Pravdepodobnosť 2

1

Štatistika 1
Pravdepodobnosť II.

5. prednáška

Niektoré typy rozdelení

diskrétnej náhodnej premennej:

binomické

hypergeometrické

Poissonovo

spojitej náhodnej premennej:

normálne (Laplace-Gaussovo rozdelenie)

t-rozdelenie (Studentovo rozdelenie)

χ

2 rozdelenie (chí-kvadrát rozdelenie)

F-rozdelenie (Fisherovo rozdelenie)

Rozdelenia diskrétnej náhodnej

premennej

Binomické rozdelenie (

X~Bi[n;p])

predpoklady:

n nezávislých pokusov

v každom pokuse nastane jav

A s

pravdepodobnosťou

p a jav AC s

pravdepodobnosťou 1-

p (tzv. výber s vrátením)

, elementárny jav je

kde je počet nastatí javu

A v i-tom pokuse,

teda

0 alebo 1

{ }

0,1

n

Ω =

(

)

1

2

,

,

,

n

ω = ω ω

ω

…

i

ω

Náhodná veličina

počet výskytov javu

A pri n nezávislých pokusoch

má binomické rozdelenie s parametrami

n a p

(

n – počet pokusov, p – pravdepodobnosť nastatia

javu A pri jednom pokuse)

Pravdepodobnosť, že pri

n pokusoch nastane jav

práve

x –krát je daná vzťahom:

( )

1

n

i

i

X

=

ω =

ω

∑

E[X] = n.p

D[X] = n.p.(1-p)

P(

= ) =

(1

)

,

x

n x

n

X

x

p

p

x

−

 

−

 

 

Hypergeometrické rozdelenie Hy[N;M;n]

je rozdelením pri výbere bez vrátenia:
náhodne vybrané jednotky nevraciame späť do
základného súboru, jednotlivé pokusy sú
závislé.

predpoklady:

máme konečný súbor

N prvkov, z ktorých M

má určitú sledovanú vlastnosť

V

z tohto súboru vyberieme naraz alebo

postupne

n prvkov bez vrátenia

Náhodná veličina

X je počet prvkov vo výbere

s vlastnosťou

V.

2

Pravdepodobnosť, že medzi

n vybranými

prvkami bude práve

x prvkov so sledovanou

vlastnosťou vypočítame

pre strednú hodnotu a disperziu platí

P(

= ) =

,

M

N

M

x

n

x

X

x

N

n

−













−



















2

(

)

E[ ] =

, D[ ] =

.

1

M

nM N

M N

n

X

n

X

N

N

N

−

−

−

Poissonovo rozdelenie (

X~ Po(

λ))

sa používa v súvislosti s poissonovskými prúdmi

javov.

Prúd javov je postupnosť náhodných javov, ktoré:

1. nastanú v náhodných časových okamihoch

určitého časového intervalu,

2. pravdepodobnosť výskytu javu v určitom časovom

intervale závisí len od dĺžky tohto intervalu,

3. výskyt dvoch alebo viacerých javov počas veľmi

malého časového intervalu je prakticky nemožný,

4. pravdepodobnosť nastatia určitého počtu javov za

určitý časový interval nezávisí od počtu nastatia
javov v iných časových intervaloch

Náhodná premenná X má Poissonovo

rozdelenie pravdepodobnosti s parametrom

, ak nadobúda hodnoty

x = 0, 1,2,...

s pravdepodobnosťou

platí

a

0

λ >

P(

= ) =

e

!

x

X

x

x

−λ

λ

[ ]

E X

= λ

[ ]

D X

= λ

Binomické rozdelenie
môžeme aproximovať
Poissonovým rozdelením
s parametrom λ =

n.p,

ak je počet pokusov (rozsah
výberu) n dostatočne veľký
(

n > 30)

a pravdepodobnosť

p veľmi

malá (

p

≤ 0,1).

Siméon Denis Poisson
(1781-1840)

Rozdelenia spojitej náhodnej

premennej

Normálne rozdelenie (

X ~ N[µ;σ2])

náhodná premenná X má normálne

rozdelenie s parametrami a ,

ak jej funkcia hustoty pravdepodobnosti je
daná vzťahom

platí

a

R

µ∈

2

0

σ >

( )

(

)2

2

µ

2σ

1

f

e

;

σ

2π

x

x

x

R

−

−

=

∈

[ ]

E

µ

X

=

[ ] 2

D

σ

X

=

3

grafom funkcie hustoty

je tzv. Gaussova krivka

je symetrická okolo osi

v bode

inflexné body sú

obojstrannou

asymptotou so
smernicou je priamka

Karl Friedrich Gauss (1777-1855 )

