Cv.6

Cvičenie č. 6 (Intervaly spoľahlivosti)

Príklad č. 1

Pre odhad strednej životnosti vyrábaných žiaroviek určitého typu z nich náhodne vybrali

400 kusov. Priemerná životnosť týchto vybraných žiaroviek bola 1200 hodín.
Úloha:

Za predpokladu, že životnosť žiaroviek má normálne rozdelenie, určite hranice intervalu,

v ktorom sa bude nachádzať stredná hodnota životnosti žiaroviek s pravdepodobnosťou 0,9973,
pričom smerodajná odchýlka životnosti žiaroviek je 35 hodín.

Príklad č. 2

Zo základného súboru s normálnym rozdelením sme vybrali náhodným výberom 15

jednotiek, na ktorých sme zistili tieto hodnoty náhodnej premennej X:

9,8; 11,0; 10,5; 10,0; 10,4; 10,5; 10,4; 10,7; 10,1; 10,4; 10,3; 10,8; 9,9; 10,9 a 10,3.

Úloha: Odhadnite intervalovým odhadom strednú hodnotu náhodnej premennej X v základnom
súbore so spoľahlivosťou 0,99.

Príklad č. 3

Zo série výrobkov sa po obrúsení vybralo 200 kusov na kontrolné meranie. Výsledky sú

usporiadané v nasledujúcej tabuľke (náhodná premenná - rozmer výrobku má normálne
rozdelenie):

rozmer výrobku v mm

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

4,4

počet výrobkov

1

22

40

79

27

26

4

1

Úlohy:
a) Vypočítajte interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu rozmeru celej série výrobkov. Pri
výpočte použite spoľahlivosť 0,95.
b) Aký musí byť rozsah výberového súboru, aby sme získali odhad strednej hodnoty
s požadovanou spoľahlivosťou a prípustnou chybou 0,01?

Príklad č.4

V predchádzajúcom roku bol v 80 obchodných organizáciách priemerný podiel zásob,

financovaných bankovým úverom 68 %, podiel zásob je náhodná premenná s normálnym
rozdelením, pričom smerodajná odchýlka výberového súboru bola 4 %.
Úloha:

Zistite, aký počet obchodných organizácií treba z ich celkového počtu vybrať, aby bolo

možné odhadnúť priemerný podiel zásob, financovaný bankovým úverom v bežnom roku,
s presnosťou na 2 % a so spoľahlivosťou 0,90, ak predpokladáme, že sa variabilita nezmenila.

Príklad č. 5

V tabuľke sú údaje o počte dní, počas ktorých zostali vklady na 100 vybraných vkladných

knižkách s vkladom nad 5000 Sk bez pohybu. ( Predpokladajte X ~ N(

µ ,σ2 ).)

počet dní bez pohybu

11 - 30

31 – 50

51 - 70

71 - 90

91 – 110

111 - 130

počet vklad. knižiek

1

3

10

30

49

7

Úloha: Určite ten počet dní, počas ktorého sú vklady nad 5000 Sk bez pohybu a ktorý stredná
hodnota počtu dní knižkách so spoľahlivosťou 0,95 neprekročí.

Príklad č. 6

Pri skúškach nového spôsobu uskladnenia zeleniny cez zimu zistili takéto straty počas

prezimovania v % : 8, 12, 21, 9, 10, 16, 15, 18, 11, 10.
Úloha: Odhadnite s rizikom 0,05 spodnú hranicu pre strednú hodnotu strát počas prezimovania
zeleniny, ak predpokladáme normálne rozdelenie.

Príklad č. 7

U 50 vybraných zamestnancov určitého výrobného družstva ste sledovali ich mesačnú

produktivitu práce v tis. Sk. Výsledky zisťovania ste vytriedili do nasledujúcej tabuľky:

produktivita práce (v tis. Sk)

počet zamestnancov

- 12

2

- 16

6

- 20

10

- 24

12

- 28

9

- 32

6

- 36

4

- 40

1

Úloha: Na základe uvedeného výberu 50 zamestnancov zostrojte s pravdepodobnosťou 0,95
interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu mesačnej produktivity práce všetkých zamestnancov
výrobného družstva, za predpokladu, že sledovaný znak má normálne rozdelenie.

