Kolerácia

Korelačná analýza

skúma intenzitu stochastickej - náhodnej závislosti
medzi štatistickými premennými

jednoduchá korelácia – medzi dvomi premennými
Y a X

viacnásobná korelácia – medzi premennou Y a
dvoma alebo viacerými premennými X

1, X2,..., Xn

Korelačná analýza

Miery intenzity závislosti

korelačný pomer a pomer determinácie - ak

nepoznáme riešenie regresnej úlohy

koeficient korelácie a koeficient

determinácie – ak riešením korelačnej úlohy
je regresná funkcia lineárna v parametroch

Spearmanov koeficient poradovej

korelácie – pre ordinálne premenné

pri viacnásobnej korelácii – koeficient

mnohoásobnej korelácie

Pomer determinácie

meria intenzitu závislosti v prípade, že

nepoznáme regresný model

výpočet sa odvodzuje z rozkladu rozptylu na

zložky (1. rozklad rozptylu):
celkový rozptyl = vnútroskupinový rozptyl +
medziskupinový rozptyl

2

2

2

=

+

y

i

y

s

s

s

2

2

2

1

1

1

(

)

(

)

=

=

=

−

−

=

+

∑

∑

∑

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y n

s n

y

y

n

n

n

n

2

xy

η

Ak rovnicu vydelíme celkovým rozptylom s

y

2,

dostaneme

kde druhý sčítanec je pomer determinácie

2

2

1

1

2

2

1

1

(

) .

1

(

)

(

)

n

n

i

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

i

i

i

s n

y

y

n

y

y n

y

y n

=

=

=

=

−

=

+

−

−

∑

∑

∑

∑

2

2

1

2

1

(

) .

(

)

m

i

i

i

yx

l

j

j

j

y

y

n

y

y n

=

=

−

=

−

∑

∑

η

Pomer determinácie

nadobúda hodnoty z intervalu < 0;1 >

interpretácia: koľko percent variability

premennej Y je vysvetlených variabilitou
premennej X

Korelačný pomer je druhou odmocninou

pomeru determinácie

interpretácia: čím má vyššiu hodnotu, tým

je závislosť medzi premennými tesnejšia

Koeficient korelácie a koeficient
determinácie

meranie intenzity závislosti medzi X a Y, ak

parametre regresnej funkcie sú odhadnuté
metódou najmenších štvorcov

výpočet vychádza z rozkladu rozptylu na zložky

(2. rozklad variability):

celková variabilita = ( teoretická) variabilita

spôsobená regresiou + reziduálna variabilita

CSS = TSS + RSS

2

2

2

1

1

1

ˆ

ˆ

(

)

(

)

(

)

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

y

y

y

y

y

y

=

=

=

−

=

−

+

−

∑

∑

∑

Koeficient determinácie:

Koeficient korelácie:

hodnoty z intervalu < 0;1 >

2

2

1

1

2

2

1

1

ˆ

ˆ

(

)

(

)

1

(

)

(

)

n

n

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

i

y

y

y

y

y

y

y

y

=

=

=

=

−

−

=

+

−

−

∑

∑

∑

∑

2

2

1

2

1

ˆ

(

)

1

(

)

m

i

i

i

m

i

i

i

y

y n

TSS

RSS

R

CSS

CSS

y

y n

=

=

−

=

=

= −

−

∑

∑

2

1

2

1

ˆ

(

)

(

)

m

i

i

i

m

i

i

i

y

y

n

R

y

y

n

=

=

−

=

−

∑

∑

Upravený koeficient determinácie

použitie: porovnávanie viacerých zvolených

regresných modelov

môže nadobudnúť aj záporné hodnoty, ale

interpretuje sa len v intervale od 0 do 1

(

)

2

2

1

1

1

adj

n

R

R

n

p

−

= −

−

−

Párový koeficient korelácie

meranie intenzity závislosti, ak je medzi X a Y lineárna

závislosť

Pearsonov koeficient korelácie:

je špeciálnym prípadom koeficientu korelácie R

je realizáciou odhadu párového koeficienta korelácie

hodnoty nadobúda z intervalu <-1;1 >,

záporná hodnota – nepriama závislosť, kladná hodnota –

priama závislosť

rxy = ryx; rxx = 1; rxy a koeficient b priamky majú rovnaké

znamienko

cov( , )

=

yx

x y

x y

r

s s

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

Cov( , )

,

0

, 0

yx

X Y

D X

D Y

D X D Y

ρ =

<

< ∞

<

< ∞

a k

Spearmanov koeficient poradovej
korelácie

zisťovanie závislosti medzi poradovými znakmi

kde ix a iy sú poradia hodnôt v usporiadanom

rade

(

)

(

)

2

1

2

6

1

1

x y

n

x

y

i

i i

i

i

r

n n

=

−

= −

−

∑

Test hypotézy – párový
korelačný koeficient

10 H

0: ρ = ρ0

H

1: ρ ≠ ρ0

20 α
30 testovacia štatistika

kde je Fisherova z-transformácia
výberového korelačného koeficientu r a

ρ

0z

koeficientu

ρ

0

testovacia štatistika U má normované normálne
rozdelenie

0

1

3

z

z

r

U

n

−

=

−

ρ

1

1

ln

2

1

+

=

−

z

r

r

r

Interval spoľahlivosti pre korelačný
koeficient

získame z intervalu pre

vypočítané hranice intervalu je potrebné
odtransformovať

1

/ 2

1

/ 2

1

1

.

;

.

3

3

z

z

r

u

r

u

n

n

α

α

−

−





−

+









−

−





z

ρ

Koeficient viacnásobnej korelácie

meria intenzitu závislosti medzi závislou

premennou Y a nezávislými premennými x

1,

x

2,..., xk

hodnoty nadobúda z intervalu < 0;1 >

kde |R| je determinant korelačnej matice

1 2

.

1

1

y x x

yy

R

RSS

r

TSS

R

…









=

−

=

−









1

1

k

k

k

k k

yx

yx

yy

x y

x x

x x

r

r

r

R

r

r

r

…









= 











M

M

M

L

|Ryy| je determinant submatice korelačnej matice

(vznikne vynechaním riadku y a stĺpca y z matice R)

koeficient viacnásobnej determinácie je

má hodnoty z intervalu < 0;1 >

interpretácia:

aké percento variability závislej premennej je
vysvetlené variabilitou všetkých nezávislých
premenných

1 2

2

.

...

k

y x x

x

r