TAR1_20141001 07 Ljapunovova funkcia a Ljapunovove vety of stabilite

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Ljapunovovu funkciu ako zovšeobecnenú energiu dynamického systému, ktorá slúži na posudzovanie stability bez nutnosti explicitne riešiť diferenciálne rovnice. Funkcia musí byť spojitá, mať spojité derivácie podľa stavov a byť pozitívne definitná, pričom jej derivácia podľa času nesmie byť kladná. Ak takáto funkcia pre systém existuje, je systém stabilný podľa Ljapunova; ak sa nenájde, o stabilite sa nedá rozhodnúť, keďže neexistuje všeobecný postup na jej hľadanie. Ako typickí kandidáti sa používajú suma štvorcov stavov alebo váhovaná kvadratická forma so symetrickou maticou P. Rozoberá sa aj rozdiel medzi stabilitou (derivácia ≤ 0) a asymptotickou stabilitou (derivácia < 0), doplnený o pravidlá transpozície súčinu matíc potrebné pri výpočte derivácie funkcie podľa času.

• - Ljapunovova funkcia je zovšeobecnená energia systému používaná na posúdenie stability.
• - Musí byť spojitá, spojito diferencovateľná a pozitívne definitná (kladná pre nenulové x, nulová pre x=0).
• - Derivácia Ljapunovovej funkcie podľa času musí byť nekladná (stabilita) alebo záporná (asymptotická stabilita).
• - Ak vhodná funkcia neexistuje alebo sa nenájde, o stabilite systému nemožno rozhodnúť.
• - Typickí kandidáti na Ljapunovovu funkciu: suma štvorcov stavov alebo kvadratická forma s maticou P.
• - Derivácia V podľa času sa počíta ako parciálna derivácia podľa stavov krát pravé strany diferenciálnych rovníc (dosadené x s bodkou).
• - Pri práci s transponovanými maticovými súčinmi treba obrátiť poradie matíc (napr. (AB)^T = B^T A^T).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.