Prezentacia - Algoritmy num. mat. a opt. 16.11.2020 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška najprv uvádza najjednoduchšiu metódu hľadania minima funkcie dvoch premenných, porovnávanie funkčných hodnôt v sieti bodov, ktorá je jednoduchá, ale výpočtovo náročná. Hlavná časť sa venuje efektívnejšej gradientovej metóde typu bod–smer–krok, ktorá predpokladá, že funkcia má na danej oblasti jediný extrém. Z počiatočného bodu sa vypočíta gradient pomocou parciálnych derivácií, ktorého znamienko sa obráti, aby ukazoval smer najväčšieho poklesu, a nový bod sa získa posunom o konštantný krok lambda. Iterácie sa opakujú, kým vzdialenosť (norma) dvoch posledných bodov nie je menšia ako zadaná presnosť. Metóda sa zovšeobecňuje na funkciu n premenných a následne sa programuje na cvičení.

• - Metóda porovnávania funkčných hodnôt prechádza sieť bodov a pamätá si najmenšiu hodnotu, je jednoduchá, ale výpočtovo náročná.
• - Gradientová metóda je typu bod–smer–krok: počiatočný bod, smer poklesu a konštantný krok lambda.
• - Gradient sa skladá z parciálnych derivácií a ukazuje smer najväčšieho rastu funkcie, preto sa používa opačný gradient.
• - Nový bod: x_{k+1} = x_k − λ·∇f(x_k), pričom lambda je zvyčajne malé desatinné číslo (napr. 0,1 alebo 0,2).
• - Iterovanie pokračuje, kým vzdialenosť dvoch posledných bodov nie je menšia ako zadaná presnosť; posledný bod je hľadané minimum.
• - Metóda predpokladá, že funkcia má na oblasti len jeden extrém, podobne ako unimodálne funkcie pri jednoparametrickej optimalizácii.
• - Algoritmus sa zovšeobecňuje na n premenných a realizuje sa cyklom s podmienkou na začiatku s využitím normy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.