TAR1_20141001 03 Alternatívny spôsob výpočtu fundamentálnej matice

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje alternatívny spôsob výpočtu fundamentálnej matice systému pomocou podobnostnej (kanonickej) transformácie stavového vektora x na nový vektor z, pričom platí x = Tz, kde T je transformačná matica zložená z vlastných vektorov matice A. Po dosadení do stavovej rovnice sa systém prevedie na diagonálny tvar s maticou vlastných čísel Λ, čo umožňuje jednoduché riešenie v tvare exponenciály diagonálnej matice. Spätným dosadením sa získa fundamentálna matica e^(At) = T·e^(Λt)·T⁻¹, čo je alternatíva k výpočtu pomocou spätnej Laplaceovej transformácie (sI-A)⁻¹. Postup je demonštrovaný aj na konkrétnom príklade s výpočtom v prostredí MATLAB. Metóda je použiteľná len pri reálnych a navzájom rôznych vlastných číslach matice A.

• - Zavedenie transformácie x = Tz, kde T je matica vlastných vektorov A
• - Dosadením do stavovej rovnice vznikne diagonálny systém s maticou vlastných čísel Λ
• - Riešenie diagonálneho systému je z(t) = e^(Λt)·z(0), bez potreby parciálnych zlomkov
• - Spätnou transformáciou sa získa fundamentálna matica e^(At) = T·e^(Λt)·T⁻¹
• - e^(Λt) sa počíta jednoducho ako diagonálna matica s prvkami e^(λᵢt)
• - Demonštrácia výpočtu matíc T a Λ v MATLABe na konkrétnom príklade
• - Metóda platí len pre reálne a navzájom rôzne vlastné čísla matice A, pri komplexných číslach diagonalizácia zlyháva

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.