Cvicenie - Geometria 4.11.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Cvičenie z geometrie sa venuje Bézierovým krivkám tretieho stupňa so zadanými riadiacimi vrcholmi V0(-1,0), V1(0,1), V2(0,-1), V3(1,0). Pomocou de Casteljauovho algoritmu sa vypočíta bod v parametrickom strede t = 1/2, ktorý má súradnice (0,0), a smer dotyčnice v ňom (1/2, -1/2), teda pod uhlom 45°. Následne sa počíta prvá a druhá derivácia v počiatočnom bode cez doprednú diferenciu: prvá je 3(V1 − V0) a druhá 6(V2 − 2V1 + V0) = (-6, -18). Druhá derivácia sa geometricky interpretuje ako uhlopriečka rovnobežníka daného vektormi ΔV0 a ΔV1. Napokon sa krivka prepisuje z Bernsteinovej bázy do monomiálnej formy, teda do lineárnej kombinácie jednočlenov 1, t, t², t³ s dvojzložkovými koeficientmi, pričom x-ová zložka vychádza ako -1 + 3t - 3t² + 2t³.

• - De Casteljauov algoritmus pre t = 1/2 dáva bod (0,0) na krivke.
• - Smer dotyčnice v strede krivky je (1/2, -1/2), teda pod uhlom 45°.
• - Prvá derivácia v počiatočnom bode: 3(V1 − V0) (dopredná diferencia).
• - Druhá derivácia v počiatočnom bode: 6(V2 − 2V1 + V0) = (-6, -18).
• - Druhá derivácia zodpovedá uhlopriečke rovnobežníka z vektorov ΔV0 a ΔV1.
• - Monomiálna forma zapisuje krivku ako a0 + a1·t + a2·t² + a3·t³ s koeficientmi a_i s dvomi zložkami.
• - Prevod z Bernsteinových polynómov: x(t) = -1 + 3t - 3t² + 2t³.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.