Prednaska - Geometria 9.11.2021 11:00

Zhrnutie prednášky

Prednáška pokračuje racionálnymi Bézierovými krivkami: v de Casteljauovom algoritme sa v každom kroku okrem nového vrcholu počítajú aj jeho váhy rovnakým predpisom. Väčšia váha priťahuje krivku k riadiacemu vrcholu, nulová váha vrchol z riadiaceho polygónu vyradí. Uvádzajú sa vlastnosti: pri rovnakých váhách vzniká polynomická Bézierova krivka, krivka prechádza prvým a posledným bodom a je v nich dotýkaná polygónom, platí afinná aj projektívna invariancia a konvexný obal (len pri kladných váhách). Každú krivku možno reparametrizovať do štandardného tvaru s prvou a poslednou váhou rovnou 1. Racionálne kvadratické krivky popisujú kužeľosečky, pričom stredná váha určuje, či vznikne parabola, elipsa alebo hyperbola. Rozlišuje sa podľa počtu nevlastných bodov v projektívnom priestore.

• - Pri de Casteljauovom algoritme sa v každom kroku počítajú aj váhy nových vrcholov rovnakým predpisom.
• - Väčšia váha priťahuje krivku k vrcholu, nulová váha vrchol z krivky vynecháva.
• - Pri rovnakých váhách dostaneme polynomickú Bézierovu krivku.
• - Krivka prechádza prvým a posledným riadiacim bodom a je tam dotýkaná polygónom (ak tieto váhy nie sú nulové).
• - Platí afinná a projektívna invariancia, konvexný obal len pri kladných váhách.
• - Štandardný tvar má prvú a poslednú váhu rovnú 1, čo uľahčuje porovnávanie váh.
• - Racionálna kvadratická krivka so strednou váhou dáva parabolu, elipsu alebo hyperbolu podľa počtu nevlastných bodov (1, 0, 2).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.