Intervaly

1

Výberové skúmanie

Štatistická indukcia

Osnova prednášky

Cieľ výberového skúmania

Druhy výberov

2 úlohy výberového skúmania

Intervaly spoľahlivosti

pre strednú hodnotu základného súboru

pre relatívnu početnosť základného súboru

Typy súborov

základný súbor (rozsah N prvkov –

štatistických jednotiek alebo nekonečný)

výberový súbor (rozsah n prvkov –

štatistických jednotiek)

je vytvorený výberom zo základného súboru,

reprezentatívnosť! – každá

n-tica náhodných

jednotiek má rovnakú pravdepodobnosť, že bude
vybraná

Cieľ výberového zisťovania

na základe informácií, získaných vo

výberovom súbore urobiť úsudky o stave
a správaní sa javu (javov)

v celom základnom súbore.

Druhy výberov

technika výberu závisí od cieľa zisťovania

náhodný výber

jednoduchý (prostý) - losovanie

oblastný – do skupín, náhodný výber v skupinách

skupinový – náhodný výber skupín, všetky prvky

systematický – náhodne prvá jednotka, krok

viacstupňový – náhodne skupiny, náhodne jednotky

nenáhodný výber

zámerný (expertný) – názor odborníka

konvenčný – podľa zoznamu, prvých napr. 10

kvótny - kvóty

samovýber – ankety v časopisoch

náhodilý – náhodné stretnutie

Náhodný výber

s rozsahom

n je n-tica nezávislých náhodných

premenných

X = (X

1, X2, ..., Xn)

T s rovnakým

rozdelením.

Zistené (pozorované) údaje

x = (x

1, x2, ..., xn)

T,

hodnoty náhodných premenných, sú realizáciou
náhodného výberu.

Z výberových dát sa počítajú výberové charakteristiky
(tzv. štatistiky), ktoré sú tiež náhodnými premennými:
výberový priemer, výberová smerodajná odchýlka,
výberová relatívna početnosť a iné.

2

Niektoré výberové štatistiky a parametre
základného súboru

ρ – koeficient korelácie základného

súboru

r - výberový koeficient

korelácie

β - regresný koeficient základného

súboru

b - výberový regresný

koeficient

π - relatívna početnosť základného

súboru

P - výberový podiel

σ - smerodajná odchýlka

základného súboru

- výberová smerodajná

odchýlka

σ2 - rozptyl základného súboru

- výberový rozptyl

µ - stredná hodnota základného

súboru

- výberový priemer

parameter základného súboru

θ

odhad parametra – náhodná
premenná

2

1

S

1

S

X

( )

ˆ

θ X

Získané údaje z výberového súboru je
možné využiť

1.

pre odhad parametra základného súboru a to
dvoma spôsobmi:

bodový odhad,

intervalový odhad (prostredníctvom

konštrukcie intervalu spoľahlivosti),

2.

na testovanie štatistických hypotéz, teda
predpokladov o hodnotách parametrov
základného súboru, prípadne viacerých
základných súborov alebo o ich rozdelení.

Vlastnosti odhadov

konzistentnosť:

neskreslenosť (nevychýlenosť):

asymptotická neskreslenosť:

výdatnosť, efektívnosť – zo všetkých odhadov

najmenší rozptyl

( )

(

)

ˆ

lim P

1 pre >0

n

n

θ

θ

ε

ε

→∞

− < =

X

( )

ˆ

E

n

θ

θ



 =





X

( )

(

)

ˆ

lim E

0

n

n

θ

θ

→∞



 − =





X

Intervaly spoľahlivosti
pre parametre základného súboru

Interval spoľahlivosti pre strednú
hodnotu (Confidence Interval For Mean)

E( ) =

µ

D( ) =

σ2/n

X

[ ]

0;1

X

U

N

n

µ

σ

−

=

X

1

1

2

2

(

)

