TAR1_20160926 03 Fundamentálna matica - vlastnosti

Zhrnutie prednášky

Krátka prednáška sumarizuje základné vlastnosti fundamentálnej matice Φ(t) = e^{At}. Ukazuje sa, že Φ(0) = I (jednotková matica), platí posun v čase x(t) = Φ(t-t0)x(t0) a derivácia Φ'(t) = AΦ(t) = Φ(t)A vďaka komutatívnosti násobenia pre túto špeciálnu maticu. Spomína sa značenie e^{-At} ako Φ(t)^{-1} a možnosť rozdeliť fundamentálnu maticu na súčin cez čiastkové časové intervaly, analogicky k príkladu s úrokovaním z predošlej prednášky. Na záver sa opakuje výpočet fundamentálnej matice ako spätnej Laplaceovej transformácie (sI-A)^{-1}, s naznačeným rozkladom na parciálne zlomky pre konkrétnu maticu A.

• - Φ(0) = jednotková matica, časový posun x(t) = Φ(t−t0)x(t0)
• - Derivácia fundamentálnej matice: Φ'(t) = AΦ(t) = Φ(t)A (komutatívnosť)
• - Značenie e^{-At} ako inverzná fundamentálna matica Φ(t)^{-1}
• - Rozklad fundamentálnej matice na súčin cez čiastkové časové intervaly
• - Výpočet Φ(t) ako spätnej Laplaceovej transformácie (sI-A)^{-1}, ukážka rozkladu na parciálne zlomky

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.