Indexy

1

Štatistika 1
Charakteristiky tvaru rozdelenia
Indexy

3. prednáška

Miery šikmosti a špicatosti

Šikmosť (asymetria)

– posunutie vrcholu

rozdelenia početností

pozitívne

zošikmené rozdelenie – vrchol

rozdelenia je posunutý od aritmetického
priemeru doľava

negatívne

zošikmené rozdelenie – vrchol

rozdelenia je posunutý od aritmetického
priemeru doprava

(1) Koeficient šikmosti

- pozitívne zošikmené

- negatívne zošikmené

- symetrické

(

)3

1

1

3

m

i

i

i

x

x

x

n

n

s

γ

=

−

=

∑

1

0

γ >

1

0

γ <

1

0

γ =

γ1 = 0

γ1 > 0

γ1 < 0

2

(2) Koeficient špicatosti

- rozdelenie početnosti je špicatejšie

ako normálne rozdelenie

rozdelenie početnosti je plochšie ako

normálne rozdelenie

(

)4

1

2

4

3

m

i

i

i

x

x

x

n

n

s

γ

=

−

=

−

∑

2

0

γ >

2

0

γ <

γ2 = 0

γ2 > 0

γ2 < 0

γ2

Indexy

Indexy sú pomerné čísla vývoja, merajú

dynamiku vývoja veličín porovnateľných

v čase (veličiny sa musia týkať rovnako

dlhých období),

priestore (musia sa týkať tých istých

územných či priestorových jednotiek)

z hľadiska vecného obsahu.

Označenie veličín
EXTENZITNÉ

q

vyjadrujú objem, rozsah, veľkosť, množstvo a sú

vyjadrené vo fyzických merných jednotkách

objem výroby alebo predaja (v ks, l, m, kg, m2...)

počet pracovníkov

veľkosť osiatej či obrábanej poľnohospodárskej plochy, a
pod.

INTENZITNÉ

p

vyjadrujú určitú úroveň, hladinu, intenzitu a sú

vyjadrené na jednotku extenzitnej veličiny

mzda na pracovníka

jednotkové náklady

úroda z jedného hektára

cena na jednotku tovaru a pod.

3

INTENZITNÉ

p

AGREGÁTNE

Q = p.q

napr.:

• objem vyplatených miezd

• celkové náklady

• celková úroda (v Sk, alebo v tonách na celú
plochu)

celková hodnota produkcie

• mzdové náklady a pod.

vznikne súčinom
intenzitnej a
extenzitnej veličiny

EXTENZITNÉ

q

Označenie porovnávaných období

bežné obdobie

ide o „novšie“ obdobie

označujeme ho 1

napr.

p

1 cena v bežnom

období

q

1 predané množstvo v

bežnom období

p

1.q1 tržba v bežnom

období

základné obdobie

ide o „staršie“ obdobie

označujeme ho 0

napr.

p

0 cena v základnom

období

q

0 predané množstvo v

základnom období

p

0.q0 tržba v základnom

období

Interpretácia hodnoty indexu

ak je hodnota indexu < 1

ak je hodnota indexu = 1,

ak je hodnota indexu > 1,

úroveň javu poklesla
v bežnom období oproti
základnému

úroveň sledovaného javu
sa nezmenila, jav stagnuje,

úroveň sledovaného javu
sa zvýšila, vzrástla

4

i = 0,873

Úroveň sledovaného javu

sa v bežnom období
zmenila 1,092 krát

vzrástla na 109,2 % - nú
úroveň základného obdobia

vzrástla o 9,2 % oproti
základnému obdobiu

i = 1,092

Úroveň sledovaného javu

sa v bežnom období
zmenila 0,873 krát

poklesla na 87,3 % - nú
úroveň javu v základnom
období

poklesla o 12,7 % oproti
základnému obdobiu

môžeme interpretovať tromi spôsobmi:

Porovnávané veličiny môžu byť

štruktúrované za

druh

typy výrobkov

poskytovaných služieb

druhy tovarov, a pod.

priestor

závody

podniky

prevádzky

okresy, a pod.

