahradí. Pri interpolácii je funkcia daná len bodmi a hľadaný polynóm nimi musí presne prechádzať. Pre n+1 uzlových bodov sa dá zostrojiť polynóm najviac n-tého stupňa. Na záver sa začína odvodzovanie Lagrangeovho interpolačného polynómu ako súčtu čiastkových polynómov, ktoré musia spĺňať podmienku L_n(x_i) = f(x_i).

• - Stupeň polynómu určuje jeho najvyššia mocnina premennej.
• - Aproximácia približne nahrádza danú funkciu polynómom, napríklad Taylorovým, ktorého stupeň si možno zvoliť.
• - Čím viac členov Taylorovho rozvoja sa použije, tým presnejšia je aproximácia (napr. sin x, e^x).
• - Interpolačný polynóm musí presne prechádzať všetkými zadanými uzlovými bodmi.
• - Pre n+1 bodov možno zostrojiť interpolačný polynóm najviac n-tého stupňa; stupeň sa nevyberá.
• - Lagrangeov polynóm je súčet čiastkových polynómov L_i násobených hodnotami f(x_i).
• - Základná podmienka: po dosadení x_i do polynómu musí vyjsť funkčná hodnota f(x_i).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.