1

P

u

U

u

α

α

α

−

−

−

≤

≤

= −

1

1

2

2

1

P X

u

X

u

n

n

α

α

σ

σ

µ

α

−

−





−

⋅

≤ ≤

+

⋅

= −









1

1

2

2

;

X

u

X

u

n

n

α

α

σ

σ

−

−





−

⋅

+

⋅









je prípustná chyba odhadu, z ktorej vyplýva, že rozsah
výberového súboru

1

/ 2

u

n

α

σ

−

∆ =

⋅

2

2

1

/ 2

2

u

n

α

σ

−

⋅

=

∆

1-α je spoľahlivosť odhadu t.j. pravdepodobnosť, že

interval pokrýva skutočnú hodnotu parametra
základného súboru. t. z. (

1-α) – percent intervalov

skonštruovaných na základe náhodných výberov s
rovnakým rozsahom, pokrýva skutočnú hodnotu
parametra

α

je riziko odhadu, t.j. pravdepodobnosť, že interval
spoľahlivosti nepokrýva skutočnú hodnotu parametra
základného súboru

3

ak σ ZS nepoznáme

1

1

1

/ 2;

1

1

/ 2;

1

1

n

n

S

S

P X

t

X

t

n

n

α

α

µ

α

−

−

−

−





−

⋅

≤ ≤ +

⋅

= −









(

)

1

1

X

T

t n

S

n

µ

−

=

−

1

;

1

1

;

1

2

2

(

)

1

n

n

P

t

T

t

α

α

α

−

−

−

−

−

≤ ≤

= −

1

1

1

/2; 1

1

/2; 1

;

n

n

S

S

X t

X t

n

n

α

α

−

−

−

−





−

⋅

+

⋅









Jednostranné intervaly spoľahlivosti pre strednú
hodnotu:

ľavostranné

pravostranné

1

; X u

n

α

σ

−





−∞ +

⋅









1

1

;

1

;

n

S

X

t

n

α

−

−





−∞ +









1

;

X u

n

α

σ

−





−

⋅

+∞









1

1

;

1

;

n

S

X

t

n

α

−

−





−

⋅

+∞









Pozn.: prevodník na hľadanie kritickej hodnoty

t – rozdelenia:

,

1

,

2

t

t

α

α ν

ν

−

sa v Exceli hľadá ako

1

,

2 ,

t

t

α ν

α ν

−

sa v Exceli hľadá ako

,

tαν

stĺpec riadok

tabuľky tabuľky

(

)

9

1

n

π

π

>

⋅

−

Interval spoľahlivosti pre relatívnu početnosť

Ak pravdepodobnosť nastatia javu

A v základnom súbore

je π , potom náhodná premenná

X

P

n

=

kde

X je počet nastatí javu A má binomické rozdelenie,

pričom platí

E(X) = nπ a D(X) = nπ.(1 - π) ,ak platí

, môžeme uvažovať

normálne rozdelenie tejto

náhodnej premennej a vytvoriť normovanú premennú

v tvare

Keďže platí

(1

)

P

U

n

π

π

π

−

=

−

1

1

2

2

(

)

1

P

u

U

u

α

α

α

−

−

−

≤ ≤

= −

resp. v prípade jednostranných intervalových odhadov

(

)

(

)

1

/ 2

1

/ 2

1

1

;

p

p

p

p

p u

p u

n

n

α

α

−

−













⋅ −

⋅ −





−

+

























potom interval spoľahlivosti pre relatívnu početnosť
základného súboru má za podmienky

nasledovný tvar:

(

)

(

)

1

1

1

1

;

;

p

p

p

p

p

u

p

u

n

n

α

α

−

−

















⋅ −

⋅ −









−∞

+

−

+∞

































a

(

)

9

1

n

p

p

>

⋅ −

Prípustná chyba odhadu

v prípade obojstranného

intervalu spoľahlivosti

pre relatívnu početnosť má tvar:

(

)

1

/ 2

1

p

p

u

n

α

−





⋅ −

∆ =