Príklad č. 8

Mechanizmy na čistenie mestských komunikácií (ulíc, námestí a chodníkov) mesta boli

vytriedené podľa výkonu (tis. m

2 za smenu) nasledovne:

výkon

počet mechanizmov

- 80

6

- 160

14

- 240

28

- 320

30

- 400

12

400 +

10

Úlohy: Za predpokladu, že ide o výber z normálneho rozdelenia
a) s pravdepodobnosťou 0,95 odhadnite, z akého intervalu bude minimálny a maximálny

priemerný výkon všetkých mechanizmov uvedeného druhu.

b) koľko ďalších mechanizmov daného druhu musíme ešte vybrať do výberového súboru, ak

s pravdepodobnosťou 0,95 chceme, aby prípustná chyba odhadu z úlohy a) nebola väčšia ako
15 ?

Príklad č. 9

Denná výroba plášťov (v ks) v odevnom závode má približne normálne rozdelenie.

V desiatich náhodne vybraných dňoch boli zistené tieto údaje o dennej produkcii plášťov :

1480, 1500, 1510, 1495, 1520, 1478, 1505, 1490, 1502, 1500.

Úlohy:
a) Určite 90 % -ný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu dennej produkcie plášťov.

b) Určite veľkosť prípustnej chyby odhadu v úlohe a)

c) Akú najnižšiu hodnotu priemernej dennej produkcie môžu v závode očakávať s rizikom

0,05?

d) Dlhodobým pozorovaním sa zistilo, že smerodajná odchýlka dennej výroby plášťov je 13

kusov. S využitím tejto informácie určite, aký počet pozorovaní dennej produkcie musíme
urobiť, ak chceme riešiť úlohu a) s rovnakou spoľahlivosťou, ale s presnosťou aspoň o 25 %
väčšou ako v úlohe a) .

Príklad č. 10

Sto náhodne vybraných prihlášok na zájazdy organizované CK - Tour bolo podľa veku

prihlásených dievčat a chlapcov roztriedených nasledovne:

vek v rokoch

počet

dievčat

počet

chlapcov

- 18

9

2

- 21

13

9

- 24

15

10

- 27

25

5

- 30

9

3

Úlohy:
a) Určite 90 %-ný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu veku chlapcov na zájazdoch

poriadaných CK-Tour.

b) Určite 95 %-ný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu veku všetkých účastníkov

zájazdov poriadaných CK-Tour.

Príklad č. 11

Zo 150 náhodne uskutočnených pozorovaní dĺžky pracovnej operácie, bol vyvodený tento

záver: pravdepodobnosť, že stredná hodnota dĺžky trvania pracovnej operácie prekročí 48,15
minút je taká istá ako pravdepodobnosť, že stredná hodnota dĺžky pracovnej operácie neprevýši
hodnotu 46,45 minút. Trvanie pracovnej operácie má približne normálne rozdelenie.
Úloha:

Usúďte, o akú veľkú pravdepodobnosť ide, ak výberový rozptyl trvania pracovných

operácií má hodnotu 28,2659 .

Príklad č. 12

Sto náhodne vybraných prihlášok na zájazdy organizované CK-Tour bolo podľa veku

prihlásených dievčat a chlapcov roztriedených nasledovne:

počet

vek v rokoch

dievčat

chlapcov

spolu

- 18

6

5

11

- 21

9

13

22

- 24

14

11

25

- 27

18

12

30

- 30

8

4

12

Úloha: Odhadnite so spoľahlivosťou 0,9 podiel dievčat zúčastnených na zájazdoch CK-Tour.

Príklad č. 13

Vedenie podniku sledovalo počet zamestnancov, ktorí prídu do podniku oneskorene.

Z celkového počtu 127 oneskorencov 80 udalo ako dôvod svojho oneskorenia zmeškanie spojov
MHD.
Úloha: Určte 95% -ný interval spoľahlivosti pre podiel oneskorení v podniku zavinených MHD.

Príklad č. 14

Z 50 náhodne vybraných študentov 33 prejavilo záujem o účasť na filmovom predstavení.

Na fakulte je celkovo 540 študentov.
Úlohy:
a) Koľko vstupeniek musí škola predbežne zabezpečiť, ak chce uspokojiť všetkých záujemcov?

(Uvažujte riziko 0,05.)

b) Koľko vstupeniek musí škola predbežne zabezpečiť, ak má záujem na tom, aby žiadne

miesto nezostalo neobsadené? (Uvažujte riziko 0,05.)

Príklad č. 15

200 študentov 2. ročníka vysokej školy odchádza na lyžiarsky výcvik. V predbežnom

prieskume zo 40 náhodne opýtaných študentov 18 prejavilo záujem o zapožičanie lyží zo
školského skladu. Skladník tvrdí, že so spoľahlivosťou 0,95 budú všetci záujemcovia uspokojení.
Môže byť jeho tvrdenie pravdivé, ak je v sklade celkove 150 lyží?