561,-

AD 364

303,-

AD 235

125,-

AD 128

cena

výrobok

49

03

38

02

56

01

Počet

zamestnancov

závod

Sledujeme vývoj veličiny p, q

len za jednu jednotku
druhovej alebo
priestorovej štruktúry
(DPŠ), potom
konštruujeme

jednoduché indexy

za viac jednotiek DPŠ, ktoré

agregujeme, potom zložené indexy

veličinu q agregujeme sčítavaním

veličinu

p agregujeme

priemerovaním

1

1

0

0

=

=

p

q

i

i

p

q

1

0

p

i

p

=

1

1

0

1

=

=

=

∑

∑

n

i

i

n

i

i

q

i

q

1

1

=

=

⋅

=

∑

∑

n

i

i

i

n

i

i

p q

p

q

5

Členenie indexov

individuálne -

i

sledujú vývoj len
jednej, individuálnej
veličiny (

p alebo q)

súhrnné –

I

sledujú vývoj celého agregátu

p.q

jednoduché

zložené

Individuálne indexy jednoduché

reťazové - vývoj individuálnej veličiny vždy

k predchádzajúcemu obdobiu.

bázické - vývoj individuálnej veličiny vždy k jednému

obdobiu, k bázickému obdobiu

3

3

1

2

1

2

0

1

2

1

0

1

2

-1

,

,

,...,

alebo

,

,

,...,

n

n

n

n

q

q

p

p

q q

p

p

q

q q

q

p

p

p

p

−

3

3

1

2

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

,

,

,...,

alebo

,

,

,...,

n

n

q

q

p

p

q

q

p

p

q

q

q

q

p

p

p

p

Individuálne indexy zložené

index premenlivého zloženia

i

pz

index stáleho zloženia

i

sz

index štruktúry

i

š

i

sz aj iš majú dva tvary – podľa Laspeyresa

podľa Paascheho

Každý tvar indexu má vlastnú interpretáciu!

zmena celkovej úrovne veličiny za druhovo alebo priestorovo
rôznorodé jednotky

pre intenzitnú veličinu

pre extenzitnú veličinu

1

1

0

1

=

=

=

∑

∑

n

i

i

q

n

i

i

q

i

q

6

Index premenlivého zloženia

zmena priemernej úrovne intenzitnej veličiny v

bežnom období oproti základnému obdobiu

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

n

i

i

i

n

i

i

pz

n

i

i

i

n

i

i

p q

q

p

i

p

p q

q

Index štruktúry

ako by sa zmenila priemerná úroveň intenzitnej

veličiny len vplyvom zmeny úrovne extenzitnej
veličiny v jednotlivých jednotkách DPŠ pri stabilizácii
úrovne intenzitnej veličiny (je to hypotetický index)

Paascheho tvar

Laspeyresov tvar

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

P

n

i

i

i

n

i

i

š

n

i

i

i

n

i

i

p q

q

i

p q

q

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

L

n

i

i

i

n

i

i

š

n

i

i

i

n

i

i

p q

q

i

p q

q

Vzťahy medzi indexmi

Fisherov tvar indexu je geometrickým priemerom Paascheho a
Laspeyresovho tvaru indexu, t.j. napr. pre index štruktúry platí

.

F

P

L

sz

sz

sz

i

i

i

=

Platí:

Ď

alej tiež platí:

.

i

i

i

pz

sz

š

P

L

=

Absolútne vyjadrenie indexu (∆

i) vzniká rozdielom

č

itateľa a menovateľa indexu. Vyjadruje zmenu úrovne

porovnávanej veličiny v pôvodných merných jednotkách.

.

i

i

i

pz

sz

š

L

P

=

P

L

pz

sz

š

i

i

i

∆ = ∆

+ ∆

L

P

pz

sz

š

i

i

i

∆ = ∆

+ ∆

7

Index stáleho zloženia

ako by sa zmenila priemerná úroveň intenzitnej

veličiny len vplyvom zmeny úrovne intenzitnej
veličiny v jednotlivých jednotkách DPŠ pri stabilizácii
úrovne extenzitnej veličiny (je to hypotetický index)

