nechodím na prednáškyPravdepodobnost
len pre VES
Stiahnuť PDF · 210 kBPreber si túto poznámku so svojou AI
Skopíruj pripravený podklad a vlož ho do ChatGPT, Claude alebo inej AI — bude ťa učiť alebo skúšať len z tejto poznámky.
Náhľad poznámky
1
Štatistika 1
Pravdepodobnosť
4. prednáška
(Hromadný) náhodný pokus a
náhodná udalosť (jav)
náhodný pokus
náhodný po
náhodný
náho
- dej (činnosť)
prebiehajúci za určitých podmienok,
ktorého výsledky pozorujeme, môže
sa opakovať
náhodná udalosť (jav)
náhodná udalosť (
náhodná udalo
náhodná ud
– výsledok
náhodného pokusu ovplyvnený okrem
známych faktorov, neznámymi
(náhodnými) činiteľmi
Elementárne udalosti
elementárna udalosť (jav) -
bezprostredný („najjednoduchší“) výsledok
náhodného pokusu
priestor elementárnych javov
-
množina všetkých elementárnych udalostí
(vzťahujúcich sa na konkrétny náhodný
pokus)
Ω
{
}
1
2
,
,
Ω = ω ω …
ω
2
Náhodný jav
je podmnožinou množiny , ale takou ktorá
patrí do pravdepodobnostného pola S,
označenie A, B, …
S je systém náhodných javov definovaných na
množine :
1. je neprázdny
2. ak jav A patrí do S, potom do S patrí aj doplnok
javu A,
3. ak spočitateľná postupnosť javov A
1, A2,... patrí
do S, potom aj ich zjednotenie patrí do S.
Ω
Ω
Vzťahy medzi náhodnými udalosťami
náhodná udalosť A „nastala“, ak výsledkom
náhodného pokusu je elementárna udalosť
istá udalosť
– pri existencii daného súboru
podmienok musí nastať
nemožná udalosť
- nikdy nemôže za
daných podmienok nastať
A
ω ∈
Ω
∅
jav opačný k javu A – spočíva v nenastatí
javu, je doplnkom k javu
A
jav A je časťou javu B – pri každom nastatí
javu
A nastane aj jav B, teda jav A má za
následok jav
B, jav A je podmnožinou javu
B
javy A a B sú rovnocenné – ak nastane jav
A súčasne nastane jav B
3
zjednotenie javov A a B – nastane aspoň
jeden z javov
A a B
prienik javov A a B – jav spočívajúci
v súčasnom nastatí oboch javov
nezlúčiteľné (nezávislé, disjunktné) javy A a
B - javy nemôžu súčasne nastať, ich prienik
je jav nemožný
Pravdepodobnosť
Pravdepodobnosť je číslo z intervalu <0;1>
charakterizujúce mieru výskytu náhodného
javu
Definície pravdepodobnosti:
klasická
štatistická
Kolmogorovova axiomatická
geometrická
Klasická definícia pravdepodobnosti
Nech je konečná a neprázdna
množina. Nech každý z javov je rovnako
možný. Potom pravdepodobnosť náhodného
javu je daná vzťahom
kde je počet prvkov množiny (počet
všetkých možných elementárnych výsledkov
náhodného pokusu) a je počet priaznivých
výsledkov, t.j. elementárnych výsledkov, ktoré
znamenajú nastatie náhodného javu ).
{
}
1, ....,
n
Ω = ω
ω
i
ω
( )
P
A
A
=
Ω
Ω
A
4
Vlastnosti pravdepodobnosti
pre každú náhodnú udalosť
A
ak , tak
a z týchto vlastností sa dajú odvodiť:
1
)
(
0
≤
≤
A
P
1
=
)
(
Ω
P
P( ) = 0
∅
∅
∩ =
B
A
)
(
)
(
=
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
∪
)
(
1
=
)
(
A
P
A
P
c
−
)
(
)
(
)
(
=
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
∩
−
+
∪
Geometrická definícia
pravdepodobnosti
Nech je časť priestoru s konečnou mierou
(napr. dĺžka, obsah, objem). Potom pre
pravdepodobnosť náhodnej udalosti
s mierou platí
Ω
||
||
Ω
Ω
⊆
A
||
|| A
.
||
||
||
||
=
)
(
Ω
A
A
P
Štatistická definícia pravdepodobnosti
Ak pri nezávislom n-násobnom opakovaní
pokusu nastane jav
A práve m krát, jeho
relatívna početnosť sa rovná
. Ak platí , tak číslo
p nazveme pravdepodobnosťou javu A.
p
A
f
n
n
=
)
(
lim
∞
→
)
( A
f
n
n
m
5
Axiomatická definícia
pravdepodobnosti (Kolmogorov 1933)
Nech je neprázdna množina a nech S je
systém náhodných javov definovaných na
Potom pravdepodobnosťou nazveme funkciu
, pre ktorú platí
1.
