Prednaska - Geometria 7.12.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška uzatvára tému geometrie v počítačovej grafike racionálnou trojuholníkovou Bézierovou záplatou. Po zopakovaní štvoruholníkových záplat (plochy tenzorového súčinu) a trojuholníkových záplat s barycentrickými súradnicami, riadiacou sieťou a Bernsteinovými polynómami sa pridávajú váhy riadiacich bodov, odvodené z projektívneho priestoru delením poslednou súradnicou. Váhy umožňujú tvarovať plochu a vytvárať kvadratické plochy ako elipsoid, guľu či hyperboloid, nielen paraboloid. Kvadratická záplata má len šesť riadiacich bodov na hranici a žiadny vnútorný, preto pokrytie gule komplikuje; rieši to veta o spoločnom bode a dotykovej rovine hraničných kriviek a doplnenie medzier štvoruholníkovými záplatami. Na záver sa spomína konštrukcia v Mathematice a nutnosť reparametrizácie, keďže program nepozná barycentrické súradnice.

• - Trojuholníková Bézierova záplata stupňa n má (n+1)(n+2)/2 riadiacich bodov usporiadaných do trojuholníkovej schémy, súčet trojindexu i+j+k je rovný n.
• - Racionálna záplata vzniká z projektívneho priestoru delením poslednou súradnicou; posledné súradnice zostávajú ako váhy riadiacich bodov.
• - Váhy umožňujú vytvárať kvadratické plochy (elipsoid, guľa, hyperboloid), nielen paraboloid ako pri polynomiálnej záplate.
• - Kvadratická trojuholníková záplata má iba šesť hraničných riadiacich bodov, takže vnútro plochy nemožno priamo usmerniť.
• - Veta o spoločnom bode a dotykovej rovine predĺžených hraničných kriviek zaručuje, že celá záplata leží na kvadratickej ploche.
• - Guľu možno pokryť trojuholníkovými záplatami a medzery doplniť štvoruholníkovými záplatami (patchwork teorém).
• - Pri vykresľovaní v Mathematice treba záplatu reparametrizovať, lebo program nepozná barycentrické súradnice.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.