Cvicenie - Geometria 25.11.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie z geometrie sa venuje bikvadratickým a bilineárnym Bézierovým plochám. Bikvadratická plocha sa dá zapísať v monomiálnej forme s maticou koeficientov 3×3 aj pomocou Bernsteinových polynómov a 3×3 riadiacich vrcholov. Na najjednoduchšej bilineárnej ploche sa krok za krokom ukazuje prevod z Bézierovho tvaru na monomiálny: po roznásobení vychádza, že koeficienty A00, A01, A10, A11 sú kombináciou súradníc štyroch vrcholov (napr. A00 = V00, A01 = V01 − V00, A11 = V00 − V10 − V01 + V11). V GeoGebre sa potom ukazuje, že štyri nekomplanárne body určujú hyperbolický paraboloid, ktorý vzniká aj posúvaním paraboly po inej parabole, a že obsahuje dve triedy tvoriacich priamok, ktoré sú mimobežné v rámci triedy a pretínajú všetky priamky druhej triedy.

• - Bikvadratická plocha má v monomiálnej forme maticu koeficientov 3×3 s jednočlenmi 1, u, u² a 1, v, v².
• - Tú istú plochu možno zapísať Bézierovým tvarom s Bernsteinovými polynómami B2,i(u) a B2,j(v) a riadiacimi vrcholmi Vij.
• - Pri bilineárnej ploche platí A00 = V00, A01 = V01 − V00, A10 = V10 − V00 a A11 = V00 − V10 − V01 + V11.
• - Koeficienty Aij sú trojice čísel, rovnako ako súradnice vrcholov, takže sa počítajú pre každú súradnicu osobitne.
• - Štyri nekomplanárne vrcholy určujú bilineárnu plochu, ktorá je hyperbolický paraboloid.
• - Hyperbolický paraboloid vznikne posúvaním paraboly po parabole s opačným smerom osi; prostredný riadiaci vrchol krivky je stredom úsečky určenej zvyšnými dvoma vrcholmi.
• - Na ploche ležia dve triedy tvoriacich priamok: v rámci triedy sú mimobežné a každá pretína všetky priamky druhej triedy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.