TAR1_20160926 02 Riešenie stavovej rovnice dot{x} = A x (numericky)

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na analytické riešenie ẋ = Ax a ukazuje numerický (aproximačný) prístup k výpočtu maticovej exponenciály. Cez príklad s bankovým úrokom (100 % ročne oproti polročnému, mesačnému a dennému úročeniu) sa ilustruje, ako sa postupným delením intervalu a limitným prechodom dostáva k číslu e. Následne sa odvodzuje aproximácia derivácie pomocou dotyčnice a diferenčného podielu, ktorá sa aplikuje na stavovú rovnicu: x(t+h) ≈ (I+hA)x(t). Opakovaným krokovaním sa dospeje k vzťahu x(t) = (I+hA)^k x0, ktorý pri k → ∞ konverguje k x(t) = e^{At} x0. Zavádza sa pojem maticovej exponenciály (fundamentálnej matice) a jej výpočet v Matlabe funkciou expm.

• - Bankový príklad s úrokmi (ročne/polročne/mesačne/denne) ako ilustrácia limity vedúcej k číslu e
• - Aproximácia derivácie dotyčnicou a diferenčným podielom (x(t+h)-x(t))/h
• - Diskretizácia stavovej rovnice: x(t+h) ≈ (I + hA) x(t)
• - Odvodenie x(t) = (I+hA)^k x0 a jeho limita pre k→∞ dáva e^{At} x0
• - Fundamentálna matica = maticová exponenciála e^{At}, v Matlabe funkcia expm

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.