Hypotézy

1

Výberové skúmanie

Testovanie štatistických hypotéz

Osnova prednášky

• Základné pojmy

• 4 kroky testovania štatistických hypotéz

• testy hypotéz o parametri rozdelenia

jednotiek základného súboru

• test hypotézy o zhode rozdelenia

• Štatistická hypotéza

je tvrdenie alebo predpoklad o neznámom
parametri rozdelenia štatistických jednotiek
v základnom súbore, resp. o type
rozdelenia.

• Testovanie hypotézy

je proces, v ktorom na základe skúmania
jednotiek z výberového súboru overujeme
platnosť alebo neplatnosť hypotézy.

Základné pojmy

Proces testovania

10 Prvý krok: stanovenie nulovej (H

0) a alternatívnej

hypotézy (H

1), obsahom ktorých sú predpoklady o ve

ľ

kosti

parametra základného súboru

H

0: θ = θ

0

H

1: θ ≠ θ

0 (obojstranná

alternatíva)

θ > θ

0 (pravostranná alternatíva)

θ < θ

0 (

ľ

avostranná alternatíva

kde

θ je parameter základného súboru,

θ

0 – jeho predpokladaná hodnota

zhoda rozdelenia empirického a predpokladaného

súboru:

H

0: f(x) = g(x)

H

1: f(x) ≠ g(x)

20 Druhý krok:
-voľba
-veľkosti hladiny významnosti

α

α je pravdepodobnosť zamietnutia správnej (pravdivej) H

0

β je pravdepodobnosť nezamietnutia nesprávnej H

0;

1-β - sila testu

1-β

správne

rozhodnutie

α

chyba

I. druhu

H

0 sa zamieta

β

chyba

II. druhu

1-

α

správne
rozhodnutie

H

0 sa

nezamieta

H

0 je nepravdivá

Pravdepodobnosť

H

0 je pravdivá

Pravdepodobnosť

Skutočnosť

Úsudok

30 Tretí krok:

• určenie testovacej charakteristiky

(testovacej štatistiky) a výpočet jej hodnoty

• množina hodnôt, ktoré môže testovacia

štatistika nadobudnúť, sa nazýva
výberový priestor

• výberový priestor je rozdelený na dva

disjunktné podpriestory – obor prijatia V a
kritický obor W

2

40 Štvrtý krok:
- rozhodnutie o výsledku testu
Pre tento krok je potrebné určiť kritickú hodnotu,

ktorá vymedzuje kritický obor, teda oblasť
zamietnutia nulovej hypotézy alebo rozhodnúť
podľa p-hodnoty.

p-hodnota je najnižšia hladina významnosti, na ktorej

ešte zamietame nulovú hypotézu

závery:
-

ak je hodnota testovacej štatistiky v kritickom
obore, bola testom preukázaná platnosť hypotézy
H

1, zamietame teda H0

-

ak je hodnota testovacej štatistiky v obore
prijatia, nemôžme zamietnuť hypotézu H

0

Test hypotézy o strednej hodnote

základného súboru

1O H

0:µ =µ

0 H1:µ ≠ µ0 (a); µ >µ0 (b); µ < µ0

(c)

2O

α

3O ak

σ základného súboru

poznáme,

(1)

testovacou štatistikou je :

ak

σ základného súboru

nepoznáme, testovacou

(2)

štatistikou je :

0

X

µ

U

σ

n

−

=

0

1

X

µ

T

S

n

−

=

40 V prípade, že obsahom alternatívnej

hypotézy je tvrdenie (a)

µ ≠ µ

0,

a

testovacou štatistikou je (1), hypotézu H

0

zamietame,

ak

U> u

1-

α/2;

ak testovacou štatistikou je (2), hypotézu H

0

zamietame,

ak

T> t

1-

α/2,ν; ν = n -1

resp.

tα,ν (v Exceli)

V prípade, že obsahom alternatívnej

hypotézy je tvrdenie (b):

µ >µ

0 ,

a
testovacou štatistikou je (1), hypotézu H

0

zamietame,

ak

U > u

1-

α;

ak testovacou štatistikou je (2), hypotézu H

0

zamietame,

ak

T > t

1-

α,ν,

resp.

t

2

α,ν (pri hľadaní v Exceli)

V prípade, že obsahom alternatívnej

hypotézy je tvrdenie (c)

µ < µ

0,

a

testovacou štatistikou je (1), hypotézu H

0

zamietame,

ak

U < -u

1-

α;

ak testovacou štatistikou je (2), hypotézu H

0

zamietame,

ak

T< -t

1-

α,ν

resp.

-t

2

α,ν (pri hľadaní v Exceli)

(

)

0

0

9

1

n

π

π

>

−

Test hypotézy o relatívnej početnosti

základného súboru

1O

H

0: π = π0

H

1:

2O

α

3O ak platí podmienka

testovacou štatistikou je

0

0

0

(1

)

p π

U

π

π

n

−

=

−

0

0

0

(a);

(b);

(c)

π

π

π

π

π

π

≠

>

<

3

40 V prípade, že obsahom alternatívnej hypotézy je

tvrdenie

(a) ,

hypotézu H

0 zamietame, ak U> u

1-

α/2 ;

(b) ,

hypotézu H

0 zamietame, ak U > u

1-

α ;

(c) ,

hypotézu H

0 zamietame, ak U < -u

1-

α .

0

π

π

≠

0

π

π

<

0

π π

>

Test hypotézy o zhode rozdelenia dvoch

základných súborov

1O H

0:

H

1:

2O

α

3O Testovacia štatistika

kde n

i sú empirické po

č

etnosti

n.p

i sú teoretické po

č

etnosti, t.j početnosti

za platnosti H

0

f( )

g( )

x

x

=

f( )

g( )

x

x

≠

(

)2

2

i

i

i

n

n p

n p

χ

− ⋅

=

⋅

∑

40 hypotézu H

0 zamietame, ak

resp. pri hľadaní kritických hodnôt
rozdelenia v Exceli,

ν = m - 1 - p - z,
• m je počet tried, do ktorých sme súbor

vytriedili,

• p je počet odhadovaných parametrov

rozdelenia

• z je počet zlúčených tried

(zlučujú sa triedy, pri ktorých je

n.p

i < 5)

2

2

1

,

α ν

χ

χ −

>

2

2

,

α ν

χ

χ

>

Ď

akujem za pozornosť