TAR1_20141001 06 Ljapunovova stabilita U trubice

Zhrnutie prednášky

Prednáška demonštruje Ljapunovovu metódu stability na príklade U trubice s manometrom, ktorá je opísaná diferenciálnou rovnicou druhého rádu prevedenou na stavový opis s premennými x1 (výška hladiny) a x2 (rýchlosť zmeny výšky). Ako Ljapunovova funkcia sa použije celková mechanická energia kvapaliny, zložená z kinetickej a potenciálnej energie, ktorá sa vyjadrí integráciou cez výšku vodného stĺpca. Ukazuje sa, že táto energia je pozitívne definitná funkcia (nulová v rovnovážnom stave, kladná inde), čím spĺňa vlastnosti normy. Následným derivovaním energie podľa času a dosadením stavových rovníc sa dokáže, že jej časová zmena je vždy negatívna (rovná -Fkx2²), teda energia v čase klesá. Z tohto poklesu sa vyvodí, že systém je asymptoticky stabilný vo veľkom, pretože konverguje do rovnovážneho stavu z akýchkoľvek počiatočných podmienok.

• - Model U trubice ako diferenciálna rovnica 2. rádu prevedená na stavový opis (x1 = výška, x2 = rýchlosť)
• - Voľba celkovej mechanickej energie (kinetická + potenciálna) ako kandidáta na Ljapunovovu funkciu
• - Výpočet potenciálnej energie integráciou cez elementárne vrstvy kvapaliny v rôznych výškach
• - Energia je pozitívne definitná – nulová v rovnováhe, kladná pre všetky ostatné stavy (analógia s normou)
• - Derivovanie energie podľa času pomocou reťazového pravidla a dosadenie stavových rovníc
• - Výsledná derivácia energie je vždy negatívna (-Fkx2²), čo znamená pokles energie v čase
• - Klesajúca energia dokazuje asymptotickú stabilitu systému vo veľkom

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.