Prednaska - Geometria 26.10.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška pokračuje v téme Bézierových kkriviek deriváciou a hodografom. Prvá derivácia Bézierovej krivky n-tého stupňa je krivka stupňa n−1, ktorej riadiace prvky tvoria vektory ΔV_i = V_{i+1} − V_i, vynásobené číslom n. Vyššie derivácie sa vyjadrujú rekurzívne cez dopredné diferencie Δ^k V_i s koeficientom n!/(n−k)! a Bernsteinovými polynómami stupňa n−k. Pri vyjadrení cez pôvodné vrcholy sa koeficienty zhodujú s riadkami Pascalovho trojuholníka so striedajúcimi sa znamienkami. V koncových bodoch krivky sa derivácia zjednodušuje na jediný člen, pretože ostatné Bernsteinove polynómy sú tam nulové. Hodograf vzniká pripočítaním vektorov ΔV_i k ľubovoľnému bodu a vyjadruje zmenu smeru dotyčníc pôvodnej krivky. Na záver prednášky sa zovšeobecňuje maticový a monomiálny zápis krivky na n-tý stupeň.

• - Derivácia Bézierovej krivky n-tého stupňa je n-násobok krivky stupňa n−1 s riadiacimi vektormi ΔV_i = V_{i+1} − V_i.
• - Vyššie derivácie sa definujú rekurzívne: Δ^k V_i = Δ^{k−1} V_{i+1} − Δ^{k−1} V_i, pričom Δ^0 V_i = V_i.
• - Pri k-tej derivácii sa pred sumu dostane koeficient n!/(n−k)! a použijú sa Bernsteinove polynómy stupňa n−k.
• - Vyjadrenie cez pôvodné vrcholy má koeficienty z Pascalovho trojuholníka so striedavými znamienkami (napr. 1, −3, 3, −1 pre tretiu deriváciu).
• - V koncových bodoch (t = 0 a t = 1) sa k-tá derivácia redukuje na jediný člen, Δ^k V_0 resp. Δ^k V_{n−k}, násobený n!/(n−k)!.
• - Hodograf sa konštruuje pripočítaním vektorov ΔV_i k ľubovoľnému bodu O a vyjadruje zmenu smeru dotyčníc krivky.
• - Maticový a monomiálny zápis kubickej krivky sa zovšeobecňuje na krivku n-tého stupňa.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.