Variabilita

1

Štatistika 1
Miery variability

2.prednáška

Osnova prednášky:

(1) Členenie mier variability

(2) Absolútne miery variability

(3) Relatívne miery variability

(4) Rozklad rozptylu na zložky

(5) Kovariancia

(6) Koeficient korelácie

(1)Členenie mier variability

Variabilita

je premenlivosť hodnôt znaku alebo

navzájom alebo voči určitej typickej
konštante.

2

Hľadiská členenia mier variability

vplyv hodnôt znaku na veľkosť charakteristiky

charakteristiky, ktoré nie sú ovplyvnené každou

hodnotou znaku (variačné rozpätie, kvantilové
rozpätie, kvantilová odchýlka)

charakteristiky variability, ktoré sú ovplyvnené

každou hodnotou znaku (priemerná odchýlka,
smerodajná odchýlka, rozptyl).

hľadisko interpretácie

absolútne miery variability – miery v pôvodných

merných jednotkách, prípadne v ich štvorcoch
(variačné rozpätie, kvantilové rozpätie, kvantilová
odchýlka, priemerná odchýlka, rozptyl, štandardná
odchýlka),

relatívne (pomerné) miery variability -

v percentách (variačný koeficient (V

k) a pomerná

priemerná odchýlka (D

x)).

(2) Absolútne miery variability

Variačné rozpätie

rozdiel najväčšej a najmenšej hodnoty

závisí len od extrémnych hodnôt, neinformuje o
skutočnej variabilite medzi extrémami

Kvantilové rozpätie

rozdiel medzi horným a dolným kvantilom

kvartilové rozpätie

max

min

R x

x

=

−

1

1

Q

R

Q

Q

α

α

α−

=

−

4

4

3

1

Q

R

Q

Q

=

−

3

Kvantily

rozdeľujú rad hodnôt znakov, usporiadaný

podľa veľkosti, na určitý počet skupín (

α) s

rovnakým počtom prvkov.

medián (

α = 2)

kvartily (

α = 4)

decily (

α = 10)

percentily (

α = 100)

Kvantilová odchýlka

je definovaná ako aritmetický priemer
kladných odchýlok susedných kvantilov

Kvartilová odchýlka je polovičné

rozpätie medzi horným a dolným kvartilom

(

) (

)

(

)

1

2

2

3

2

1

1

1

2

2

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

−

−

−

−

−

−

+

−

+ +

−

−

=

=

−

−

…

4

4

3

1

2

Q

Q

Q

−

=

Priemerná odchýlka

je aritmetickým priemerom absolútnych

odchýlok jednotlivých hodnôt sledovaného
znaku od strednej hodnoty

podľa toho, od ktorej strednej hodnoty

meriame jednotlivé odchýlky, dostávame

priemerná odchýlka vzhľadom na aritmetický

priemer

priemerná odchýlka vzhľadom na medián.

1

1

m

x

i

i

i

d

x

x n

n =

=

− ⋅

∑

1

1

n

x

i

i

d

x

x

n =

=

−

∑

ɶ

ɶ

4

Rozptyl (variancia)

je aritmetický priemer zo štvorcov odchýlok

hodnôt znaku od aritmetického priemeru

výpočtový tvar

kde

(

)2

2

1

1

m

x

i

i

i

s

x

x n

n =

=

−

∑

2

2

1

m

i i

i

x n

x

n

=

=

∑

2

2

2

-

x

s

x

x

=

Smerodajná odchýlka

interpretuje sa ako + odchýlka od

aritmetického priemeru

2

x

x

s

s

=

Vlastnosti rozptylu

Rozptyl konštanty sa rovná nule.

Ak ku každej hodnote znaku pripočítame

konštantu, rozptyl sa nezmení.

Ak každú hodnotu znaku vynásobíme

nenulovou konštantou, rozptyl sa zmení
súčinom štvorca tejto konštanty.

Rozptyl súčtu (rozdielu) dvoch znakov sa rovná

súčtu (rozdielu ) rozptylov týchto znakov
zväčšenému (zmenšenému) o dvojnásobok
kovariancie

5

(3) Pomerné miery variability

Variačný koeficient

Pomerná priemerná

odchýlka

Používajú sa na porovnanie variability znakov, ktoré sa
líšia svojou úrovňou alebo mernými jednotkami.

[ ]

100

=

⋅

x

k

s

V

x

%

[ ]

100

= ⋅

x

d

D

x

%

(4) Rozklad rozptylu na zložky

y

1

y

2

y

3

y

4

y

i

y

i

y

y

−

i

i

y

y

−

i

y

y

−

celkový rozptyl =

vnútroskupinový rozptyl + medziskupinový rozptyl

(

)2

2

2

2

2

1

1

1

1

m

m

i

i

i

i

i

i

y

i

m

m

y

i

i

i

i

S

n

y

y

n

S

S

S

n

n

=

=

=

=

⋅

−

⋅

=

+

=

+

∑

∑

∑

∑

6

Kovariancia

je aritmetický priemer súčinov odchýliek

hodnôt znakov od ich aritmetických
priemerov

charakterizuje typ lineárnej závislosti

v jednoduchom tvare:

( )

1

(

) (

)

cov

,

n

i

i

i

x

x

y

y

x y

xy

x y

n

=

− ⋅

−

=

=

− ⋅

∑

kovariancia vo váženom tvare

( )

1

1

1

1

.

.

1

1

1

1

(

) (

)

cov

,

r

s

i

j

ij

i

j

r

s

ij

i

j

r

s

s

r

i

j

ij

j

j

i

i

i

j

j

i

x

x

y

y

n

x y

n

x y

n

y

n

x n

n

n

n

=

=

=

=

=

=

=

=

− ⋅

− ⋅

=

=

⋅ ⋅

⋅

⋅

=

−

⋅

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

Interpretácia kovariancie

Ak medzi znakmi X a Y predpokladáme

lineárny vzťah

cov(x,y) > 0 – medzi znakmi je priama

zavislosť

cov(x,y) < 0 – znaky sú nepriamo závislé

cov(x,y) = 0 – znaky sú nekorelované

7

Koeficient korelácie

vzťah:

môže nadobudnúť hodnoty z intervalu

meria intenzitu lineárnej závislosti

čím je hodnota koeficientu korelácie bližšia k ,

tým je závislosť silnejšia

( )

( )

cov

,

,

x y

x y

r x y

s s

=

1;1

−

1

±

Ďakujem za pozornosť.