TAR1_20160926 11 Ljapunovova rovnica a stabilita pre lineárne systémy

Zhrnutie prednášky

Prednáška z teórie automatického riadenia sa venuje Ljapunovovej stabilite lineárnych systémov, kde sa hľadanie Ljapunovovej funkcie výrazne zjednodušuje. Pre systém x'=Ax sa volí kvadratická forma V(x)=x^T P x s pozitívne definitnou maticou P, ktorá sa overuje cez kladnosť hlavných determinantov. Derivovaním V podľa času a dosadením stavovej rovnice sa odvodí Ljapunovova rovnica A^T P + P A = -Q, kde Q je pozitívne definitná matica. Platí, že ak je matica A asymptoticky stabilná, pre ľubovoľné zvolené pozitívne definitné Q existuje pozitívne definitné riešenie P, čo je ekvivalentné podmienke, že všetky vlastné čísla A majú záporné reálne časti. Výpočet cez Ljapunovovu rovnicu je pre väčšie matice jednoduchší než priamy výpočet vlastných čísel; v Matlabe sa rieši funkciou lyap.

• - Pre lineárny systém x'=Ax sa volí kvadratická Ljapunovova funkcia V(x)=x^T P x
• - Pozitívna definitnosť matice P sa overuje kladnosťou hlavných (vedúcich) determinantov
• - Derivovaním V a dosadením x'=Ax sa odvodí Ljapunovova rovnica A^T P + P A = -Q
• - Q musí byť pozitívne definitná matica, aby derivácia V bola negatívne definitná
• - Asymptotická stabilita A je ekvivalentná existencii pozitívne definitného riešenia P
• - Ekvivalencia s podmienkou, že všetky vlastné čísla matice A majú záporné reálne časti
• - V Matlabe sa Ljapunovova rovnica rieši príkazom lyap

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.