µ

µ

σ

±

0

y

=

Graf hustoty normálneho rozdelenia

N[2;1,52] a N[2;42]

Normované normálne rozdelenie N[0;1]

normovaná náhodná premenná:

X µ

U

σ

−

=

Štatistické tabuľky

V štatistických tabuľkách sa uvádzajú kvantily

(kritické hodnoty) normovaného normálneho
rozdelenia:

pre je číslo -kvantilom

normovaného normálneho rozdelenia, ak
platí

( )

α

0;1

∈

( )

α

u

α

( )

(

)

P

α

α

X

u

<

=

Moivrova – Laplaceova integrálna veta

Nech X je náhodnou premennou, ktorá má

binomické rozdelenie s parametrami

n a p,

potom pravdepodobnosť toho, že

X

nadobúda hodnoty z intervalu

< a; b>

môžeme približne vypočítať podľa vzťahu

kde

a

(

)

( ) ( )

P

Φ

Φ

a

X

b

β

α

≤ ≤ ≈

−

0,5

a

np

α

npq

−

−

=

0,5

b

np

β

npq

+

−

=

4

χ2

- rozdelenie χ2

[

ν]

Náhodná premenná

X má χ2- rozdelenie s

ν-

stupňami voľnosti ( ), ak pre hustotu jej
rozdelenia platí

pre x>0 a inak

kde je tzv. gama-funkcia,

definovaná pre kladné hodnoty

a

1

2

2

2

1

f ( ) =

e ,

2

2

ν

x

ν

x

x

ν

Γ

−

−

 

 

 

1

υ

≥

1

0

( ) =

e d

a

x

Γ a

x

x

∞

−

−

∫

( )

f

0

x

=

Majme náhodné premenné

X

1, X2, ….,X

ν, ktoré majú

normované normálne rozdelenie, potom náhodná
premenná

Y , ktorá vznikne ako súčet štvorcov

premenných

X

i

bude mať χ2 (chí-kvadrát) rozdelenie s υ stupňami
voľnosti, υ – stupne voľnosti (degrees of freedom) sú
jediným parametrom a vyjadrujú počet nezávislých
sčítancov

platí E[

X] = υ a D[X] = 2υ.

2

1

ν

i

i

Y

X

=

= ∑

Graf hustoty χ2 rozdelenia

Kritická hodnota χ2 rozdelenia

pre

je číslo

-kritickou

hodnotou rozdelenia, ak platí

( )

α

0;1

∈

( )

2
υ

χ

α

α

2

P(

>

( )) =

ν

X

χ α

α

Studentovo rozdelenie

(t–rozdelenie) t[ν]

Náhodná premenná X má t- rozdelenie s

ν- stupňami voľnosti ( ), ak pre hustotu
jej rozdelenia platí

ďalej platí

1

υ

≥

1

2

2

1

2

f ( ) =

1

2

ν

ν

Γ

x

x

ν

ν

Γ

πν

+

−

+







 







+





 





 

 

E[ ] = 0 (

> 1), D[

] =

(

> 2)

2

ν

X

ν

X

ν

ν

−

pre

pre

Majme náhodnú premennú

X s normovaným

normálnym rozdelením a náhodnú premennú

Y,

ktorá má χ2 rozdelenie s ν stupňami voľnosti,
pričom tieto náhodné premenné sú navzájom
nezávislé. Potom náhodná premenná

má Studentovo rozdelenie s ν stupňami
voľnosti.

X

T

Y

ν

=

5

Graf hustoty t-rozdelenia

Kritická hodnota

t -rozdelenia

pre

je číslo

-kritickou

hodnotou rozdelenia, ak platí

( )

α

0;1

∈

( )

υ

α

t

α

P(|

|> ( )) =

ν

T

t α

α

Fisherovo – Snedecorovo rozdelenie (F -

rozdelenie) F[ν

1; ν2]

Náhodná premenná má Fisherovo -

Snedecorovo rozdelenie, F-rozdelenie s
stupňami voľnosti (

), ak je jeho

hustota vyjadrená nasledujúcim vzťahom

pre

x > 0 a je rovná nule inak

1

2

,

υ υ

1

2

1,

1

υ

υ

≥

≥

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

,

1

2

2

2

1

2

2

2

2

( ) =

1

2

2

f

x

x

x

υ υ

υ υ

υ

υ υ

υ

Γ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

Γ

Γ

+





− +

−



  









+















 























Majme dve nezávislé náhodné premenné

Y

1 s

χ2 rozdelením s ν

1 stupňami voľnosti a Y

2

s ν

2 stupňami voľnosti.

Náhodná premenná

má F –rozdelenie s ν

1 a

ν

2 stupňami voľnosti

1

1

2

2

Y

F

Y

ν

ν

=

Graf hustoty F-rozdelenia