TAR1_20141023 03 odozva dynamického systému na harmonický signál

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje frekvenčnú odozvu dynamického systému prvého rádu na harmonický vstupný signál tvaru A·sin(ωt). Pomocou konvolučného integrálu, definície Laplaceovej transformácie a Eulerovho vzťahu pre sínus sa ukazuje, že po odznení prechodových javov má výstup ustálený tvar B·sin(ωt+φ). Odvodí sa, že amplitúda výstupu B sa rovná A násobenému absolútnou hodnotou prenosu G(jω) a fázový posun φ je daný argumentom (uhlom) tohto komplexného čísla. Na demonštrácii pri frekvenciách 1 a 10 sa ukazuje, že so zvyšujúcou sa frekvenciou klesá zosilnenie a rastie fázové oneskorenie výstupu oproti vstupu. Na záver sa výsledok aplikuje na konkrétny systém so zosilnením 2 a časovou konštantou 1, kde sa fázový posun vyjadrí ako záporný arkustangens frekvencie.

• - Odozva systému prvého rádu na vstup A·sin(ωt) sa odvodzuje pomocou konvolučného integrálu a definície Laplaceovej transformácie.
• - Kľúčovým krokom je vyjadrenie sínusu pomocou Eulerovho vzťahu (sin φ = (e^{jφ}−e^{−jφ})/2j).
• - Integrály v odvodení zodpovedajú Laplaceovej transformácii G(s) vyhodnotenej v s = jω a s = −jω.
• - Po odznení prechodových javov (t→∞) má výstup ustálený harmonický tvar B·sin(ωt+φ).
• - Amplitúda výstupu B = A·|G(jω)| — závisí od absolútnej hodnoty prenosu pri danej frekvencii.
• - Fázový posun φ zodpovedá argumentu (uhlu) komplexného čísla G(jω).
• - Pri vyššej vstupnej frekvencii (napr. 10 oproti 1) klesá zosilnenie a rastie fázové oneskorenie výstupu, čo bolo demonštrované graficky.
• - Pre konkrétny systém so ziskom 2 a T=1 sa fázový posun vypočíta ako −arctan(ωT).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.