Geometria - Prezentacia 28.9.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje homogénnym súradniciam v projektívnej rovine a návratu do euklidovskej roviny odobratím nevlastnej priamky (x3 = 0). Ukazuje sa, že priamka a kúželosečky majú v homogénnych súradniciach homogénny tvar rovnice. Nevlastný bod priamky ax + by + c = 0 má súradnice (−b, a, 0), čo zodpovedá jej smerovému vektoru. Pri kúželosečkách sa dosadením x3 = 0 zisťujú nevlastné body: elipsa (kružnica) žiadny nemá, hyperbola má dva zodpovedajúce smerom asymptot a parabola jeden nevlastný bod.

• - Homogénne súradnice (x1, x2, x3) a ich nenulové násobky reprezentujú ten istý bod projektívnej roviny.
• - Vlastné body majú x3 ≠ 0 a zodpovedajú bodom (x, y) cez x = x1/x3, y = x2/x3; nevlastné body majú x3 = 0.
• - Rovnice priamky a kúželosečiek v homogénnych súradniciach majú všetky členy rovnakého stupňa (homogénna rovnica).
• - Nevlastný bod priamky ax + by + c = 0 je (−b, a, 0) a vyjadruje jej smer.
• - Elipsa (kružnica) nemá nevlastný bod, lebo x3 = 0 vedie len na neexistujúcu trojicu (0, 0, 0).
• - Hyperbola má dva nevlastné body (a, b, 0) a (−a, b, 0), čo sú smery jej asymptot.
• - Parabola y = 2px² má nevlastný bod pri x3 = 0, ktorý vyžaduje x1 = 0, teda jediný nevlastný bod.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.