Paascheho tvar

Laspeyresov tvar

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

P

n

i

i

i

n

i

i

s z

n

i

i

i

n

i

i

p q

q

i

p q

q

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

L

n

i

i

i

n

i

i

s z

n

i

i

i

n

i

i

p q

q

i

p q

q

Súhrnné indexy

merajú dynamiku celého agregátu

p.q v dvoch

sledovaných obdobiach

index hodnotový

I

H

index cenový

I

c

index fyzického objemu

I

FO

Index hodnotový

ako sa mení (vyvíja) agregát

p.q len za jednu

jednotku DPŠ

alebo za všetky jednotky spolu

1 1

0

0

h

p q

I

p q

=

1

1

1

0

0

1

=

=

=

∑

∑

n

i

i

i

h

n

i

i

i

p q

I

p q

8

Index cenový

ako by sa zmenil agregát len vplyvom zmeny úrovne

intenzitnej veličiny v jednotkách DPŠ pri stabilizácii
úrovne extenzitnej veličiny (je to hypotetický index)

Paascheho tvar

Laspeyresov tvar

1

1

1

0

1

1

=

=

=

∑

∑

P

n

i

i

i

c

n

i

i

i

p q

I

p q

1

0

1

0

0

1

=

=

=

∑

∑

L

n

i

i

i

c

n

i

i

i

p q

I

p q

hľadisko interpretácie

absolútne miery variability – miery v pôvodných

merných jednotkách, prípadne v ich štvorcoch
(variačné rozpätie, kvantilové rozpätie, kvantilová
odchýlka, priemerná odchýlka, rozptyl, štandardná
odchýlka),

relatívne (pomerné) miery variability -

v percentách (variačný koeficient (V

k) a pomerná

priemerná odchýlka (D

x)).

Index fyzického objemu

ako by sa zmenil agregát len vplyvom zmeny úrovne

extenzitnej veličiny v jednotkách DPŠ pri stabilizácii
úrovne intenzitnej veličiny (je to hypotetický index)

Paascheho tvar

Laspeyresov tvar

1

1

1

1

0

1

=

=

=

∑

∑

P

n

i

i

i

Fo

n

i

i

i

p q

I

p q

0

1

1

0

0

1

=

=

=

∑

∑

L

n

i

i

i

Fo

n

i

i

i

p q

I

p q

9

Vzťahy medzi indexmi
Fisherov tvar indexu je geometrickým priemerom Paascheho a
Laspeyresovho tvaru indexu, t.j. napr. pre cenový index platí

.

F

P

L

C

C

C

I

I I

=

Platí:

Ď

alej tiež platí:

.

I

I

I

H

FO

C

P

L

=

Absolútne vyjadrenie indexu (∆

I) vzniká rozdielom

č

itateľa a menovateľa indexu. Vyjadruje zmenu úrovne

porovnávanej veličiny v pôvodných merných jednotkách.

.

I

I

I

H

FO

C

L

P

=

P

L

H

C

FO

I

I

I

∆ =∆ +∆

P

L

H

FO

C

I

I

I

∆ =∆ +∆

Index fyzického objemu

ako by sa zmenil agregát len vplyvom zmeny úrovne

extenzitnej veličiny v jednotkách DPŠ pri stabilizácii
úrovne intenzitnej veličiny (je to hypotetický index)

Paascheho tvar

Laspeyresov tvar

1

1

1

1

0

1

=

=

=

∑

∑

P

n

i

i

i

Fo

n

i

i

i

p q

I

p q

0

1

1

0

0

1

=

=

=

∑

∑

L

n

i

i

i

Fo

n

i

i

i

p q

I

p q

Vzťahy medzi indexmi

Fisherov tvar indexu je geometrickým priemerom Paascheho a
Laspeyresovho tvaru indexu, t.j. napr. pre cenový index platí

.

F

P

L

C

C

C

I

I

I

=

Platí:

Ď

alej tiež platí:

.

I

I

I

H

FO

C

P

L

=

Absolútne vyjadrenie indexu (∆

I) vzniká rozdielom

č

itateľa a menovateľa indexu. Vyjadruje zmenu úrovne

porovnávanej veličiny v pôvodných merných jednotkách.

.

I

I

I

H

FO

C

L

P

=

P

L

H

C

FO

I

I

I

∆

= ∆

+ ∆

P

L

H

FO

C

I

I

I

∆

= ∆

+ ∆