2. pre každé
3. ak máme ľubovoľné po dvojiciach
disjunktné javy :
Ω
Ω
P : S
[0,1]
→
1
=
)
(
Ω
P
0
)
(
≥
A
P
S
A
∈
S
A
A
∈
…
,
,
2
1
)
(
=
)
(
1
=
1
=
i
i
i
i
A
P
A
P
∑
∞
∞
∪
Nezávislosť javov
trojicu nazývame
pravdepodobnostný priestor
Náhodné javy sú nezávislé, ak
platí
)
,
,
(
P
S
Ω
S
B
A
⊂
,
).
(
.
)
(
=
)
(
B
P
A
P
B
A
P
∩
Náhodná premenná
Nech je daný pravdepodobnostný priestor
. Zobrazenie
nazývame náhodnou premennou, ak pre
každé reálne číslo
x platí
Označenie: náhodná premenná
X, Y, Z,...
konkrétna hodnota (realizácia) NP:
x, y, z, .....
(
)
, , P
S
Ω
:
X
R
Ω →
( )
{
}
; X
x
S
ω∈Ω
ω < ∈
6
Typy náhodnej premennej
diskrétna – môže nadobúdať len konečný
alebo spočítateľne nekonečný počet hodnôt
spojitá – môže nadobudnúť ľubovoľnú
hodnotu z konečného alebo nekonečného
intervalu
Zákon rozdelenia
pravdepodobnosti
náhodnej premennej je pravidlo, ktoré každej
prípustnej hodnote alebo intervalu hodnôt
priraďuje pravdepodobnosť, že náhodná
premenná nadobudne túto hodnotu alebo
hodnoty z určitého intervalu.
Je daný napríklad pravdepodobnostnou
funkciou alebo distribučnou funkciou.
Pravdepodobnostná funkcia
je funkcia, ktorá každej prípustnej hodnote
diskrétnej náhodnej premennej priradí
pravdepodobnosť nadobudnutia tejto
hodnoty, teda
Platí
Prav. funkcia môže byť daná tabuľkou
i
x
}).
=
)
(
,
({
=
)
=
(
=
)
(
i
i
i
x
X
P
x
X
P
x
P
ω
ω
1
=
)
(
1
i
i
x
P
∑
≥
7
Distribučná funkcia
je funkcia , ktorá každému
reálnemu číslu priradí pravdepodobnosť, že
náhodná premenná
X nadobudne hodnoty
menšie ako
x , t. j.
F : R
R
→
F(x) = P({
; X( ) < x}) = P(X < x), x
R.
ω∈Ω
ω
∈
Vlastnosti distribučnej funkcie:
pre každé reálne číslo
x platí, že ,
F je neklesajúca funkcia,
F je v ľubovoľnom bode spojitá zľava,
,
nech
a, b sú ľubovoľné reálne čísla a a < b
potom
1
)
(
0
≤
≤
x
F
0
=
)
(
lim
x
F
x
−∞
→
1
=
)
(
lim
x
F
x
∞
→
).
(
)
(
=
)
<
(
a
F
b
F
b
X
a
P
−
≤
Distribučná funkcia diskrétnej
náhodnej premennej
pre DNP vypočítame hodnotu NP podľa
vzťahu
).
=
(
<
=
)
(
i
i
x
x
X
P
x
x
F
∑
8
Distribučná funkcia spojitej náhodnej
premennej
Pre SNP vypočítame hodnotu distribučnej
funkcie podľa vzťahu:
kde f je nezáporná integrovateľná funkcia a
nazýva sa hustota rozdelenia
pravdepodobnosti náhodnej premennej
,
d
)
(
=
)
(
t
t
f
x
F
x
∫
∞
−
Vlastnosti hustoty
f je nezáporná funkcia
1
=
d
)
(
x
x
f
∫
∞
∞
−
)
(
'
=
)
(
x
F
x
f
x
x
f
b
a
X
P
b
X
a
P
b
a
d
)
(
=
))
,
(
=
)
<
(
∫
〈
∈
≤
9
Číselné charakteristiky NP
stredná hodnota NP
disperzia NP
smerodajná odchýlka
)
=
(
=
]
[
x
X
xP
X
E
x
∑
x
x
xf
X
E
d
)
(
=
]
[
∫
∞
∞
−
],
])
[
[(
=
]
[
2
X
E
X
E
X
D
−
]
[
=
]
[
X
D
X
σ
Kvantil
Číslo nazveme . 100 % kvantilom
rozdelenia spojitej náhodnej premennej
X s
rastúcou distribučnou funkciou, ak platí
α
u
α
P(X < u ) =
α
α
Automaticky vygenerovaný textový náhľad. Pre plné formátovanie si stiahnite súbor.